Estatística. O que é Estatística? Estatística pode ser: Estatística Descritiva. Ivonete Melo de Carvalho. Conteúdo

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1 Estatística Estatística Descritiva Ivonete Melo de Carvalho Conteúdo Definições; Tabelas e Gráficos; Medidas de tendência central; Medidas de dispersão. Objetivos Diferenciar população e amostra. Elaborar tabelas e gráficos. Calcular média, moda e mediana. Calcular amplitude total, variância, desvio padrão, coeficiente de variação e erro padrão da média. O que é Estatística? Uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para: Coleta, Organização, Descrição, Análise, Interpretação de dados e a utilização dos mesmos na tomada de decisão. Estatística pode ser: Descritiva:Organização, Tabulação, Representação, Gráficos, Tabelas Inferencial: Análise e Interpretação dados, Testes de Probabilidade 1

2 Para calcular o tamanho da amostra Onde n = tamanho da amostra N = população n 0 = número índice E = percentual de erro admitido n 0 1 e e N * n n N n 0 0 Amostragem poderá ser: Amostragem aleatória simples; Amostragem sistemática; Amostragem estratificada proporcional. Definições Dados são qualquer característica que possa ser observada ou medida. Podem ser: Primários quando as informações são colhidas diretamente pelo pesquisador ou por seus auxiliares. Secundários quando os pesquisadores recorrem a relatórios, revistas, livros ou dados já coletados por instituições especializadas.

3 Outras definições: Elementos são as entidades sobre as quais os dados são pesquisados, por meio de uma variável. Variável é um item do elemento da pesquisa e as respostas de todos os itens fornecerão os dados que representarão o grupo pesquisado. Como trabalhar dados qualitativos O meio de transporte que você utiliza entre sua casa e o polo de ensino: ( ) Carro ( ) Motocicleta ( ) Ônibus municipal ( ) Ônibus intermunicipal Meios de transporte Meio de transporte Quantidade de alunos Carro 71 Moto 30 Ônibus municipal 1 Ônibus intermunicipal 8 Pesquisa realizada em 007 com alunos do polo Rio Grande 3

4 Meios de transporte Meio de transporte f fr f% Carro 71 0,546 54,6 Moto 30 0,31 3,08 Ônibus municipal 1 0,16 16,15 Ônibus intermunicipal 8 0,06 6,15 Pesquisa realizada em 007 com alunos do polo Rio Grande Tipos de gráficos ônibus int ônibus mun carr o moto ônibus mun ônibus int moto carro carro moto ônibus mun ônibus int Análise de dados quantitativos Ao perguntar para um grupo de acadêmicos: - Qual a sua altura? Obtivemos as seguintes respostas: 1,60 1,91 1,74 1,65 1,65 1,54 1,65 1,7 1,65 1,85 1,60 1,63 1,7 1,56 1,55 1,5 1,65 1,78 1,78 1,65 1,87 1,55 1,67 1,83 1,69 1,66 1,63 1,60 1,70 1,6 1,68 1,58 1,7 4

5 Obtidos os dados, vamos à técnica: O primeiro passo é construir o rol (dados brutos em ordem crescente ou decrescente). Sendo os dados quantitativos, o rol será construído em ordem numérica crescente. 1,55 1,60 1,65 1,66 1,7 1,78 1,56 1,6 1,65 1,67 1,7 1,83 1,5 1,58 1,63 1,65 1,68 1,7 1,85 1,54 1,60 1,63 1,65 1,69 1,74 1,87 1,55 1,60 1,65 1,65 1,70 1,78 1,91 Preparando a tabela: Maior altura = 1,91 Menor altura = 1,5 Calcular a : - amplitude total: 1,91 1,5 = 0,39 - quantidade de classes - amplitude da classe Quantidade de classes Quantidade de classes é a raiz quadrada da quantidade de elementos da amostra (n 50). K 35 5,91 Caso a amostra seja maior que 50, para encontrar a quantidade de classe utilize a fórmula de Sturges: k 1 +3, log n, sendo n o números de elementos da amostra. 5

6 Amplitude da classe AK amplitude total quant de classes AK 0,39 6 0,065 0,07 Construção da tabela: Antes de partir para a construção da tabela, é conveniente verificar se os cálculos necessitam de ajuste. Verifique se: K * AK > AT Neste exemplo: 6 * 0,07 = 0,4 (>0,39) Frequência Relativa e Percentual Estaturas obtidas Classe f* Fr** f%*** F 1, ,59 6 0, ,14 6 1, ,66 1 0,349 34,9 18 1, ,73 8 0,86,86 6 1, ,80 3 0,0857 8,57 9 1, ,87 0,0571 5, , ,94 0,0571 5,71 33 N Resp. 0,0571 5,71 35 Total 35 1, * Frequência ** Relativa *** percentual 6

7 Representação gráfica ,5 -- 1, , , , ,87 -- N - 1,59-1,66-1,73-1,80-1,87-1,94 Resp. 0 1, ,59 1, ,66 1, ,73 1, ,80 1, ,87 1, , ,5 -- 1, , , , ,87 -- N - 1,59-1,66-1,73-1,80-1,87-1,94 Resp. As representações gráficas das frequências descrevem os dados originais, entretanto, as medidas de tendência central têm como objetivo representar resumidamente a informação da distribuição de frequência. Principais medidas de tendência central: Média aritmética média. Média ponderada ou média geral. Mediana. Moda. Média Aritmética Simples É a soma de todos os valores dividida o número de dados. Onde: x = Média. = Somatório. x i = Variável. x1 x... xn x n ou x x n 7

8 Média Aritmética Simples É a soma de todos os valores dividida o número de dados. x1 x... xn x x ou x n n Média aritmética ponderada f1x1 f x... fnxn MP f f... f ou 1 MP f x i f i i n Qual a média? Qual é a média aritmética entre os números 10, 0 e 30? A média é: x Mediana É o valor do meio de uma série de dados em ordem (ROL). Quando n for ímpar, a mediana fica locada no item do meio. Quando n for par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais. Exemplos Rol: 3, 5, 6, 9 e 10: med = 6 Rol: 3, 5, 6, 10, 1 e 14: med 8 8

9 Moda É o valor que apresenta em maior frequência (valor que mais se repete). Uma distribuição pode ser: AMODAL: não tem moda. Ex.: 5, 1, 17, 18 (não tem moda). UNIMODAL: possui uma moda. Ex.: 5, 1, 1, 17 e 18 moda 1. BIMODAL: possui duas modas. Ex.: 5, 1, 1, 17, 18 e 18 modas: 1 e 18. Se considerar a média Amostras de diâmetros de parafusos (em milímetros) obtidas em três diferentes máquinas: A: 10; 1; 118; 14; 11 x A (média) = 11 B: 11; 11; 11; 11; 11 x B (média) = 11 C: 116; 15; 14; 10; 10 x C (média) = 11 Para evitar o possível erro na análise dos dados, utilizaremos as medidas de dispersão. Amplitude total No exemplo dos parafusos: Amostra A: 10; 1; 118; 14; 11 Amostra B: 11; 11; 11; 11; 11 Amostra C: 116; 15; 14; 10; 10 Amplitude total A = = 6 B = = 0 C = = 9 9

10 Desvio Diferença entre a média aritmética e os valores observados para a variável em estudo. Variância É a soma dos quadrados dos desvios em relação à média, dividida pelo número de dados, para uma população e um número de dados, menos a unidade para uma amostra. sqd σ n 1 Exemplo do cálculo de variância Dada a amostra: 14, 118, 1, 10 e 11, vamos calcular o desvio dos elementos em relação à média que é igual a 11 e n = 5 (3) 3 ( 1) (1) 0 σ = 3 x = -3 x σ = -1 x 3 σ = 1 x = 0 x 5 Outra forma de calcular a variância Consideremos a amostra do exemplo anterior: com média = 11 e n = 5 x x Total: ( x n n x)

11 Desvio Padrão é a raiz quadrada da variância. Para o exemplo dos parafusos, o desvio padrão será dado por: σ 5 σ,3 Coeficiente de variação É uma medida de dispersão relativa que expressa o desvio padrão em forma de porcentagem, ou seja, transforma a medida de dispersão absoluta em relativa. média σ cv cv 100σ média 100% Exemplo Suponhamos que em uma determinada sala de aula a média de notas na disciplina de estatística foi de 7,5, com um desvio padrão de 3,9, calcular o coeficiente de variação. 100σ cv média 100 * 3,9 cv 7,5 cv 5% 390 7,5 11

12 Erro padrão da média Medida indicadora da precisão em que a média foi estimada. É inversamente proporcional à raiz quadrada do número de observações, portanto, quanto maior for o n, menor será o erro. σ Sx n É mais utilizado para cálculo de intervalo de confiança, no qual a média mais o erro-padrão e a média menos o erro-padrão compreenderão a verdadeira média da população. Exemplo Seja n = 10 e σ = 14,37 14,37 Sx 10 Sx 4,31 Estatística Probabilidade Conteúdo Definições. Probabilidade: regras e aplicações. 1

13 Objetivos Utilizar a probabilidade como estimador de valor. Minimizar os riscos causados em investimentos, negócios, vendas etc. Compreender a importância do estudo da probabilidade. Analisar as distribuições de probabilidade. Modelos Determinísticos: quando somos capazes de calcular com exatidão uma variável. Probabilísticos: Quando se baseia em resultados possíveis ou probabilidades. Experimento aleatório É aquele que poderá ser repetido indefinidamente e cujo resultado não pode ser previsto com certeza, mas todos os resultados são possíveis. Espaço amostral É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. Evento É um subconjunto do espaço amostral. Um evento pode ser: Certo; Composto; Dependente; Elementar; Mutuamente exclusivos; Impossível. 13

14 Evento certo e evento impossível Aprendemos que evento é um conjunto de resultados do experimento, isto é, um subconjunto S. Em particular, S (espaço amostral) e Φ (conjunto vazio) são eventos. Nestas condições: S é dito o evento certo (evento que deve ocorrer; tem probabilidade 1), e Φ é o evento impossível (tem probabilidade 0) Eventos mutuamente exclusivos São aqueles que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se A B = Φ Ao jogar um dado, observamos que S = {1,, 3, 4, 5, 6} Então, sejam os eventos A = ocorrer número par e B = ocorrer números impar. Logo: A = {, 4, 6}, B = {1, 3, 5} A e B são considerados mutuamente exclusivos pois A B = Φ Evento elementar Evento que contém um único ponto amostral. Evento composto Evento que consiste de dois ou mais eventos simples. Eventos dependentes Dois eventos são ditos dependentes se a probabilidade de um ocorrer altera a probabilidade do outro ocorrer, isto é, P(A/B) = P(A). 14

15 Eventos independentes Dois eventos de um espaço amostral S, são denominados de independentes se a probabilidade de um deles ocorrer não afeta a probabilidade do outro ocorrer. Probabilidade da ocorrência de um evento Onde: P(A) = probabilidade de um NCF(A) P(A) evento; NCT CNF(A) = número de casos favoráveis ao evento A NCT = número de casos totais Exemplo Em um lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair a face 3?. P(A) = 1/6 = 0,1667 = 16,67% Probabilidade de evento Sempre será uma fração entre 0 e 1 Regras da Probabilidade Probabilidade de evento. Mutuamente exclusivos. Probabilidade de evento não mutuamente exclusivos. Probabilidade de evento Complementar. Probabilidade independente. 15

16 Eventos mutuamente exclusivos São tais que a ocorrência de um exclui a possibilidade da ocorrência do outro. P(A B) P(A) P(B) Exemplo: No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair a face 3 ou um número par? S: {1,, 3, 4, 5, 6} A = {3} e B = {, 4, 6} P(A U B) = 1/6 + 3/6 = 4/6 P(A U B) = 66,67% Probabilidade de evento não mutuamente exclusivos. A ocorrência de um evento particular qualquer não elimina a ocorrência de todos os outros possíveis. P(A B) P(A) P(B) P(A B ) Exemplo No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair a face 3 ou um número ímpar? S: {1,, 3, 4, 5, 6} A = {3} e B = {1, 3, 5} P(A U B) = 1/6 + 3/6-1/6 P(A U B) = 3/6 = 50% Probabilidade de evento complementar A regra para o evento complementar é: P(A) Exemplo 1 P(A) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de não sair a face 3? S: {1,, 3, 4, 5, 6} P(A) = 1-1/6 = 5/6 P(A) = 83,33% 16

17 Probabilidade independente. Dois ou mais eventos são ditos independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência dos outros. P ( A B ) P ( A ) * P (B ) Exemplo No lançamento de um dado vezes, qual a probabilidade de sair a face 6 em ambas as vezes? P(A U B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 P(A U B) =,77% Os eventos independentes podem ser: com reposição Uma urna contém 7 bolas vermelhas, 4 amarelas e 3 azuis. Ao retirarmos duas bolas, qual a probabilidade de ambas as bolas serem vermelhas (com reposição)? P(A U B)= P(A) x P(B) P(A U B)= 7/14 x 7/14 P(A U B)= 49/196 = 5% Os eventos independentes podem ser: sem reposição Considerando o exemplo anterior sem reposição: P(A U B) = 7/14 x 6/13 P(A U B) = 4/18 = 3,07% Supondo agora, sem reposição, retirar duas bolas, qual a probabilidade de uma ser vermelha e outra azul? P(A U B) = 7/14 x 3/13 P(A U B) = 1/18 = 11,54% 17