Estatística Aplicada. Prof. Carlos Alberto Stechhahn EXERCÍCIOS - REVISÃO ESPAÇO AMOSTRAL - EVENTOS PROBABILIDADE. Administração. p(a) = n(a) / n(u)

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1 Estatística Aplicada Administração p(a) = n(a) / n(u) EXERCÍCIOS - REVISÃO ESPAÇO AMOSTRAL - EVENTOS PROBABILIDADE Prof. Carlos Alberto Stechhahn 2014

2 1. Tema: Noções de Probabilidade 1) Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: a) sair o número 5: Neste tipo de exercício devemos primeiro escrever o ESPAÇO AMOSTRAL. Temos que para o lançamento de um dado as seguintes possibilidades: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ESPAÇO AMOSTRAL Temos ainda: n(u) = 6 número de elementos de U (são seis as possibilidades) Sobre a possibilidade de sair o número 5: A = {5} temos um evento A e queremos que seja o número 5, logo: n(a) = 1 número de elementos do conjunto A Portanto, a probabilidade procurada será igual a: p(5) = n(a) n(u) = 1 6 b) Expresse o resultado do item a) em %. Para escrevermos o resultado em % devemos multiplicar o resultado por 100. p(5) = = 16,67% 6 Obs.: o resultado foi arredondado para duas casas depois da vírgula.

3 2) Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: a) sair um número ímpar: Neste tipo de exercício devemos primeiro escrever o ESPAÇO AMOSTRAL. Temos que para o lançamento de um dado as seguintes possibilidades: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ESPAÇO AMOSTRAL Temos ainda: n(u) = 6 número de elementos de U (são seis as possibilidades) Sobre a possibilidade de sair um número ímpar: A = {1,3,5} temos um evento A e queremos que seja um número ímpar, logo: n(a) = 3 número de elementos do conjunto A Portanto, a probabilidade procurada será igual a: p(5) = n(a) n(u) = 3 6 = 1 2 = 0,5 b) Expresse o resultado do item a) em %. Para escrevermos o resultado em % devemos multiplicar o resultado por 100. p(5) = 0,5.100 = 50% Obs.: Tendo em vista que num dado temos 3 números ímpares e 3 números pares possíveis de acontecer, logo, a probabilidade de sair um número par será igual a probabilidade de sair um número ímpar (50%). c) Sair um número menor que 3: A = {1, 2} U = {1,2,3,4,5,6} n(a) = 2 n(u) = 6 Portanto: p(menor que 2) = n(a) n(u) = 2 6 = 1 3 = 0,33

4 3) Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de: a) sair a soma 8. Observe que neste caso, o espaço amostral U é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2. É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo ocorrendo com j. U = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será igual a p(a) = 5/36. Chamaremos o evento "soma igual a 8" de evento A: A = {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)} O conjunto U (ESPAÇO AMOSTRAL) tem 36 elementos (ou seja 36 pares ordenados) e o conjunto A tem 5 elementos, logo: n(u) = 36 e n(a) = 5 Portanto a probabilidade pedida: p(soma 8) será p(soma 8) = n(a) n(u) = 5 0,14 = 14% 36 b) Sair soma 2: n(a) = 1 e n(u) = 36 Para sair soma 2 temos somente uma possibilidade, ou seja, o evento A = {(1,1)} e no lançamento de dois dados o espaço amostral é o mesmo do item b) acima, logo: p(soma 1) = n(a) n(u) = 1 0,14 = 14% 36

5 4. Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes: a) sair bola azul Resolução: O espaço amostral A para bolas azuis é A = {6} e o total é 20. O conjunto A, acima, está escrito entre { }, no entanto, poderíamos usar o diagrama de Venn: A n(a) = 6 n(u) = 20 Portanto, a probabilidade de sair uma bola azul, num total de 20 é: b) sair bola vermelha p(azul) = 6 = 0,3 = 30% 20 O espaço amostral V para bolas vermelhas é V = {10} e o total é 20. Portanto: p(vermelha) = n(v) n(u) = = 1 = 0,5 = 50% 2 5. Em uma certa comunidade existem dois jornais C e D. Sabe-se que 4000 pessoas são assinantes do jornal J, 3000 são assinantes de P, 1000 são assinantes de ambos e 500 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais? SOLUÇÃO: Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral. Teremos: n(u) = n(c U D) + N.º de pessoas que não lêem jornais. n(u) = n(c) + N(D) N(C D) n(u) = n(u) = 7500 Portanto, a probabilidade procurada será igual a: p = 1000/7500 = 10/75 = 0,1333 = 13,33%

6 Exercícios Propostos: 1. Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 40. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo. Resposta: p(primo) = 0,3 2. Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 20 bolas amarelas. Qual é a probabilidade desta bola ser verde? Resposta: p(verde) = 0,2 3. Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima? Resposta: 25% 4. No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de não sair o número 6. Resposta: 5/6 5. Lançado simultaneamente dois dados, qual a probabilidade de que a soma seja 7? Resposta: 16,66% 6. Ao retirarmos uma bola de uma urna que contém 20 bolas numeradas de 1 a 20, qual a probabilidade de a bola ser um número múltiplo de 3 ou ser primo? Resposta: 13/20

7 7. Numa pesquisa sobre preferência entre dois refrigerantes, Coca-Cola e Guaraná, obtivemos o seguinte resultado: 20 tomam Guaraná 15 tomam Coca-Cola 08 tomam os dois 03 não tomam nenhum dos dois Sorteando-se uma pessoa ao acaso, calcule a probabilidade de ela tomar Guaraná ou Coca- Cola? Resposta: 5/6 8. Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b? Resposta: 7/27 9.Dados os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, construímos todos os números que podem ser representados usando dois deles (sem rep etir). Escolhendo ao acaso (aleatoriamente) um dos números formados, qual a probabilidade de o número sorteado ser cinco? Resposta: 1/7 10. Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira ao acaso um cartão do bolso e o mostra a um jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador ser amarela? Resposta: 1/6

8 11. Lançamos um dado. Qual a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5? Resposta: 1/3 12. Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. Qual a probabilidade de o bilhete sorteado ser maior que 40 ou número par? Resposta: 3/ Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol? Resposta: 2/5 14. O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face? Resposta: 13/28