Segunda Lista de Exercícios Cálculo de Probabilidades II Prof. Michel H. Montoril

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1 Exercício 1. Uma urna contém 4 bolas numeradas: {1, 2, 2, 3}. Retira-se dessa urna duas bolas aleatoriamente e sem reposição. Sejam 1 : O número da primeira bola escolhida; 2 : O número da segunda bola escolhida; 3 : O maior número entre os dois selecionados; 4 : O menor número entre os dois selecionados. Responda os itens abaixo. (a) Qual a função de probabilidade conjunta de ( 1, 2 )? (b) Quais funções de probabilidades marginais de 1 e 2? (c) 1 e 2 são independentes? Justifique; (d) Qual a distribuição de probabilidade de 1 2 = 1? (e) Qual a distribuição de probabilidade de 1 2 = 2? (f) Qual a distribuição de probabilidade de 1 2 = 3? (g) Qual a função de probabilidade conjunta de ( 3, 4 )? (h) Calcule E( 3 4 = 2). Exercício 2. Dado o quadro da função de probabilidade de um vetor aleatório bidimensional (, ) P ( = x) 0 a 4a 9a 14a 1 2a 6a 12a 20a 2 3a 8a 3a 14a 3 4a 2a 6a 12a P ( = y) 10a 20a 30a 1 Calcule: (a) A distribuição de probabilidade conjunta do vetor (, ), obtendo o valor de a; (b) P ( 1 > 1); EST Página 1 de 6

2 (c) P ( 1 1). (d) A distribuição de probabilidade de = 0; (e) A distribuição de probabilidade de = 1; (f) A distribuição de probabilidade de = 2; (g) A distribuição de probabilidade de = 0; (h) A distribuição de probabilidade de = 1; (i) A distribuição de probabilidade de = 2; (j) A distribuição de probabilidade de = 3; Exercício 3. Sejam : {anos de experiência em vendas} e : {unidades diárias vendidas} ,14 0,04 0,02 4 0,04 0,18 0,08 6 0,02 0,26 0, ,02 0,08 Dado o quadro da distribuição conjunta de e, calcule: (a) Cov(, ); (b) Cov(, ); (c) ρ. Exercício 4. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 verdes. Dessa urna, retiram-se 2 bolas sem reposição. Sejam: { { = 0, se a primeira bola for verde; 0, se a segunda bola for verde; = 1, se a primeira bola for vermelha. 1, se a segunda bola for vermelha. (a) Determine a distribuição conjunta de e ; (b) Calcule E(), E( ), Var() e Var( ); EST Página 2 de 6

3 (c) Calcule ρ. Exercício 5. Em um pequeno grupo de casais empregados, a renda do marido (em milhares de reais) e da respectiva esposa (em milhares de reais) tem sua distribuição conjunta de probabilidades dada abaixo: a 2a 3a 15 2a 4a 2a 20 3a 2a a (a) Seja W = 0, 6 + 0, 8 a renda do casal após os impostos. Qual sua média e sua variância da renda do casal? (b) e são independentes? Qual é o coeficiente de correlação ρ? Exercício 6. Sejam e variáveis aleatórias com média zero e variância 1, e coeficiente de correlação ρ. Mostre que ρ e são não correlacionadas. Exercício 7. Sejam 1 e 2 duas variáveis cuja função de probabilidade conjunta é descrita da seguinte forma: (x 1, x 2 ) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) f 1, 2 (x 1, x 2 ) 1/18 3/18 4/18 3/18 6/18 1/18 Calcule as funções de probabilidade marginais e as duas médias condicionais. Exercício 8. Sejam 1 e 2 variáveis aleatórias discretas com função de probabilidade conjunta f(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 1 {1,2} (x)1 {1,2} (y). 12 Determine a média condicional e a variância de 2 dado 1 = x 1, x 1 = 1 ou 2. Exercício 9. Sejam 1 e 2 duas variáveis estocasticamente independentes tais que 1 Bin(3, 1/2) e 2 Bin(4, 2 3 ). Calcule P ( 1 = 2 ). Exercício 10. Dado o quadro da distribuição conjunta de e, calcule: (a) E(2 3 ); (b) Var(3 + 2 ); (c) Cov(3 +, ); EST Página 3 de 6

4 (d) Cor(, ); (e) E( = 2); (f) Var( = 4) /24 1/12 1/12 1/24 1 1/12 1/6 1/6 1/12 2 1/24 1/12 1/12 1/24 Exercício 11. O vetor aleatório bidimensional (, ) tem a seguinte distribuição conjunta de probabilidades: , 10 0, 30 0, , 06 0, 18 0, 16 Calcule: (a) E(2 + ); (b) Cov(, 4 ); (c) ρ, ; (d) Var( = 2). Exercício 12. Suponha que (, ) tenha a seguinte distribuição de probabilidade: /18 1/ /9 1/5 3 1/12 1/4 2/15 (a) Mostre que esta distribuição é realmente uma distribuição de probabilidade; (b) Calcule E( = 2); EST Página 4 de 6

5 (c) Calcule Var( = 1); Exercício 13. Considere o seguinte experimento realizado em duas etapas. Primeiro, escolhese um ponto x uniformemente em {0, 1,..., 5}. Em seguida, escolhe-se um ponto uniformemente no conjunto { x, x + 1,..., 0,..., x 1, x}. Seja (, ) o resultado do experimento. Determine: (a) Faça um gráfico da região do plano onde f (x) é positiva; (b) A distribuição de probabilidade de (, ); (c) A distribuição marginal de ; (d) e são independentes? Exercício 14. Em vários experimentos de diversas áreas de aplicação é muito comum o uso do esquema de amostragem denominado amostragem aleatória simples (AAS), em que os valores observados, 1, 2,..., n, são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas satisfazendo E( i ) = µ e Var( i ) = σ 2, i = 1, 2,..., n. Nesse tipo de situação é comum utilizar as quantidades = 1 n n i, que corresponde à média amostral do dados (medida de posição), i, i = 1,..., n, que corresponde aos desvios, utilizados para definir a variância amostral S 2 = 1 n 1 i=1 n ( i ) 2, que é uma medida de dispersão quadrática dos dados. Mostre que (a) E ( ) = µ (em inferência, diz-se que é um estimador não viciado para µ); (b) Var ( ) = σ 2 n ; (c) Cov( i, ) = 0 (a média amostral e os desvios são não correlacionados); (d) E (S 2 ) = σ 2 (em inferência, diz-se que S 2 é um estimador não viciado para σ 2 ). i=1 Exercício 15. Suponha agora que 1, 2,..., n sejam variáveis aleatórias tais que E( i ) = µ e Cov( i, j ) = σ 2 γ i j (note que, nesse caso, Var( i ) = σ 2 ). Calcule: EST Página 5 de 6

6 (a) E ( ) ; (b) Var ( ) ; (c) No item anterior, o que acontece se γ = 0? (d) E no caso em que γ < 1 e n? Exercício 16. Se e são independentes, mostre que E( = y) = E() y. Verifique ainda que, se E( = y) = E() y, então e são não correlacionadas. Exercício 17. Mostre que E() = E( < a)p ( < a) + E( a)p ( a). Exercício 18. Um prisioneiro está preso em uma cela com três portas. A primeira leva a um túnel que retorna à cela após dois dias; a segunda leva a outro túnel que retorna à cela após quatro dias; a terceira leva a outro túnel que conduz para fora da cela após um dia. Se a cada tentativa o prisioneiro escolhe uma porta ao acaso e independentemente de eventuais tentativas anteriores, qual é o número esperado de dias até que o prisioneiro consiga sair da cela? EST Página 6 de 6