Teoria de Filas Aula 1

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1 Teoria de Filas Aula 1 Aulas passada Introdução, Logística e Motivação para avaliação e desempenho Aula de hoje Revisão de probabilidade Eventos e probabilidade Independência Prob. condicional

2 Experimentos Aleatórios O que é um experimento aleatório? Experimento que nem sempre dá o mesmo resultado! Exemplos: Resultado de jogar um dado Palavra de busca submetidas ao Google Tempo de espera no ponto de ônibus Vivemos num mundo aleatório...

3 Caracterizando Aleatoriedade Como caracterizar um experimento aleatório? Ingredientes necessários... Possíveis resultados do experimento Probabilidade de ocorrer cada um dos resultados Modelos Probabilísticos

4 Modelo Probabilístico Representação matemática de um fenômeno aleatório Componentes Espaço amostral (S): conjunto de eventos elementares que podem ocorrer a partir de um experimento aleatório Probabilidade de eventos (P): quantificação da chance que cada evento ocorra Conjunto de eventos (E): subconjunto de eventos que são de nosso interesse

5 Exemplo: Dado Espaço amostral (S): cada uma das faces do dado S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilidade de eventos (P): chance de que cada face ocorra: P(1) = 1/6, P(2) = 1/6, etc. Conjunto de eventos (E): números pares, E = {2, 4, 6}

6 Exemplo: Tempo Esperando um Ônibus Espaço amostral (S): tempo de espera até a chegada de um ônibus (medido em segundos), S = {0, 1, 2,...} Probabilidade de eventos (P): chance de que uma pessoa espere exatamente x segundos, P(0), P(1), P(2), etc. Conjunto de eventos (E): tempo de espera menor que 1 minuto, E = {x x < 60}

7 Exemplo: Status de 2 Componentes (1/2) Espaço amostral (S 1 ): total de componentes em funcionamento, S = {0, 1, 2} Probabilidade de eventos (P): chance de que x componentes estejam funcionando, P(0), P(1), P(2) Conjunto de eventos (E): total de componentes em funcionamento seja no máximo igual a dois

8 Exemplo: Status de 2 Componentes (2/2) Espaço amostral (S 2 ): qual componente está em funcionamento S = {(0,0), (1,0), (0,1),(1,1)} Probabilidade de eventos (P): chance que o componente 1 esteja em funcionamento e o 2 nã0 esteja em funcionamento: P(1) Conjunto de eventos (E): um dos componentes está em funcionamento

9 Exemplo: Fila de Banco (total de clientes) Espaço amostral (S 1 ): total de clientes em uma das filas do banco, S = {0, 1, 2,3,...} Probabilidade de eventos (P): chance de ter x pessoas na fila, P(0), P(1), P(2),P(3),... Conjunto de eventos (E): total de clientes na fila seja menor que 10

10 Exemplo: Fila de Banco (total de clientes por idade) Espaço amostral (S 2 ): total de clientes em uma das filas do banco, considerando a faixa etaria S = {(0,0),(0,1),..,(1,0),...} Probabilidade de eventos (P): chance de ter x jovens na fila, P(0,0), P(1,0), P(1,1),P(1,2),... Conjunto de eventos (E): total de clientes jovens na fila é menor que 5

11 O que é Probabilidade? Chance de que um evento ocorra Fração de ocorrência ou frequência relativa contagem de eventos número de ocorrências divido por número total de eventos Exemplo: A frequência relativa de uma das faces de um dado é em torno de 1/6

12 O que é Probabilidade? Conceito Clássico Se associada a um experimento aleatório tivermos um espaço amostral com N elementos, igualmente prováveis, e A é um evento que contem N A elementos do espaço de resultados então: P[A] = N A /N Exemplos: Dado justo Urna com bolas

13 O que é Probabilidade? Conceito baseado em frequência (nem todos os resultados de um experimento aleatório são equiprováveis!) A probabilidade de um acontecimento é avaliada através da informação já existente, sendo igual a razão entre o número de vezes em que se verificou uma realização favorável ao evento A ( N A ) e o número de vezes (N) que o experimento aleatório foi realizado P[A] = lim N, N A /N

14 O que é Probabilidade? Exemplo: O telefone toca. Qual é a probabilidade de ser engano? Neste caso, dizer que a probabilidade de ser engano é equiprovável a probabilidade de não ser engano, não reflete a realidade! Vamos recorrer à experiência para obter esta medida!

15 Álgebra de Eventos Diagrama de eventos Espaço amostral S Evento A Evento B Evento C Conjunto de eventos (resultados) elementares Ex. evento A, evento B, etc Evento ocorre quando um de seus elementos é o resultado do experimento aleatório Operações de união, interseção e complemento

16 Aplicando Álgebra de Eventos Vamos considerar uma célula wireless com 5 canais idênticos. O seguinte experimento aleatório pode ser considerado: observar quantos canais estão disponíveis. Cada canal pode estar em dois estados diferentes: ocupado (0) e disponível (1). O espaço amostral tem 32 tuplas, representando todas as combinações possíveis dos estados dos canais.

17 Exemplo: Dois dados Considere dois dados jogados simultaneamente Qual é o espaco amostral? S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),... } Evento A : os dois dados são pares A = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6,2), (6,4), (6,6)} Evento B : soma é menor que 7 B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)}

18 Exemplo: Dois dados Evento A : os dois dados são pares A = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6),(6,2), (6,4), (6,6)} Evento B : soma é menor que 7 B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)} Evento C : soma é menor que 7 e ambos dados são pares A B = { (2, 2), (2, 4), (4, 2)}

19 Exemplo: Status de 2 Componentes Considere a observação da saída de dois componentes consecutivos em uma linha de produção Qual é o espaco amostral? S = {(0,0), (1,0), (0,1),(1,1)} Evento A :Exatamente um componente não está funcionando A = {(1,0),(0,1)} Evento B :Os dois componentes estão em funcionamento B = {(1,1)}

20 Exemplo de Confiabilidade (1/2) Sistema com 2 discos idênticos Sistema operacional quando ao menos 1 disco está funcionando Qual probabilidade do sistema estar operacional? Modelo p: prob. de um disco falhar Falhas ocorrem de forma independente

21 Exemplo de Confiabilidade (2/2) Qual é o experimento aleatório? Qual é o espaço amostral? estado do disco 1, estado do disco 2 f = disco falhou, o = disco operacional S = { (f, f), (f, o), (o, f), (o, o) } Qual é o conjunto de eventos de interesse? (ao menos 1 disco está operacional) A = { (f, o), (o, f), (o, o) } Qual é a probabilidade de ocorrer o evento de interesse?

22 Exemplo de Execução de Código(1/3) Considere o seguinte código if B then s1 else s2 Experimento aleatório consiste em observar 2 execuções sucessivas do comando if Qual probabilidade de ocorrer pelo menos uma execução de s1? Qual a probabilidade de s2 ser executado na primeira vez?

23 Exemplo de Execução de Código(2/3) Qual é o experimento aleatório? Qual é o espaço amostral? comando 1a execução, comando 2a execução s1 = execução s1, s2 = execução s2 S = { (s1, s1), (s1, s2), (s2, s1), (s2, s2) } Através de inúmeras repetições da execução do código, temos: P((s1,s1)) = 0.34; P((s1,s2)) = 0.26 P((s2,s1)) = 0.26; P((s2,s2)) = 0.14

24 Exemplo de Execução de Código(2/3) Qual é o conjunto de eventos de interesse? A = Pelo menos uma execução de s1 B = s2 é executado na primeira vez A = {(s1,s1),(s1,s2),(s2,s1)} B = {(s2,s1),(s2,s2)} P(A)? P(B)? P(A) = P((s1,s1)) + P((s1,s2)) + P((s2,s2)) P(B) = P((s2,s1)) + P((s2,s2))

25 Exemplo de total de pacotes em um roteador (1/2) Considere um buffer em um roteador na saída da rede do ICE Temos uma fila! Buffer tem tamanho máximo = B Qual probabilidade de não ter nenhum pacote de dados no buffer? Qual a probabilidade do buffer ter ocupação maior ou igual a 50%?

26 Exemplo de total de pacotes em um roteador (2/2) Qual é o espaço amostral? Total de pacotes no roteador N = número de pacotes no roteador S = {0,1,2,3,4,...,B} Qual é o conjunto de eventos de interesse? A = Nenhum pacote no roteador B = Ocupação maior ou igual a 50% P(A)? P(B)? P(A) = P(o) P(B) = P(B/2) + P(B/2 +1) + + P(B)

27 Exclusão Mútua Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se Exemplos? A B= Evento A: os dois dados são pares Evento B: os dois dados são ímpares conjunto vazio Evento A: um dado é par Evento B: um dado é ímpar

28 Axiomas de Probabilidade (A1): para cada evento A, 0 <= P(A) <= 1 (A2): P(S) = 1, onde S é o espaço amostral (A3): se A e B são mutuamente exclusivos, então P(A U B) = P(A) + P(B) Consequências? Teoria de Probabilidade!

29 Probabilidade Condicional (1/6) Relacionamento entre a ocorrência de um evento e outros eventos S Evento A Evento B Qual a probabilidade do evento A dado que o evento B ocorreu? Dado que o resultado do experimento aleatório é elemento de B, qual a probabilidade deste ser também elemento de A? Espaço amostral passa a ser o evento B

30 Probabilidade Condicional (2/6) Considere a probabilidade de um acidente aéreo. Sabemos que a probabilidade de morrer em um acidente aéreo é baixa No entanto, dado que o avião tenha caído... Porque? A probabilidade é quase 1!

31 Probabilidade Condicional (3/6) Definição Probabilidade de A dado B P [ A B]= P [ A B] P [ B]

32 Probabilidade Condicional (4/6) Consideremos um colégio onde o total de alunos é de Dentre estes alunos, 2829 possuem cabelos loiros e 1768 possuem cabelos loiros e olhos azuis. Qual a probabilidade de um aluno ter olho azul, dado que possui cabelos loiros? Eventos A alunos possuem olhos azuis L alunos possuem cabelos loiros Então: P(A L) = P(A L)/P(L) = (1768/6800)/ (2829/6800) = 0.625

33 Probabilidade Condicional (5/6) Originalmente, P(A) = < P(A L) = 0.625! Observe que quando condicionamos em L, restringimos o espaço amostral ao conjunto das pessoas loiras Aumento de probabilidade!

34 Probabilidade Condicional (6/6) Consideremos agora que neste mesmo colégio existam 857 alunos de olhos castanhos e 115 alunos com olhos castanhos e cabelos loiros. Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, não tenha cabelos loiros, dado que tenha olhos castanhos? C alunos possuem olhos castanhos L alunos possuem cabelos loiros Então: P(L C) = 1 - P(L C) = 1 (115/6800)/ (857/6800) =

35 Como identificar dependência e independência de eventos? Probabilidade de chover é independente da nossa vontade! Já o número de pessoas que levam o guarda-chuva para o trabalho depende da previsão de tempo!

36 E no caso... Em que A e B são independentes?

37 Exercícios Consideremos uma caixa que contenha 5000 chips, 1000 produzidos pela companhia X e o resto pela companhia Y. 10% dos chips que são produzidos pela companhia X são defeituosos e 5% dos chips produzidos pela companhia Y são defeituosos. Se escolhemos aletoriamente um chip e este está defeituoso, encontre a probabilidade deste chip ter sido produzido pela companhia X.

38 Exercícios

39 Na próxima aula... Independência Condicionamento Probabilidade Total Variável aleatória discreta Funções de distribuição.