Prof. Fabrício Maciel Gomes. Capítulo 3 Probabilidade

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1 Prof. Fabrício Maciel Gomes Capítulo 3 Probabilidade

2 Probabilidade ESPAÇO AMOSTRAL: S Conjunto de todos os resultados possíveis de uma variável do fenômeno em observação EVENTO : A Sub-conjunto de resultados possíveis

3 Probabilidade FUNÇÃO PROAILIDADE: Pr Pr : S [ 0, ] PROPRIEDADES: Para A S 0 Pr A Pr Pr S 0

4 Probabilidade da União de Eventos Pr A PrA Pr PrA S REGRA DA ADIÇÃO A

5 Experimento Experimento: Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior. Seja: X = número da face superior do º dado Y = número da face superior do 2º dado. Espaço Amostral S:(x; y x...6 ; y...6 (; (; 2 (; 3 (; 4 (; 5 (; 6 (2; (2; 2 (2; 3 (2; 4 (2; 5 (2; 6 (3; (3; 2 (3; 3 (3; 4 (3; 5 (3; 6 (4; (4; 2 (4; 3 (4; 4 (4; 5 (4; 6 (5; (5; 2 (5; 3 (5; 4 (5; 5 (5; 6 (6; (6; 2 (6; 3 (6; 4 (6; 5 (6; 6

6 Exemplo: Espaço Amostral Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior: ( X, Y. ESPAÇO AMOSTRAL S (, (,2 (,3 (,4 (,5 (,6 (2, (2,2 (2,3 (2,4 (2,5 (2,6 (3, (3,2 (3,3 (3,4 (3,5 (3,6 (4, (4,2 (4,3 (4,4 (4, 5 (4,6 (5, (5,2 (5,3 (5,4 (5,5 (5,6 (6, (6,2 (6,3 (6,4 (6,5 (6,6 EVENTOS: A: Ocorrer 2 nos dois dados A = {(2,2} A = /36 : Soma números igual a 4 = {(,3, (2,2, (3,} = 3/36 = /2 C: O º dado é metade do 2º C = {(,2, (2,4, (3,6} C = 3/36 = /2 D: Sair números iguais D = {(,, (2,2, (3,3, (4,4, (5,5, (6,6} E: Sair par no º dado E = {(2,, (2,2,..., (2,6, (4,,..., (4,6,..., (6,6}

7 Exemplo: Espaço Amostral F: Sair impar no 2º dado F = {(,, (,3, (,5, (2,, (2,3, (2,5,..., (6,, (6,2, (6,5} G: Ocorrer número de a 6 G = S (espaço amostral H: Soma igual a 3 H = (conjunto vazio, evento impossível I: Soma >4 I = {(,4, (,5, (,6, (2,3,..., (2,6, (3,2,..., (6,, (6,2,..., (6,6} J: Soma menor que 5 J I {(,,(,2,(,3,(2,,(2,2,(3,} K: Ocorrer 2 nos dois dados e a soma igual a 4 K A {(2,2} L: Sair números iguais ou a soma igual a 4 L D {(,,(,3,(2,2,(3,,(4,4,(5,5,(6,6} M: O º dado é metade do 2º e soma dos números é igual a 4 M C

8 Exemplo: Espaço Amostral Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior: Seja:: x = número º dado e x 2 = número 2º dado. ESPAÇO AMOSTRAL S (, (,2 (,3 (,4 (,5 (,6 (2, (2,2 (2,3 (2,4 (2,5 (2,6 (3, (3,2 (3,3 (3,4 (3,5 (3,6 (4, (4,2 (4,3 (4,4 (4, 5 (4,6 (5, (5,2 (5,3 (5,4 (5,5 (5,6 (6, (6,2 (6,3 (6,4 (6,5 (6,6 A Consideremos os eventos: A={(x,x 2 x + x 2 = 0}={(4,6,(5,5,(6,4} = {(x, x 2 x > x 2 } = {(2,, (3,, (3,2,..., (6,4, (6,5}

9 Exemplo: Espaço Amostral A = 3/36 = 5/36 A = /36 A/ = /5 /A = /3 Observe que o espaço amostral ficou reduzido: A A A A A INTERESSANTE: - essas relações não surgem apenas neste exemplo, ao contrário, são gerais!! A A * ou A A*A

10 Exemplo 2: Probabilidade Condicionada Num lote de 00 peças, temos : 20 Defeituosas 80 Não defeituosas Escolhemos 2 peças, ao acaso: com reposição sem reposição Consideremos os eventos : A : {primeira peça é defeituosa} A =? : {segunda peça é defeituosa} =?

11 Exemplo 2: Probabilidade Condicionada COM REPOSIÇÃO: SEM REPOSIÇÃO: A A A A / / A A A A

12 Eventos Independentes Retome o Exemplo : lançamento de 2 dados equilibrados Consideremos os eventos : A ={(x, x 2 x é par} ={(x, x 2 x 2 = 5 ou x 2 = 6} Observe : A, são eventos independentes, não relacionadas : Saber que A ocorreu não fornece qualquer informação sobre a ocorrência de

13 Eventos Independentes No exemplo : A=8/36=/2 =2/36=/3 A =6/36=/6 A/ = A = /6 /3 2 A /A = A A = /6 /2 3 A = A/ = A./A A Define-se : A, são eventos independentes A=A.

14 Eventos Independentes Exemplo 3: Lote de 0000 peças com 0% defeituosas. Duas peças são extraídas, ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de ambas serem perfeitas? Eventos : A:{primeira é perfeita} :{segunda é perfeita} Pede-se : A Considerando A, eventos independentes (em função do tamanho do lote: Generalizando: A = /A A= A, A 2,..., A n são eventos mutuamente independentes A A2 A A , A = A = A A2 A3 A A2 A3 A A2... A n A A 2 A n ,9 (0,9 0, 8 An A n A n A n

15 Eventos Independentes Retome o Exemplo ( lançamento de 2 dados Eventos : A : {(x, x 2 x é par} : {(x, x 2 x 2 é ímpar} C : {(x, x 2 (x e x 2 são pares ou (x e x 2 são ímpares} A,, C são eventos mutuamente independentes?

16 Eventos Independentes 8 A= = C = A + A = A = A A C = A C C = C 36 4 A C = 0 A C = 8 Logo, A,, C não são mutuamente independentes

17 Teorema de ayes Probabilidade de uma particular causa ( i, dado que o evento A tenha ocorrido Considere a partição, 2,..., k : i /A = i A A i A A A k A/i i S A/ A/k k k i i

18 Teorema de ayes 2 i A K

19 Teorema de ayes Exemplo 5: Peças são produzidas por 3 fábricas (,2,3 e armazenadas num único depósito Fábrica produz o dobro da Fábrica 2 Fábrica 2 produz igual a Fábrica 3 Fábricas e 2 produzem 2%de peças defeituosas Fábrica 3 produz 4% de peças defeituosas Uma peça é retirada do depósito, ao acaso. Sabendo-se que a peça é defeituosa, qual a probabilidade que seja da Fábrica?

20 Teorema de ayes Considere os eventos : A : {peça defeituosa} i : {peça Fábrica i, i =, 2, 3 } Pede-se: /A / A A / A / A/ 2 2 A / A / 0,02 A/ 2 0, 02 A / 3 0, 04 / A (0,02 (/ 2 (0,02 (/ 2 (0,02 (/ 4 (0,04 (/ 4 0,4

21 Probabilidades Eventos: A, são EXCLUDENTES? NÃO: A A A SIM: A A A 0

22 Probabilidades Eventos: A, são INDEPENDENTES? NÃO: A / A A A/ SIM: A A / A A/ A