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1 Notas de Aula Estatística Elementar 10ª Edição by Mario F. Triola Tradução: Denis Santos Slide 1

2 Capítulo 5 Distribuições de Probabilidades 5-1 Visão Geral 5-2 Variáveis Aleatórias 5-3 Distribuição de Probabilidade Binomial 5-4 Média, Variância e Desvio Padrão da Distribuição Binomial 5-5 A Distribuição de Poisson Slide 2

3 Seção 5-1 Visão Geral Created by Tom Wegleitner, Centreville, Virginia Slide 3

4 Visão Geral Este capítulo apresentará a construção de distribuições de probabilidades discretas Combinando os métodos de estatística descritiva apresentada nos Capítulos 2 e 3 com os métodos probabilísticos apresentados no Capítulo 4. As distribuições de probabilidades descrevem o que provavelmente irá acontecer ao invés do que realmente aconteceu. Slide 4

5 Combinando Métodos Descritivos e Probabilidades Neste capítulo iremos construir distribuições de probabilidades apresentando possíveis saídas associadas com as freqüências relativas que esperamos ocorrer. Slide 5

6 Seção 5-2 Variáveis Aleatórias Created by Tom Wegleitner, Centreville, Virginia Slide 6

7 Ponto Chave Esta seção introduz o importante conceito de distribuição de probabilidade, a qual fornece a probabilidade com que ocorra cada valor de uma determinada variável. Também daremos atenção particular a métodos para distinguir resultados que são prováveis de ocorrer ao acaso e aqueles que são incomuns, no sentido de que eles dificilmente ocorreriam ao acaso Slide 7

8 Definições Variável aleatória uma variável (tipicamente representada por x) que tem um valor numérico simples, determinado pelo acaso, em função de cada resultado de um experimento aleatório. Distribuição de probabilidade uma descrição que fornece a probabilidade para cada valor da variável aleatória; geralmente expressa na forma de um gráfico, tabela ou fórmula. Slide 8

9 Definições Variável aleatória discreta pode assumir tanto um número finito de valores como um conjunto enumerável de valores, onde enumerável se refere ao fato de que há infinitos valores, mas eles são resultantes de um processo de contagem. Variável aleatória Contínua assume um número infinito de valores, e estes valores podem ser associados à medições em uma escala contínua, de tal maneira que não há saltos ou interrupções. Slide 9

10 Gráficos O histograma de probabilidade é muito similar ao histograma da freqüência relativa, mas a escala vertical apresenta probabilidades. Slide 10

11 Requisitos para Distribuição de Probabilidade Σ P(x) = 1 onde x assume todos os valores possíveis. 0 P(x) 1 para qualquer valor individual de x. Slide 11

12 Média, Variância e Desvio Padrão de uma Distribuição de Probabilidade µ = Σ [x P(x)] Média σ 2 = Σ [(x µ) 2 P(x)] Variância σ 2 = [Σ x 2 P(x)] µ 2 Variância (Fórmula Alternativa) σ = Σ [x 2 P(x)] µ 2 Desvio Padrão Slide 12

13 Regra de Arredondamento para µ, σ, e σ 2 Arredonde os resultados para uma casa decimal a mais que os valores assumidos pela variável aleatória x. Se os valores de x são inteiros, arredonde µ, σ, e σ 2 para uma casa decimal. Slide 13

14 Identificando Valores Não-Usuais Regra Empírica da Amplitude Segundo a regra empírica da amplitude, a maioria dos valores deve ficar a no máximo 2 desvios padrões de distância da média. Assim, podemos identificar valores nãousuais determinando se eles se localizam fora destes limites: Valor usual máximo = µ + 2σ Valor usual mínimo = µ 2σ Slide 14

15 Identificando Valores Não-Usuais Usando Probabilidades Regra do Evento Raro Se, sob uma dada hipótese (tal como de que uma moeda seja honesta), a probabilidade de um evento particular observado (tal como 992 caras em 1000 lançamentos desta moeda) é extremamente pequena, concluímos que a hipótese provavelmente não é correta. Número de sucessos não usualmente alto: x sucessos em n tentativas é dito não usualmente alto se P(x ou mais) Número de sucessos não usualmente baixo: x sucessos em n tentativas é dito não usualmente baixo se P(x ou menos) Slide 15

16 Definição O valor esperado de uma variável aleatória discreta é denotada por E, e representa o valor médio dos resultados. É obtido pelo cálculo de Σ [x P(x)]. Σ E = Σ [x P(x)] Slide 16

17 Recapitulando Nesta seção nós estudamos: Combinando métodos de estatística descritiva com probabilidade. variável aleatórias e distribuições de probabilidades. Histograma de Probabilidades. Requisitos para uma distribuição de probabilidades. Média, variância e desvio padrão de uma distribuição de probabilidade. Identificando valores não-usuais. Valor esperado. Slide 17

18 Seção 5-3 Distribuição de Probabilidade Binomial Created by Tom Wegleitner, Centreville, Virginia Slide 18

19 Ponto Chave Esta seção apresenta a definição básica da distribuição binomial, juntamente com sua notação, e apresenta métodos para a determinação de valores de probabilidade. A distribuição de binomial nos permite lidar com circunstâncias nas quais os resultados pertencem a duas categorias relevantes, tais como aceitável/defeituoso ou sobreviveu/morreu. Slide 19

20 Definições Uma distribuição binomial resulta de um experimento que satisfaz os seguintes requisitos: 1. O experimento tem um número fixo de tentativas. 2. As tentativas são independentes uma das outras, ou seja. O resultado de uma tentativa não afeta as probabilidades das demais. 3. Cada tentativa deve ter todos os resultados classificados em duas categorias (em geral chamadas de sucesso e fracasso). 4. A probabilidade de sucesso permanece constante em todas as tentativas. Slide 20

21 Notação para Distribuição Binomial S e F (sucesso e fracasso) denota as duas possíveis categorias de todos os resultados; p e q representam as probabilidades de S e F, respectivamente, de modo que P(S) = p (p = probabilidade de sucesso) P(F) = 1 p = q (q = probabilidade de fracasso) Slide 21

22 Notação (cont) n representa o número fixo de tentativas. x representa um número específico de sucessos em n tentativas, de modo que x pode ser qualquer número inteiro entre 0 e n, inclusive. p representa a probabilidade de sucesso em uma das n tentativas. q representa a probabilidade de fracasso em uma das n tentativas. P(x) representa a probabilidade de se obterem exatamente x sucessos em n tentativas. Slide 22

23 Dicas Importantes Certifique-se de que x e p se referem à mesma categoria designada como um sucesso. Quando temos amostragem sem reposição, considere os eventos como independentes se n < 0.05N. Slide 23

24 Métodos para Encontrar Probabilidades Apresentaremos agora três métodos para obtermos probabilidades correspondentes à variável aleatória x tendo uma distribuição binomial. Slide 24

25 Método 1: Usando a Fórmula da Probabilidade Binomial onde P(x) = n! p x q n-x (n x )!x! for x = 0, 1, 2,..., n n = número de tentativas x = número de sucessos em n tentativas p = probabilidade de sucesso em qualquer tentativa q = probabilidade de fracasso em qualquer tentativa (q = 1 p) Slide 25

26 Método 2: Usando a Tabela A-1 no Apêndice A Parte da Tabela A-1 é apresentada abaixo. Com n = 12 e p = 0.80 usando a distribuição binomial, as probabilidades de 4, 5, 6, e 7 sucessos são 0.001, 0.003, 0.016, e respectivamente. Slide 26

27 Método 3: Usando a Tecnologia STATDISK, Minitab, Excel e a calculadora TI-83 Plus podem ser usados para calcular probabilidades binomiais. STATDISK Minitab Slide 27

28 Método 3: Usando a Tecnologia STATDISK, Minitab, Excel e a calculadora TI-83 Plus podem ser usados para calcular probabilidades binomiais Excel TI-83 Plus calculator Slide 28

29 Estratégia para Encontrar Probabilidades Binomiais Use um programa de computador ou a calculadora TI- 83, se disponível. Caso não possua nem o programa nem a calculadora, use a Tabela A-1, se possível. Caso não possua nem o programa e nem a calculadora, e as probabilidades não possam ser calculadas usando a Tabela A-1, use a fórmula da probabilidade binomial. Slide 29

30 Fundamentos da Fórmula da Probabilidade Binomial P(x) = n! p x q n-x (n x )!x! Número de resultados com exatamente x sucessos em n tentativas Slide 30

31 Fundamentos da Fórmula da Probabilidade Binomial P(x) = n! p x q n-x (n x )!x! Número de resultados com exatamente x sucessos em n tentativas A probabilidade de x sucessos em n tentativas para qualquer ordem particular Slide 31

32 Recapitulando Nesta seção nós estudamos: A definição da distribuição de probabilidade binomial. Notação. Dicas importantes. Três métodos computacionais. Fundamentos para a fórmula. Slide 32

33 Seção 5-4 Média, Variância, e Desvio Padrão para a Distribuição Binomial Created by Tom Wegleitner, Centreville, Virginia Slide 33

34 Ponto Chave Nesta seção consideraremos importantes características da distribuição binomial, incluindo centro, variação e distribuição, isto é, dada uma distribuição binomial em particular, apresentaremos métodos para encontrar a sua média, variância e desvio padrão. Assim como nas seções anteriores, o objetivo não é simplesmente encontrar estes valores, mas sim interpretá-los e entendê-los. Slide 34

35 Para Qualquer Distribuição de Probabilidade Discreta: Fórmulas Média µ = Σ[x P(x)] Variância σ 2 = [Σ x 2 P(x) ] µ 2 Desv. Pad. σ = [Σ x 2 P(x) ] µ 2 Slide 35

36 Distribuição Binomial: Fórmulas Média µ = n p Variância σ 2 = n p q onde Desv. Pad. σ = n p q n = número fixo de tentativas p = probabilidade de sucesso em uma das n tentativas q = probabilidade de fracasso em uma das n tentativas Slide 36

37 Interpretação dos Resultados É especialmente importante interpretar estes resultados. A regra empírica da amplitude sugere que valores são não-usuais se eles caírem fora destes limites: Valor usual máximo = µ + 2 σ Valor usual mínimo = µ 2 σ Slide 37

38 Recapitulando Nesta seção nós estudamos: Fórmulas para a média, variância e desvio padrão para qualquer distribuição de probabilidade discreta. Fórmulas para a média, variância e desvio padrão para a distribuição binomial. Interpretação dos resultados. Slide 38

39 Seção 5-5 A Distribuição de Poisson Created by Tom Wegleitner, Centreville, Virginia Slide 39

40 Ponto Chave A distribuição de Poisson é importante pois é muito usada para descrever o comportamento de eventos raros (com probabilidades pequenas). Slide 40

41 Definição A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que aplica a ocorrência de eventos ao longo de intervalos especificados. A variável aleatória x é o número de ocorrências do evento no intervalo. O intervalo pode ser de tempo, distância, área, volume, ou alguma outra unidade similar. Fórmula P(x) = µ x e -µ onde e x! Slide 41

42 Distribuição de Poisson Requisitos A variável aleatória x é o número de ocorrências de um evento em um intervalo especificado. As ocorrências devem ser aleatórias. As ocorrências devem ser independentes uma das outras. As ocorrências devem ser uniformemente distribuídas no intervalo usado. A média é µ. Parâmetros O desvio padrão é σ = µ. Slide 42

43 Diferenças da Distribuição Binomial A distribuição de Poisson difere da distribuição binomial nestes fundamentos: A distribuição binomial é afetada pelo tamanho amostral n e a probabilidade p, enquanto a distribuição de Poisson é afetada apenas pela médiaµ. Em uma distribuição binomial os valores possíveis da variável aleatória x são 0, 1,... n, mas a distribuição de Poisson tem como valores possíveis para x 0,1,..., sem limite superior. Slide 43

44 Poisson como Aproximação à Binomial A distribuição de Poisson é algumas vezes usada para aproximar a distribuição binomial quando n é grande e p é pequeno. Regra Empírica n 100 np 10 Slide 44

45 Poisson como Aproximação à Binomial -µ n 100 np 10 Valor para µ µ = n p Slide 45

46 Recapitulando Nesta seção nós estudamos: Definição da distribuição de Poisson. Requisitos para a distribuição de Poisson. Diferença entre a distribuição de Poisson e a distribuição binomial. Poisson como aproximação à binomial. Slide 46