Processos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes

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1 Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes

2 Sumário Probabilidade Variáveis Aleatórias Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Variáveis Aleatórias Momentos e Estatística Condicional Teorema do Limite Central Processos Estocásticos Análise Espectral Filtragem e Predição Estocástica Processos Markovianos

3 Probabilidade Definições de probabilidade Freqüência relativa Axiomas da probabilidade Métodos de Contagem Probabilidade Condicional Teorema de bayes

4 Introdução Fenômenos Determinísticos Conhecidos com certeza Não sujeitos às leis do acaso Ex.: o ano atual, idade de uma pessoa jovem Fenômenos Probabilísticos Não conhecidos com certeza Sujeitos às leis do acaso Ex.: face de um dado, se vai chover amanhã, se o Remo vai ser campeão

5 Introdução Experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condições não produzem o mesmo resultado são denominados de experimentos aleatórios. Mas por quê isto ocorre? Entradas/causas observadas Entradas/causas observadas Experimento Saídas/efeitos observados

6 Espaço Amostral Definiremos Espaço Amostral (S) associado a um experimento o conjunto de seus resultados possíveis. Conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer. Pode ser discreto (finito ou infinito) ou contínuo.

7 Exemplos de Espaço Amostral Exemplo1: Experimento de lançamento de um dado. O espaço amostral do experimento é o conjunto S = {1,2,3,4,5,6}. Exemplo2: Experimento de lançamento de dois dados simultaneamente. O espaço amostral do experimento é o conjunto S(primeira face, segunda face) = {????}

8 Exemplos de Espaço Amostral Exemplo3: Experimento de obtenção do tempo de vida de uma lâmpada. O espaço amostral do experimento é o conjunto S = {x: x real, x>0}. Processo estocástico é uma seqüência de experimentos, no qual cada um tem um número finito de resultados, com uma dada atribuição de probabilidade

9 Exemplos de Processos Estocásticos Processo estocástico do exemplo1. Processo estocástico do exemplo3. Como um fabricante deve calcular o tempo de garantia de um produto seu. Uma TV, por exemplo?

10 Eventos São qualquer subconjunto de um Espaço Amostral. Os eventos podem ser simples ou compostos S evento certo Ø evento vazio (impossível)

11 Exemplos de Eventos Exemplo1: Dar um número par Dar um número maior que 4 Dar um número entre 1 e 6 Exemplo2: A soma dos resultados seja igual a 4 Que a soma dos resultados seja par

12 Operações entre Eventos União: A U B Se ocorrer pelo menos um dos eventos Interseção: A B Se ocorrer ambos os eventos Complementar: A c É o evento que ocorre quando A não ocorrer. A B

13 Exemplos de Operações com Eventos Uma urna contém bolas de um a quinze. Uma bola é retirada da urna e seu número anotado. Sejam A e B os seguintes eventos: A: o número da bola retirada é par, B: o número da bola retirada é múltiplo de 3. Determine: S,A, B, AUB, A B e A c

14 Operações entre Eventos Implicação: A B, A implica em B. Igualdade: A B e A B A = B. Mutuamente exclusivo: A B = Ø Se a união de n eventos mutuamente exclusivos é o próprio S, dizemos que tais eventos são mutuamente exclusivos e exaustivos, ou formam uma partição em S. Exemplos em diagrama de Venn

15 Propriedades das Operações entre Eventos 1. (AUB) C = (A C) U (B C) 2. (A B) U C = (A U C) (B U C) 3. (A U B) c = A c B c 4. (A B) c = A c U B c A B A B C C

16 Probabilidade Vem da idéia de mensurar eventos aleatórios. Procedimento de cálculo de propriedades de eventos aleatórios Número que reflita as chances de ocorrência de um evento aleatório.

17 Probabilidade: definição clássica Dado um espaço amostral S com N eventos igualmente possíveis. Se A é um evento em S composto de m eventos simples, a probabilidade de ocorrência de um evento A num experimento é calculada por: P(A) = m / N É a razão entre os eventos desejáveis dentre o universo dos possíveis.

18 Probabilidade: definição clássica Conseqüências: 1. P(A) = 0, para todo A S; 2. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então: - P(AUB) = P(A) + P(B) 3. P(S) = 1 4. P(AUB) = P(A) + P(B) P(A B)

19 Probabilidade: definição freqüentista Repetir um experimento sob as mesmas circunstâncias. A probabilidade de ocorrência de um evento A seria: P(A) = lim M/ N N M é o número de ocorrência do evento A N é o número total de experimentos.

20 Probabilidade: definição subjetiva Quando não a possibilidade de se aplicar os conceitos clássicos e freqüentista de probabilidade: Baseia-se em opinião sobre ocorrência de um evento. Probabilidade do resultado de um jogo. Probabilidade de haver aula.

21 Probabilidade: definição axiomática Supõe as seguintes verdades absolutas: Dado um espaço amostral S e eventos A e B, tem-se. 1. P(A) 0; 2. P(S) = 1; 3. Se A e B são mutuamente exclusivos, P(A+B) = P(A) + P(B)

22 Propriedades da Probabilidade 1. P(Ø) = 0 2. P(S) = 1 3. P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C), se A, B e C são mutuamente exclusivos. 4. P(A c ) = 1 P(A) 5. P(AUB) = P(A) + P(B) P(A B) 6. Se A B P(A) P(B) 7. P(AUB) = P(A) + P(A C B)

23 Métodos de Contagem Para se calcular a probabilidade de um evento é necessário saber sua proporção dentro do universo dos eventos possíveis S A P(A) =??? Supondo eventos equiprováveis

24 Princípio Fundamental da Contagem Se uma tarefa é completada em N etapas seqüenciais, com n i possibilidade em cada etapa. Então, o número total de maneiras de realizar a tarefa é: Número Total = n 1 x n 2 x... n N??? Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3

25 Tipos de Experimentos Com reposição ou sem reposição de amostras Elementos das amostras podem ser ordenados ou não ordenados

26 Tipos de Experimentos Experimento sem reposição ordenado: Dada uma turma de N alunos, escolher 01 presidente, 01 tesoureiro e 01 secretário. Arranjo Experimento sem reposição não ordenado: Dada uma turma de N alunos, escolher 03 representantes. Combinação

27 Tipos de Experimentos Cálculo de experimento sem reposição ordenado: Ordenar n amostras de um conjunto de N elementos, sem reposição. (N) n = N (N-1)... (N-n+1) = N! / (N-n)! Escolher 01 goleiro e 01 centroavante entre 8 jogadores. Escolher 01 presidente, 01 tesoureiro, 01secretário numa turma de 15 formandos.

28 Tipos de Experimentos Cálculo de experimento com reposição ordenado: Ordenar n amostras de um conjunto de N elementos, com reposição. N n= N N... N (já que há reposição) Escolher 01 goleiro e 01 capitão dentre 11 jogadores. Escolher 01 presidente e 01 tesoureiro dentre 15 alunos, sendo que há a possibilidade de se acumular os cargos.

29 Tipos de Experimentos A probabilidade é o razão entre os eventos desejados e os possíveis: Qual é a probabilidade de se lançar um dado 03 vezes e não ocorrer repetição de números? Na maternidade Parto Feliz nasceram 05 crianças numa determinada semana. Qual era a probabilidade de todas as crianças terem nascido em dias distintos? P(A) = (N) n / N n

30 Tipos de Experimentos Permutação Se N = n P n = n! (n) n = n (n-1)... (n-n+1) Quantas palavras de 03 letras não repetidas posso formar com o seguinte conjunto de letras? L = {A, I, B}

31 Tipos de Experimentos Experimento sem reposição não ordenado: Combinação de N elementos n a n. Dada uma turma de N alunos, escolher 03 representantes. Há menos possibilidades do que no caso ordenado, certo? C N,n = (N) n / P n = N!/(n! (N-n)!) (analisar!!!)

32 Tipos de Experimentos Experimento sem reposição não ordenado: C N,n = (N) n / P n = N!/(n! (N-n)!) 8 times participam de um torneio de futebol. Cada equipe enfrenta todas as demais apenas uma vez. Quantos jogos serão realizados? E se houver jogos de ida e de volta? Escolher 03 pessoas num grupo de 10.

33 Partição de Conjuntos C N,n Equivale dividir S em dois subconjunto: A e A c Acom n elementos e A c com n1 elementos, sendo: N = n + n1 A S - A possui n elementos - S possui N elementos

34 Partição de Conjuntos Generalização do problema: Dividir um conjunto S de N elementos em k subconjuntos, sendo que N = n 1 + n n k (n i número de elemento do i- ésimo subconjunto) Corresponde a k problemas encadeados de combinações (veja o diagrama de Venn) C N,n1 C (N-n1),n2... C nk,nk

35 Partição de Conjuntos Generalização do problema: Que matematicamente é equivalente a: N!/(n 1! n 2!... n k!) C C N,n1 (N-n1),n2... C nk,nk Será que isto é verdade? C N,n = N! / (n! (N-n)! ) (lembrete)

36 Exemplos: Partição de Conjuntos O jogo de bridge corresponde a dividir o baralho de 52 entre 04 jogadores. Quantas maneiras há de se dividir o baralho? Resp. C 52,13 C 39,13 C 26,13 C 13,13

37 Exemplos: Partição de Conjuntos O jogo de pôquer com 04 jogadores utiliza 32 cartas, distribuídas igualmente entre os 04 naipes. Baralho = {Naipes X Cartas} Naipes = {paus,espada,ouro,copas} Cartas = {7,8,9,10,Valete,Dama,Rei, Ás} Se um jogador receber na primeira mão 05 cartas, qual é a probabilidade dele receber só um par de ases (evento A)? Resp. P(A) = C 4,2 C 7,3 ( C 4,1 C 4,1 C 4,1 )/ C 32,5 = 0,11 (0,0667) ÁS ÁS ÁS ÁS ÁS

38 Partição de Conjuntos Processos de Bernoulli Qual é a probabilidade de ocorrer k vezes um eventos A dentre N tentativas, sendo p a sua probabilidade do ocorrência? P(A) = p, P(A c ) = 1 p P(A) P(A)...P(A) P(A c )...P(A c ) = p k (1-p) N-k Pode-se combinar esse conjunto de eventos de N, k a k maneiras. P{A ocorrer exatamente k vezes} = C N,k p (1- p) N-k

39 Partição de Conjuntos Processos de Bernoulli P{A ocorrer apenas exatamente k vezes} = C N,k p (1- p) N-k Exemplo: Qual é a probabilidade que em uma família com 04 filhos, 02 serem meninas? Resolução por Bernoulli ou de forma exaustiva. Resp. = 3/8

40 Partição de Conjuntos Processos de Bernoulli P{A ocorrer apenas exatamente k vezes} = C N,k p k (1- p) N- k Exemplo: Um atirador tem três chances de acertar um alvo. Para ele vencer a competição deverá acertar pelo menos duas vezes no alvo. Sabendo-se que ele tem probabilidade de 0,4 de acerta um tiro, qual é a probabilidade dele vencer a competição? Resp. = 0,352

41 Próxima Aula Probabilidade condicional, eventos independentes e teorema de Bayes

42 Probabilidade Condicional Sejam dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral e supondo que P(A) > 0, a probabilidade condicional de B ocorrer dado que A ocorreu é dada por: P(B/A) = P(A B) / P(A) É a probabilidade de ocorrer A e B dentro do subconjunto dos eventos de A. A B P(B/A) =

43 Probabilidade Condicional Dado: P(B/A) = P(A B) / P(A) A probabilidade de ocorrer os eventos A e B é igual a: P(A B) = P(B/A) P(A) = P(A) P(B/A) A probabilidade de ocorrer A e ocorrer B dado que ocorreu A A B P(B/A) =

44 Probabilidade Condicional Exemplo: P(B/A) = P(A B) / P(A)

45 Probabilidade Condicional Exemplo: experimentos seqüenciais que a ocorrência de um eventos na k-ésima etapa depende das etapas anteriores Dada uma urna com 03 bolas azuis e 07 vermelhas. Se 02 bolas são retiradas sem reposição, determine: Espaço amostral: P(A 1 A 2 ) P(A 1 V 2 ) P(V 1 A 2 ) P(V 1 V 2 ) P(A/B) = P(A B) / P(B)

46 Probabilidade Condicional Generalização da probabilidade condicional: P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 ) P(A 2 /A 1 )P(A 3 /A 1 A 2 )... P(A n /A 1 A 2...A n-1 ) Interpretação: P(A) P(B/A) P(C/BA) P(ABC)

47 Probabilidade Condicional Exemplo: Dada uma urna com 03 bolas azuis e 07 vermelhas. Se 02 bolas são retiradas sem reposição, qual é a probabilidade de ocorrer a seguinte seqüência de eventos: P(A 1 A 2 V 3 V 4 A 5 ) = 1/120 P(A 1 A 2 A 3 V 4 V 5 ) =? P(V 1 V 2 A 3 A 4 A 5 ) =?...

48 Probabilidade Total P(A) = P(A/B 1 ) P(B 1 ) + P(A/B 2 ) P(B 2 )... P(A/B n ) P(B n ) P(A) = P(AB 1 ) + P(AB 2 ) P(AB n ) B 2 A Conjuntos disjuntos B n B 1

49 Probabilidade Total Exemplo: dada 03 urnas com as seguintes composições: Urna 1: 03 bolas brancas e 05 bolas vermelhas. Urna 2: 04 bolas brancas e 02 bolas vermelhas. Urna 2: 01 bola branca e 03 bolas vermelhas. A probabilidade de escolha das urnas é, respectivamente: 2/6, 3/6 e 1/6. Qual é a probabilidade de se escolher uma bola branca? Resp. = ½ Interpretação via média ponderada.

50 Teorema de Bayes Dado dois eventos A e B, num mesmo espaço amostral, pela probabilidade condicional, temos: P(A B) = P(A) P(B/A) P(B A) = P(B) P(A/B) P(A) = P(B) P(A/B) / P(B/A) P(A/B) = P(A). P(B/A) / P(B) Ponderação

51 Teorema de Bayes Exemplo: dado um baralho com 52 cartas Qual é a probabilidade de se tirar uma Rainha, sabendo-se que a carta é uma figura? Qual é a probabilidade de se tirar uma Rainha, sabendo-se que a carta é de espada? Qual é a probabilidade de se tira uma Rainha de espada, sabendo-se que a carta é uma figura preta?

52 Teorema de Bayes Exemplo: Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% dos dias em que não chove. Costuma chover em 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva para amanhã, qual é a probabilidade de realmente vir a chover? Chove Sol Prev. Ch. Prev. sol Total Total 1,0

53 Teorema de Bayes Generalização: Dadas duas partições de S (S=A 1 UA 2 ), então: P(A 1 /B) = P(A 1 ) P(B/A 1 ) / ( P(A 1 ) P(B/A 1 ) + P(A 2 ) P(B/A 2 ) ) Uma vez que: P(B) = P(A 1 ) P(B/A 1 ) + P(A 2 ) P(B/A 2 ) Para o caso de n partições: P(A i /B) = P(A i ) P(B/A i ) / Σ ( P(A k ) P(B/A k ) ) Média ponderada

54 Teorema de Bayes Exemplo: Um companhia produz peças em 03 fábricas (A 1,A 2 e A 3 ), na proporção de 15%, 35% e 50%, respectivamente. Suas probabilidades de produzirem peças defeituosas são: 1%, 5% e 2%. Dado que o controle de qualidade detectou uma peça com defeito, qual é a probabilidade de ter sido produzida por cada uma das fábricas?» P(A i /D) =?

55 Independência entre Eventos Dois eventos são independente se a ocorrência de um dele não alterar a probabilidade de ocorrência do outro e viceversa. Sejam dois eventos A e B, sendo P(A) > 0. O evento B é dito independente de A se: P(B/A) = P(B)

56 Independência entre Eventos Como: P(B/A) = P(B) (eventos independentes) P(A B) = P(A) P(B) Se B é independente de A, logo o inverso também é verdadeiro?

57 Exemplo: Independência entre Eventos P(A), P(B), P(A B), P(A) P(B), P(A/B) e P(B/A) Independência é uma questão de proporção

58 Independência entre Eventos Exemplo: Experimento: lançamento de 02 moedas Eventos: A 1 (cara no 1 0 lançamento), A 2 (cara no 2 0 lançamento) e A 3 (ocorrência da mesma face nos dois lançamentos). Verifique: P(A 1 ), P(A 2 ), P(A 3 ) P(A 1 A 2 ), P(A 1 A 3 ) e P(A 2 A 3 ) P(A 1 A 2 A 3 ) P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 ) P(A 2 ) P(A 3 )?

59 Independência entre Eventos Com seria a independência de 03 eventos (A,B,C) simultaneamente? P(AB) = P(A) P(B) P(AC) = P(A) P(C) P(BC) = P(B) P(C) P(ABC) = P(A) P(B) P(C) E para n eventos?

60 Exemplos Finais Um piloto de Fórmula 1 acaba de entrar no boxe com seu carro. Ele sabe que o carro apresenta pelo menos um entre dois problemas: de injeção e ou de bobina. A probabilidade de haver problema de injeção é de 60% e a de bobina, 70%. Por outro lado, as probabilidade de o carro retornar à corrida são: a) 80% se houver só problema de bobina. b) 40% de houver só problema de injeção. c) 20% se houver ambos os problemas. Pergunta-se: i) Qual a probabilidade de que o carro esteja com os dois problemas? ii) Qual a probabilidade de que o carro retorne à corrida? iii) Se o carro retornar à corrida, qual a probabilidade de que ele estivesse com os dois problemas? iv) Qual a probabilidade do carro retornar à corrida, sabendo-se que o piloto é Rubens Barrichelo?

61 Exemplos Suponha que João recebeu um diagnóstico, após um exame hormonal, de que ele é homossexual. Ele entra em pânico. Então seu amigo, que está cursando a disciplina de processos estocásticos, diz a ele para se acalmar que ele vai fazer algumas contas para ver a real possibilidade deles continuarem amigos e freqüentarem JUNTOS o mesmo vestiário na academia. A proporção de homossexuais na sociedade é de 10%. A probabilidade de falso negativo no teste é de 40%. A probabilidade de falso positivo é de 2%.

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