Experiências aleatórias e probabilidade

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Bento Marreiro Estrela
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1 Experiências aleatórias e probabilidade L.J. Amoreira UBI Novembro 2010

2 Experiências aleatórias Experiências aleatórias são aquelas cujos resultados não são conhecidos de antemão. Espaço de resultados de uma experiência aleatória é o conjunto de todos os resultados possíveis Exemplos: O lançamento de um dado. O espaço de resultados é o conjunto {1,2,3,4,5,6}. A priori, não sabemos qual sairá. Um resultado de um jogo de futebol entre duas equipas A e B. O vencedor será um dos concorrentes, mas prognósticos, prognósticos, só no fim do jogo. O espaço de resultados é o conjunto {A,B} Abre-se uma lista telefónica ao acaso e toma-se como resultado da experiência o último algarismo do último número da página da direita. O resultado é um dos dígitos {0-9}

3 Acontecimentos Chama-se acontecimento a qualquer sub-conjunto do espaço de resultados de uma experiência aleatória. No lançamento de um dado, são acontecimentos o sair, o sair, mas são também acontecimentos sair um número par, sair um resultado maior que 5, etc Quando se selecciona um candidato a um emprego, são acontecimentos diferentes ser escolhido uma mulher, uma pessoa com menos de 35 anos, um praticante de Tae-kwen-do, etc.

4 Complementar de um acontecimento Dado um evento, chama-se complementar desse evento ao sub-conjunto do espaço de resultados formado por todos os resultados que não pertencem a esse evento Exemplos: Dados: E = {, }; Ē = {,,, } Jogo de cartas: E = { }; Ē = {,, } Selecção de candidatos: E = {Mulher}; Ē = {Homem} Dado um neutrão isolado, considera-se o acontecimento de ele decair antes de passarem 10 s da sua criação. O acontecimento complementar é ele só decair depois desses 10 s. O complementar do acontecimento determinado aluno passa a Física da Informação é... (Depois não digam que eu não avisei...)

5 Intersecção de dois acontecimentos A intersecção de dois acontecimentos é o acontecimento constituído por todos os resultados que pertencem simultaneamente a esses dois acontecimentos. Dados: A = {r r é par} B = {r r 3} A B = {2} Cartas: A = {, } B = {A, A, A, A } A B = {A, A } Candidatos: A = {c c } B = {c I < 20} A B = {, I < 20} Dois acontecimentos dizem-se incompatíveis se a sua intersecção é o vazio A intersecção dos acontecimentos O almoço será antes das duas e o almoço será depois da uma é o acontecimento o almoço será entre a uma e as duas A intersecção dos acontecimentos O almoço será antes das duas e o almoço será depois das duas é o acontecimento vazio

6 União de acontecimentos A união de dois acontecimentos é o acontecimento constituído pelos resultados que pertencem a um ou ao outro desses acontecimentos Dados: A = {r r é par} B = {r r 3} A B = {,,,, } Cartas: A = {c c é K} B = {c c é figura } A B = {K, K, K, K, Q, J } A união de dois acontecimentos complementares é o espaço de resultados. Algo que é um pinheiro ou é outra árvore qualquer, é com certeza uma árvore Se o almoço for até às duas ou a partir das duas, poderá ser a qualquer hora No lançamento de um dado, qualquer resultado pertence à união dos acontecimentos sai par e sai ímpar

7 Diagramas de Venn Representamos o espaço de resultados com um rectângulo e os acontecimentos como porções desse rectângulo Representam-se graficamente as combinações de acontecimentos Intersecção A B: União A B: Acont. disjuntos: Complementar Ā:

8 Definição de probabilidade Dada uma experiência com espaço de resultados S, probabilidade é qualquer função dos resultados da experiência que satisfaça 1. 0 P(E) 1, E S 2. P(S) = 1 3. Dados acontecimentos incompatíveis E 1, E 2,..., E N, P ( N i=1 E i ) = N P(E i ), i=1 E 1,..., E N S De 2 e 3 resulta imediatamente P(C) = 1 P( C)

9 Acontecimentos equiprováveis Se uma experiência tem N resultados elementares possíveis R 1, R 2,..., R N, com igual probabilidade P, então, de (3) e (2), 1 = P(S) = N P i = NP P = 1/N i=1 Nesse caso, a probabilidade de um acontecimento que se verifica se se der qualquer um de k resultados elementares é, de acordo com (3), dada pela Regra de Laplace: P = Número de resultados favoráveis Número de resultados possíveis = k N

10 Exemplo De uma caixa com 6 bolas vermelhas e 5 bolas azuis, retiram-se três ao calhas. Qual a probabilidade, P(1, 2), de serem retiradas 1 ( bola vermelha ) e 2 azuis? 11 Casos possíveis: Casos favoráveis: Probabilidade: 3 ( 6 1 )( 5 2 ( 6 ) )( 5 ) P(1, 2) = 1 2 ( ) =

11 Probabilidade da união Acontecimentos incompatíveis: P(A B) = P(A) + P(B) (Prop. 3) Acontecimentos não incompatíveis: P(A) + P(B) conta duas vezes A B. Então, em geral, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Generalização: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(B C) P(C A) + P(A B C)

12 Probabilidade da união P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Exemplo: escolhe-se aleatoriamente um inteiro entre 1 e 50 (incl.). Qual a probabilidade de ser divisível por 6 (A) ou por 8 (B)? Resultados possíveis (50): Número de resultados favoráveis a A: 8 P(A) = 8/50 Número de resultados favoráveis a B: 6 P(B) = 6/50 Número de resultados favoráveis a A B: 2 P(A B) = 2/50 Probabilidade da união: P(A B) = = 12 50

13 Probabilidade condicional Um inteiro r é escolhido ao acaso entre 1 e 10 (inclusive). Qual a probabilidade de (acontecimento A) ser divisível por 4? } N o de resultados possíveis: 10 N o P(4 r) = 2 de resultados favoráveis: 2 10 = 1 5 Um inteiro r é escolhido ao acaso entre 1 e 10 (inclusive). Qual a probabilidade de ser divisível por 4, sabendo que é par (acontecimento B)? } N o de resultados possíveis: 5 N o P(4 r 2 r) = 2 P(A B) = de resultados favoráveis: 2 5 P(B) Probabilidade condicional: P(A B) = P(A B) P(B)

14 P(A B) P(B A) Num voo regular, a probabilidade de não haver atrasos na saída é P(S) = 0, 83; a probabilidade de não haver atrasos na chegada é P(C) = 0, 75; a probabilidade de não haver atrasos na saída nem na chegada é P(S C) = 0, 71. Então Probabilidade de chegar a horas sabendo que partiu a horas: P(C S) = P(C S) P(S) = 0, 855 Probabilidade de ter saído a horas sabendo que chegou a horas: P(C S) P(S C) = = 0, 947 P(C)

15 Regra da multiplicação. Independência Regra de multiplicação: P(A B) = P(B)P(A B) Exemplo: lançamos um dado. Qual a probabiliade do resultado ser par (acontecimento A) e maior que 3 (acontecimento B)? P(A B) = P(B)P(A B) = = 1 3 Acontecimentos independentes Saber que se verificou um não altera a probabilidade do outro. Logo P(A B) = P(A) Se A, B são independentes, então P(A B) = P(A)P(B) Exemplo: lançamos dois dados. Os resultados no segundo são independentes dos do primeiro. Logo, a probabilidade de cada resultado possível é (1/6)(1/6)=1/36

16 Distribuição binomial Um resultado particular de uma dada experiência tem probabilidade p. (Logo, a probabilidade de que não ocorra é q = 1 p Se repetirmos N vezes a experiência, qual a probabilidade P N (k) de que esse acontecimento ocorra k vezes? ( ) N Há maneiras diferentes de distribuir os k k sucessos pelas N tentativas, cada uma das quais com probabilidade p k q N k. Então P N (k) = ( N k ) p k q N k

17 Distribuição binomial Exemplo: Qual a probabilidade de que em 5 lançamentos de um dado, ocorra 2 vezes o resultado? 10 possibilidades: X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X P 5 (2) = 10P 2 ( )P 3 (X) ( ) ( ) ( ) 5 3 = = 0,

18 QUESTIONÁRIO

19 Para os alunos de número par 1. A probabilidade de, no lançamento de um dado, sair um resultado múltiplo de 3 ou um resultado menor que 4 é A 2/3 B 5/6 C 1/3 Para os alunos de número ímpar 1. A probabilidade de, no lançamento de um dado, sair um resultado múltiplo de 3 ou um resultado maior que 4 é A 2/3 B 5/6 C 1/2 2. Lança-se um dado. Os acontecimentos o resultado é maior do que 4 e o resultado é par são independentes? A Sim; B Não; C Depende 2. Lança-se um dado. Os acontecimentos o resultado é menor do que 4 e o resultado é par são independentes? A Sim; B Não; C Depende

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