Probabilidade e Modelos Probabilísticos

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1 Probabilidade e Modelos Probabilísticos 1ª Parte: Conceitos básicos, variáveis aleatórias, modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas, modelo binomial, modelo de Poisson 1

2 Probabilidade Mensuração da chance de ocorrência de fenômenos aleatórios, mostrando como poderão ocorrer os fatos. Base teórica para a análise inferencial. 2

3 Eemplo de um eperimento aleatório Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se é homem ou mulher. Resultados possíveis: homem, mulher Espaço amostral = {homem, mulher} 3

4 Probabilidade de um resultado Qual a probabilidade de homem e de mulher? P(homem = 0,5 P(mulher = 0,5 A probabilidade é um número entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1. 50% homens 50% mulheres 4

5 Evento Evento = conjunto de resultados possíveis Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilidades: P(1 = P(2 =... = P(6 = 1/6 Eventos: A = número par, B = núm. menor que 3 A = {2, 4, 6} B = {1, 2} P(A = 1/2 P(B = 2/6 = 1/3 5

6 Operações com eventos A A não A P( A 1 P( A 6

7 Operações com eventos A B A B P( A B P( A P( B P( A B Eventos Mutuamente Eclusivos: SEM intersecção AB = P( = 0 7

8 Probabilidade condicional Tipo do leite Condição do peso B (B C (C UHT (U Total dentro das especificações (D fora das especificações (F Total P( F 0,051 P( F U 0, P( F 50 U P( F U P( U 8

9 Probabilidade condicional Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele? Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele? P( Champignon Calabresa 3/8 P( Champignon Calabresa P( Calabresa 5/8 P( Champignon Calabresa 3/8 P( Calabresa Champignon P( Champignon 4/

10 Probabilidade Condicional Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele? Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele? P( Champignon Calabresa 2/8 2 P( Champignon Calabresa P( Calabresa 4/8 4 P( Champignon Calabresa 2/8 2 P( Calabresa Champignon P( Champignon 4/8 4 10

11 11 Probabilidades de eventos ( 1 ( A P A P 1 Evento complementar: ( ( ( ( B A P B P A P B A P 2 Propriedade da soma: ( ( ( B P A P B A P 3 Propriedade da soma para eventos mutuamente eclusivos: / ( ( ( A B P A P B A P 4 Propriedade do produto: ( ( ( B P A P B A P 5 Propriedade do produto para eventos independentes

12 Variável aleatória Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é determinado por fatores de chance. Associa números aos eventos do espaço amostral. X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda; = {(cara, cara, (cara, coroa, {coroa, cara, (coroa, coroa} X:

13 Eemplos de variáveis aleatórias Vida útil (em horas de um televisor. Número de peças com defeito em um lote produzido. Número de acidentes registrados durante um mês na BR.101. Na internet, o tempo (em segundos para que uma determinada mensagem chega ao seu destino. Se uma mensagem chega (X = 1, ou não (X = 0, ao seu destino 13

14 Variáveis aleatórias variável aleatória discreta contínua os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais número de defeitos em... tempo de resposta de... 14

15 Construção de distribuições de probabilidades Sortear 2 bolas com reposição X = número de bolas pretas na amostra 15

16 3/5 2/5 (1 0 (2 0 3/5 2/5 3/5 2/5 Sortear 2 bolas com reposição X = número de bolas pretas na amostra p( 0 9/25 (0, /25 (0,48 2 4/25 (0,16 16

17 3/5 2/5 (1 0 (2 0 2/4 2/4 3/4 1/4 Sortear 2 bolas sem reposição X = número de bolas pretas na amostra p( 0 6/20 (0, /20 (0,60 2 2/20 (0,10 17

18 Sortear 2 bolas X = número de bolas pretas na amostra Distrib. de X com reposição p( 0 0,36 1 0,48 2 0,16 independência Distrib. de X sem reposição p( 0 0,30 1 0,60 2 0,10 18

19 Eemplo 1 Considere que numa grande rede de computadores, em 60% dos dias ocorre alguma falha. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X = número de dias com falhas na rede, considerando o período de observação de três dias. (Suponha independência. 19

20 Eemplo 1 Possibilidades BBB BBR BRB RBB BRR RBR RRB RRR Probabilidade 0,4 0,4 0,4 = 0,064 0,4 0,4 0,6 = 0,096 0,4 0,6 0,4 = 0,096 0,6 0,4 0,4 = 0,096 0,4 0,6 0,6 = 0,144 0,6 0,4 0,6 = 0,144 0,6 0,6 0,4 = 0,144 0,6 0,6 0,6 = 0,216 20

21 Eemplo 1 Distribuição de probabilidade de X: p( 0, , , , ,216 Total 1 0,064 0,288 0, número de dias com falhas na rede 21

22 Valor esperado e variância p( 1 p 1 E X i p i 2 p n p n 2 V X 2 i p i Total 1 22

23 Propriedades do valor esperado e variância ae(c = c be(x + c = E(X + c c E(cX = ce(x de(x + Y = E(X + E(Y e E(X Y = E(X E(Y av(c = 0 bv(x + c = V(X c V(cX = c 2 V(X ddp(cx = c DP(X 23

24 Eemplo 1 X = número de dias com falhas na rede. p( 0 0, , , ,216 E X i p i E(X = 0(0, (0, (0, (0,216 = 1,8 24

25 Eemplo 1 X = número de dias com falha na rede. p( 0 0, , , ,216 2 V X 2 i p i V(X = (0 1,8 2 (0,064 + (1 1,8 2 (0,288 +(2 1,8 2 (0,432 + (3 1,8 2 (0,216 = 0,72 25

26 Eperimento binomial consiste de n ensaios; cada ensaio tem somente dois resultados: sucesso / fracasso ; os ensaios são independentes, com P(sucesso = p (0 < p < 1 constante ao longo dos ensaios; ====> X = número de sucesso nos n ensaios 26

27 Eemplos de eperimentos binomiais Número de caras em 10 lançamentos de uma moeda; Número de itens defeituosos numa amostra de 20 itens (supondo amostragem aleatória e com reposição; Número de eleitores favoráveis a um determinado projeto de lei em uma amostra de 200 entrevistados (supondo amostragem aleatória de uma população muito grande. 27

28 Cálculo das probabilidades em eperimentos binomiais X = número de caras em 3 lançamentos de uma moeda com P(cara = p; P(X = 1 =? X = 1 C K K K C K K K C P(CKK = p (1 - p 2 P(X = 1 = 3 p (1 - p 2 n 28

29 29 O modelo binomial n p p n X P 1 ( Para um particular = 0, 1,..., n:!!(!, n n n C n p n X E ( (1 ( p p n X V

30 Eemplo 1 (de novo Considere que numa grande rede de computadores, em 60% dos dias ocorre alguma falha. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X = número de dias com falhas na rede, considerando o período de observação de três dias. (Suponha independência. 30

31 Eemplo 1 (de novo X = número de dias com falhas binomial com n = 3 p = 0,6 1 p = 0,4 P( X 3 0,6 3 0,4 31

32 Eemplo 1 (de novo n = 3 p = 0,6 P(X= = 3 ( 0,6.(1-0,6 (3- P(X=0 = ( 3 0,6 0.(1-0,6 (3-0 = 1.0,6 0.0,4 3 = 0, ( 0 = 3! 0! (3-0! =

33 Eemplo 1 (de novo n = 3 p = 0,6 P(X= = ( 3 0,6.(1-0,6 (3- P(X=1 = ( 3 0,6 1.(1-0,6 (3-1 = 3.0,6 1.0,4 2 = 0, ( 1 = 3! 1! (3-1! = 3 33

34 Eemplo 1 (de novo n = 3 p = 0,6 P(X= = ( 3 0,6.(1-0,6 (3- P(X=2 = ( 3 0,6 2.(1-0,6 (3-2 = 3.0,6 2.0,4 1 = 0, ( 2 = 3! 2! (3-2! = 3 34

35 Eemplo 1 (de novo n = 3 p = 0,6 P(X= = ( 3 0,6.(1-0,6 (3- P(X=3 = ( 3 0,6 3.(1-0,6 (3-3 = 1.0,6 3.0,4 0 = 0, ( 3 = 3! 3! (3-3! =

36 Distribuição da variável X p( 0, , , ,432 0,288 0, ,216 Total 1 0,064 E( X n p 30,6 1,8 V( X n p(1 p 30,6 0,4 0,

37 Distribuição de Poisson Número de observações de uma variável em um intervalo contínuo (tempo ou espaço: distribuição de Poisson. Eemplos: chamadas telefônicas por minuto, mensagens que chegam a um servidor por segundo acidentes por dia, defeitos por m 2, etc.. 37

38 Distribuição de Poisson Pressupostos Os números de ocorrências em quaisquer intervalos são independentes. A probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é zero. O número médio de ocorrências ( é constante em todo o intervalo considerado. 38

39 Distrib. de Poisson: uma justificativa X = núm. de ocorrências em [t, t+1] t t+1 n intervalos de amplitude 1/n, com n p = probab. de ocorrência em cada intervalo P( X n n p (1 p n p 0 n p > 0 P( X t t e ( =0, 1, 2,...! 39

40 Distribuição de Poisson Equação As probabilidades de uma distribuição de Poisson são dadas por: P(X= = e -t. t! t - número médio de ocorrências no intervalo (tempo ou espaço considerado. 40

41 Valor Esperado e Variância O valor esperado (média e a variância de uma distribuição de Poisson são iguais a. E(X = t Var(X = t 41

42 Eemplo 2 Em um processo produtivo têtil, o número médio de defeitos por m 2 de tecido é 0,4, variando segundo uma distribuição de Poisson. Qual é a probabilidade de que, em 1 m 2 de tecido fabricado: a não haja defeito? 42

43 Eemplo 2 - item a = 0,4 t =1 t = 0,4 P(X= = e -0,4.! P(X=0 = e -0,4. 0 0! = 0,6703 ou 67,03% 43

44 Eemplo 2 Em um processo produtivo têtil, o número médio de defeitos por m 2 de tecido é 0,4, variando segundo uma distribuição de Poisson. Qual é a probabilidade de que, em 1 m 2 de tecido fabricado: a não haja defeito? b haja no máimo 1 defeito? 44

45 Eemplo 2 - item b P(X= = P(X=1 = e -0,4.! e -0,4. 1 1! P( X 1 = 0,2681 ou 26,81% P(X=0 + P(X=1 = 0, ,2681 = 0,9384 ou 93,84% 45

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