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1 Teoria da Probabilidade Prof. Joni Fusinato

2 Teoria da Probabilidade Consiste em utilizar a intuição humana para estudar os fenômenos do nosso cotidiano. Usa o princípio básico do aprendizado humano que é a ideia de experimento. Aleatórios Casuais Experimentos Não Aleatórios Determinísticos

3 Definições Experimento Aleatório: Procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes. Exemplos: 1. Resultado no lançamento de um dado; 2. Condições climáticas nesse fim de semana; 3. Taxa de inflação do próximo mês; 4. Tipo sanguíneo de um habitante escolhido ao acaso. 5. Mercado de ações: valor da ação ao longo do tempo.

4 Espaço Amostral (S ou ) Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. O espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer. Exemplos: 1. Lançamento de um dado. = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. Tipo sanguíneo com fator Rh+ = {A, B, AB, O} 3. Hábito da leitura. = {leitor, não leitor}

5 Eventos: subconjuntos do espaço amostral Notação: A, B, C... (conjunto vazio): evento impossível : evento certo Exemplo: Lançamento de um dado. Espaço amostral: = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Alguns eventos: A: sair face par A = {2, 4, 6} B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6} C: sair face 1 C = {1}

6 Eventos certos, impossíveis e mutuamente exclusivos Evento certo: Ocorre quando um evento coincide com o espaço amostral. Exemplo: Lançar um dado e registrar os resultados Espaço amostral: = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Evento A: Ocorrência de um número menor que 7 e maior que zero. A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Portanto A =, logo o evento é certo.

7 Eventos certos, impossíveis e mutuamente exclusivos Evento impossível: Ocorre quando um evento é vazio. Exemplo: Lançar um dado e registrar os resultados Espaço amostral: = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Evento B: Ocorrência de um número maior que 6. Não existe um número maior que 6 no dado. Portanto B =, logo o evento é impossível.

8 Eventos certos, impossíveis e mutuamente exclusivos Eventos mutuamente exclusivos: Ocorrem quando dois ou mais eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo. Exemplo: Lançar uma moeda e registrar os resultados Espaço amostral: = cara, coroa Evento A: Ocorrência de cara. Evento B: Ocorrência de coroa. Ao lançar a moeda o resultado pode ser cara ou coroa, mas não ambos.

9 Operações com eventos Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral. A B: união dos eventos A e B. Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B. A B: interseção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

10 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Operações com eventos Exemplo: Lançamento de um dado Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1} sair uma face par ou maior que 3 A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} sair uma face par ou face 1 A C = {2, 4, 6} {1} = {1, 2, 4, 6}

11 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Operações com eventos Exemplo: Lançamento de um dado Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1} sair uma face par e maior que 3 A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6} sair uma face par e face 1 A C = {2, 4, 6} {1} = A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, A B =

12 Probabilidade Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório. Deve fornecer a informação de quão verossímil é a ocorrência de um particular evento Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral? Duas abordagens possíveis: 1. Freqüências de ocorrências 2. Suposições teóricas.

13 Probabilidade Atribuição da probabilidade: 1. Através das frequências de ocorrências. O experimento aleatório é repetido n vezes Calcula-se a frequência relativa com que cada resultado ocorre. Para um número grande de realizações, a frequência relativa aproxima-se da probabilidade. 2. Através de suposições teóricas. Exemplo: Lançamento de um dado Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado P(face 1) =... = P(face 6) = 1/6.

14 Cálculo de probabilidades p(a) p(a) número de elementos de A n(a) número de elementos de n( ) número de resultados favoráveis número total de resultados possíveis P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A n(a) é o número de elementos de A e n(ω) é o número de elementos do espaço amostral Ω. P(Ω) = 1: Evento certo P(ᶲ) = 0: Evento impossível 0 P(A) 1: Probabilidade de um evento A qualquer (A Ω)

15 Exemplo 1: Considere o lançamento de uma moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair coroa. Espaço amostral: = cara, coroa n( ) = 2 Evento A = coroa n(a) = 1 P( A) n( A) n( B) P( A) 1 2 = 0,50 = 50% de chances.

16 Exemplo 2: No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4? Espaço amostral: = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n( ) = 6 Evento A: A = 5, 6 n(a) = 2 n( A) 2 P( A) P( A) P( A) n( ) Temos 33% de chances de sair um número maior do que 4.

17 Exemplo 3: Vamos formar todos os números de 3 algarismos distintos, permutando os dígitos 7, 8 e 9. Qual é a probabilidade de, escolhendo um número desses ao acaso, ele ser: a) ímpar b) par? c) múltiplo de 6? d) múltiplo de 4? e) maior que 780? = 789, 798, 879, 897, 978, 987 n( ) = 6

18 a) Evento A: ser ímpar A = 789, 879, 897, 987 n(a) = P( A) 0,66 66% 6 3 b) Evento B: ser par B = 798, 978 n(b) = P( B) 0,33 33% 6 3 c) Evento C: ser múltiplo de 6 C = 798, P( C) 0,33 33% 6 d) Evento D: ser múltiplo de 4 D = n(d) = 0 n( D) 0 P( D) 0 0% n ( ) 6 e) Evento E: ser maior que 780 E = n(e) = 6 n( E) 6 P( E) 1 100% n ( ) 6

19 Exemplo 4: Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte e 5 gostam somente de leitura. Calcule a probabilidade de escolher, ao acaso, um desses jovens: a) ele gostar de música; b) ele não gostar de nenhuma dessas atividades. M E L 11

20 M E n( A) 44 P( A) n ( ) 75 58% L 11 n( B) 11 P( B) n ( ) 75 14% n( ) = 75 a) gostam de música: = 44 b) não gostam de nenhuma dessas atividades: 75 ( ) = = 11

21 Eventos Complementares Um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe a relação: p + q = 1 Exemplo: Se a probabilidade de um evento ocorrer é p = 1/5, a probabilidade de que ele não ocorra é de 4/5 p + q = 1 1/5 + q = 1 q = 1-1/5 q = 4/5

22 Em um lote de 30 peças, 6 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule: a) A probabilidade dessa peça ser defeituosa. b) A probabilidade dessa peça não ser defeituosa. a) p = 6/30 = 1/5 = 20% b) p = 1 1/5 = 4/5 = 80%

23 Eventos Independentes Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos. p = p 1 x p 2 Exemplo: No lançamento de dois dados simultaneamente qual a probabilidade de tirar 3 no 1º dado e 6 no 2 dado? p = p 1 x p 2 p = 1/6. 1/6 P = 1/36 = 2,78%

24 De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade da carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de copas? 1º Baralho P 1 = 4/52 = 1/13 2º Baralho P = p 1 x p 2 P = 1/13. 1/52 = 1/676 P = 0,15% P 2 = 1/52

25 Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas e 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde? 1º urna (A) P 1 = 3/9 = 1/3 2º urna (B) P = p 1 x p 2 x p 3 P = 1/3. 1/4. 4/9 = 1/27 P = 3,70% P 2 = 2/8 = 1/4 3º urna (C) P 3 = 4/9

26 Eventos Mutuamente Exclusivos Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro ocorra é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: p = p 1 + p 2 Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar 3 ou 5? p = p 1 + p 2 p = 1/6 + 1/6 P = 2/6 = 1/3 = 33,33%

27 São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do primeiro baralho e uma carta o segundo. Qual é a probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente nessa ordem? 1º Baralho P 1 = 4/52 = 1/13 2º Baralho P 2 = 1/52 A probabilidade de tirarmos uma dama no 1º baralho e um rei no segundo é: P 1 = 1/13. 1/13 = 1/169 A probabilidade de tirarmos um rei no 1º baralho e uma dama no segundo é: P 2 = 1/13. 1/13 = 1/169. Os eventos são mutuamente exclusivos. Então: P = 1/ /169 = 2/169 = 1,18%

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