Prof.: Joni Fusinato

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1 Introdução a Teoria da Probabilidade Prof.: Joni Fusinato

2 Teoria da Probabilidade Consiste em utilizar a intuição humana para estudar os fenômenos do nosso cotidiano. Usa o princípio básico do aprendizado humano que é a ideia de experimento. Aleatórios Casuais Experimentos Não Aleatórios Determinísticos

3 Probabilidade Parte da matemática que estuda as chances que um fenômeno ou evento tem de acontecer ou se repetir. Experimento Aleatório: Procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes. Exemplos: 1. Resultado no lançamento de um dado; 2. Condições climáticas nesse fim de semana; 3. Taxa de inflação do próximo mês; 4. Tipo sanguíneo de um habitante escolhido ao acaso. 5. Mercado de ações: valor da ação ao longo do tempo.

4 Espaço Amostral (S ou ) Conjunto de todos os resultados possíveis em um experimento aleatório. O espaço amostral é equiprovável quando todos os elementos têm a mesma chance de ocorrer. Exemplos: 1. Lançamento de um dado. = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. Tipo sanguíneo com fator Rh+ = {A, B, AB, O} 3. Hábito da leitura. = {leitor, não leitor} 4. Lançamento de uma moeda = {cara, coroa}

5 Eventos: subconjuntos do espaço amostral Notação: evento A, B, C... (conjunto vazio): evento impossível : evento certo Exemplo: Lançamento de um dado. Espaço amostral: = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Alguns eventos: A: sair face par A = {2, 4, 6} B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6} C: sair face 1 C = {1}

6 Simples Complementar Certo Mutuamente exclusivos Classificação de Eventos Impossível Intersecção União

7 Evento simples: formados por um único elemento do espaço amostral. Ex: lançamento de um dado cuja face voltada para cima seja divisível por 5. A = {5} Evento certo: o evento coincide com o espaço amostral. Ex: jogar um dado e obter um número menor que 7 e maior que zero. Evento impossível: obter um valor fora do espaço amostral. Ex: jogar 2 dados e obter a soma dos números contidos nas duas faces voltadas para cima ser igual ou maior que 20. Evento união: ocorrer ao menos um de dois eventos possíveis. Ex: Seja A = {2, 4} o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado ser par e menor ou igual a 4, e seja B = {4, 6} o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um segundo dado ser par maior ou igual a 4. Então C = {2, 4, 6}. O evento contém todos os elementos de A e B. Evento intersecção: contém apenas os elementos comuns a A e B. Ex: seja A = {2, 4} o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, par e menor ou igual a 4, e seja B = {4, 6}, o evento de ocorrência da face superior, par e maior ou igual a 4. Então C = {4} representa o evento de ocorrência da face 4 ao mesmo tempo no conjunto A e B.

8 Eventos mutuamente exclusivos: ocorrem quando dois ou mais eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo. Ex: jogar uma moeda e obter cara e coroa ao mesmo tempo. Evento Complementar: seja A = {1, 3, 5} o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número ímpar, o seu evento complementar é B = {2, 4, 6} ou seja, são todos os elementos do espaço amostral que não estão contidos em A.

9 O conceito de Probabilidade Para eventos aleatórios, existe a incerteza se um evento irá acontecer. Essa medida de chance ou probabilidade, que podemos esperar que o evento ocorra, designamos um número entre 1 e 0. Se são certos que ocorrerá o evento temos 100% de probabilidade ou 1, mas se sabemos que não ocorrerá o evento, podemos afirmar que sua probabilidade é zero. Como atribuir uma probabilidade aos elementos do espaço amostral? Duas abordagens usuais: 1. Frequência de ocorrência 2. Suposições teóricas.

10 1. Frequência de ocorrência. O experimento aleatório é repetido muitas vezes Calcula-se a frequência relativa de cada resultado. Para um número grande de realizações, a frequência relativa aproxima-se da probabilidade. Se Liga!!! O resultado pode ser dado na forma fracionária ou percentual. 2. Suposições teóricas. Exemplo: Lançamento de um dado Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado Admite-se que todas as faces tem a mesma chance de caírem voltadas para cima, ou seja: P(1) = P(2)... = P(6) = 1/6.

11 Cálculo da probabilidade de ocorrer um evento p(a) p(a) número de elementos de A n(a) número de elementos de n( ) número de resultados favoráveis número total de resultados possíveis P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A n(a) é o número de elementos de A e n(ω) é o número de elementos do espaço amostral Ω. P(Ω) = 1: Evento certo P(ᶲ) = 0: Evento impossível 0 P(A) 1: Probabilidade de um evento A qualquer (A Ω)

12 Exemplo 1: Lança-se uma moeda honesta. Qual a chance de sair coroa? Espaço amostral: = cara, coroa n( ) = 2 Evento A = coroa n(a) = 1 n( A) 1 P( A) 0,50 n ( ) 2 50%

13 Exemplo 2: Lança-se um dado honesto. Qual é a probabilidade de sair um número maior do que 4? Espaço amostral: = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n( ) = 6 Evento A: A = 5, 6 n(a) = 2 33% 0,33 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A P A P n A n A P 33% de chances de sair um número maior do que 4.

14 Exercício 1 Uma campanha de marketing feita por uma concessionária informava que os 100 primeiros visitantes receberiam um bilhete numerado e concorreriam ao sorteio de um carro. Chegada a hora do sorteio, foram colocadas 100 bolas numeradas de 1 a 100 em uma urna. Considerando que você esteja entre um dos 100 primeiros visitantes, qual a probabilidade do seu número ser sorteado? 1 P( A) 0, %

15 Exercício 2 Uma caixa tem 500 leds. Desses 20 são defeituosos. Se A é o evento led com defeito e a referência é toda a caixa, calcule a probabilidade de ocorrer o evento A 20 1 P( A) 0, %

16 Exercício 3: Considere a sequência de 3 algarismos distintos formada pela permutação dos números 7, 8 e 9: 789, 798, 879, 897, 978, 987 Qual a chance de, escolhendo aleatoriamente um número, ele ser: a) Ímpar? b) Par? c) Múltiplo de 4? d) Maior que 780? = 789, 798, 879, 897, 978, 987 n( ) = 6

17 = 789, 798, 879, 897, 978, 987 n( ) = 6 a) Evento A: ser ímpar A = 789, 879, 897, 987 n(a) = P( A) 0, % b) Evento B: ser par B = 798, 978 n(b) = P( B) 0,33 33% 6 3 c) Evento C: ser múltiplo de 4 D = n(c) = 0 n( C) 0 P( C) 0 0% n ( ) 6 d) Evento D: ser maior que 780 E = n(d) = 6 n( D) 6 P( D) 1 100% n ( ) 6

18 Eventos Complementares Um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe a relação: p + q = 1 Exemplo: Se a probabilidade de um evento ocorrer é p = 1/5, a probabilidade de que ele não ocorra é de 4/5 p + q = 1 1/5 + q = 1 q = 1-1/5 q = 4/5

19 Em um lote de 30 peças, 6 são defeituosas. Sendo retirada uma peça desse lote: a) Qual a probabilidade da peça ser defeituosa? b) Qual a probabilidade da peça não ser defeituosa? a) p = 6/30 = 1/5 = 20% b) p = 1 1/5 = 4/5 = 80%

20 Eventos Independentes Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos. p = p 1 x p 2 Exemplo: No lançamento de dois dados simultaneamente qual a probabilidade de tirar 3 no 1º dado e 6 no 2 o dado? p = p 1 x p 2 p = 1/6. 1/6 P = 1/36 = 2,78%

21 De dois baralhos de 52 cartas cada um retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade da carta do 1º baralho ser um rei e a do 2º ser o 5 de copas? 1º Baralho P 1 = 4/52 = 1/13 2º Baralho P = p 1 x p 2 P = 1/13. 1/52 = 1/676 P = 0,15% P 2 = 1/52

22 Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas e 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde? 1º urna (A) P 1 = 3/9 = 1/3 2º urna (B) P = p 1 x p 2 x p 3 P = 1/3. 1/4. 4/9 = 1/27 P = 3,70% P 2 = 2/8 = 1/4 3º urna (C) P 3 = 4/9

23 Eventos Mutuamente Exclusivos Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro ocorra é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: p = p 1 + p 2 Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar 3 ou 5? p = p 1 + p 2 p = 1/6 + 1/6 P = 2/6 = 1/3 = 33,33%

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