Probabilidade. Professora Ana Hermínia Andrade. Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise

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1 Probabilidade Professora Ana Hermínia Andrade Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise Período

2 Você reconhece algum desses experimentos?

3 Alguns exemplos de experimentos aleatórios Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e observar o naipe Jogar uma moeda e observar sua face Retirar com ou sem reposição bolas de uma urna com bolas pretas e vermelhas Jogar um dado de 6 faces e observar qual o número obtido retirar n peças de um lote e observar o número de peças defeituosas

4 Espaço amostral e Eventos Espaço amostral e Eventos Seja Ω o conjunto dos possíveis resultados de um experimento aleatório, este é chamado de Espaço Amostral. Evento = Experimento = Sub-conjunto de Ω Definição: Seja Ω o espaço amostral do experimento. Todo subcojunto A Ω será chamado de evento. Ω é o evento certo φ é o evento impossível

5 Espaço amostral e Eventos Teoria dos Conjuntos Teoria dos Conjuntos = Eventos Considere os eventos A e B contidos em Ω A B A OU B

6 Espaço amostral e Eventos Teoria dos Conjuntos A B A E B

7 Espaço amostral e Eventos Teoria dos Conjuntos A c A não ocorre

8 Espaço amostral e Eventos Teoria dos Conjuntos Se A B e A ocorre B ocorre

9 Espaço amostral e Eventos Teoria dos Conjuntos Se A B = φ então A e B são mutualmente excludentes

10 Espaço amostral e Eventos Teoria dos Conjuntos Para mais de dois eventos: Se A 1,..., A n é uma coleção finita de eventos contidos emω: n i=1 A i ocorre se ao menos um A i ocorre n i=1 A i ocorre se todos os A i ocorrem

11 Definição Clássica de Probabilidade Definição Clássica de Probabilidade Pergunta: A que eventos devemos atribuir probabilidade? Exemplo: Considere o lançamento de um dado não-viciado de seis faces. Seja A um evento contido em Ω, então podemos atribuir alguma probabilidade a A. Logo: P(A) = #A 6 = números de casos favoráveis a A número de casos possíveis Esta é a Definição Clássica de Probabilidade baseada no conceito de resultados equiprováveis. Neste caso, como Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, então P(i) = 1 6 i Ω. Chamamos de Evento Aleatório todo evento ao qual se atribui uma probabilidade.

12 Definição Clássica de Probabilidade Definição Clássica de Probabilidade Exemplo: Uma carta é selecionada aleatoriamente de um baralho de 52 cartas. Sejam A: a carta é de espadas e B: a carta é uma figura. Calcule: P(A), P(B) e P(A B). Solução: Ω = {A, 2, 3,..., J, Q, K} : 52 cartas Existem 13 cartas de cada naipe e 12 cartas são figuras P(A) = #A #Ω = 13 #B, P(B) = 52 #Ω = e P(A B) = #A B #Ω = 3 52

13 Axiomas Axiomas de Probabilidade Seja A Ω, os axiomas de probabilidade propostos por Kolmogorov são: Axioma 1: P(A) 0 Axioma 2: P(Ω) = 1 Axioma 3 (aditividade finita): Se A 1,..., A n Ω e são mutualmente excludentes, então ( n ) P A i = i=1 n P(A i ) i=1

14 Axiomas Axiomas de Probabilidade Exemplo: Três cavalos A, B e C estão em uma corrida. A é duas vezes mais provável de ganhar que B e B é duas vezes mais do que C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um? Solução: P(A) = 2P(B), P(B) = 2P(C) e P(C) = p P(A) = 2(2p) = 4p e P(B) = 2p Sabemos que P(A) + P(B) + P(C) = 1. Logo, 4p + 2p + p = 1 7p = 1 p = 1 7 Então, P(A) = 4 7, P(B) = 2 7 e P(C) = 1 7.

15 Propriedades Propriedades de Probabilidade Sejam os eventos A, B e C Ω: P(φ) = 0 P(A c ) = 1 P(A) Se A B, então P(A) P(B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) P(A B) c = P(A c B c ) P ( n i=1 A i) n i=1 P(A i)

16 Propriedades Propriedades de Probabilidade Exemplo: Em uma seleção para engenheiro de uma empresa, dos 100 candidatos 40 tinham experiência e 30 possuíam especialização. 20 dos candidatos possuíam tanto experiência como também especialização. Escolhendo um candidato ao acaso, qual a probabilidade de que: Ele tenha experiência ou especialização? Ele não tenha experiência nem especialização? Solução: Sejam A: ter experiência e B: ter especialização. Sabemos que P(A) = = 0, 4, P(B) = 100 = 0, 3 e P(A B) = = 0, 2. P(A B) = 0, 4 + 0, 3 0, 2 = 0, 5 P(A c B c ) = P(A B) c = 1 P(A B) = 0, 5

17 Probabilidade Condicional Será que vai chover?

18 Probabilidade Condicional Probabilidade Condicional Definição: Sejam A e B Ω. A probabilidade condicional de A dado B é P(A B) P(A B) = P(B) Exemplo: Dois dados não viciados são lançados em sequência ao acaso. Qual a probabilidade da soma das faces ser 6 dado que a primeira face foi menor que 3? Solução: A: soma igual a 6 = {(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)} B: 1 menor que 3 = {(1,1),...,(1,6),(2,1),...,(2,6)} Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6)} e (A B) = {(1, 5), (2, 4)} P(A B) = P(A B) P(B) = 2/36 12/36 = 2 12 = 1 6

19 Teorema de Bayes Teorema da Bayes Definição: Dizemos que A 1,..., A n representam uma partição de Ω quando: A i A j = φ i j n i=1 A i = Ω P(A i ) > 0 i Seja B Ω, tal que B = B A 1 B A 2 B A n, que são disjuntos dois a dois.

20 Teorema de Bayes Teorema de Bayes Temos então P(B) = P(B A 1 ) + P(B A 2 ) + + P(B A n ) Pela probabilidade condicional pode ser escrito como P(B) = P(B A 1 )P(A 1 ) + P(B A 2 )P(A 2 ) + + P(B A n )P(A n ) Teorema da probabilidade Total: Se a sequência (finita ou enumerável) de eventos aleatórios A 1,..., A n,... formar uma partição de Ω, então P(B) = i P(A i )P(B A i ), B Ω.

21 Teorema de Bayes Teorema de Bayes Podemos agora calcular a probabilidade de A i dada a ocorrência de B. P(A i B) = P(A i B) P(B) = P(A i)p(b A i ) j P(A j)p(b A j ) Esse é o Teorema de Bayes, ele é útil quando conhecemos as probabilidades dos A i e a probabilidade de B dado A i, mas não conhecemos P(B).

22 Teorema de Bayes Teorema de Bayes Exemplo: Em uma turma 60% dos estudantes são homens e 40% são mulheres. Sabe-se que 1% dos homens e 4% das mulheres tem menos de 1, 60 metros de altura. Dado que um estudante com menos 1, 60 metros de altura foi sorteado ao acaso, qual a probabilidade de ser mulher? Solução: Eventos: H: Ser homem; M: Ser mulher e A: ter menos de 1, 60 metros. P(M A) = P(M A) P(M A) P(A) = P(M A)+P(H A) = P(A M)P(M) P(A M)P(M)+P(A H)P(H) = 0,04 0,40 0,04 0,40+0,01 0,60 = 0, 727

23 Independência Independência Definição: Considere dois eventos A e B quaisquer contidos em Ω. Estes são independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não é modificada pela ocorrência do outro, isto é, P(A) = P(A B) ou P(B) = P(B A). Neste caso, dizemos que P(A B) = P(A)P(B). Exemplo: Um número é escolhido ao acaso no conjunto 1, 2, 3,..., 20. Verifique se os eventos A e B são independentes quando A: O número escolhido é par e B: O número escolhido é múltiplo de 3. Solução: A : {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} e B : {3, 6, 9, 12, 15, 18} P(A) = = 1 2 ;P(B) = 6 20 = ;P(A B) = 20 ; P(A)P(B) = = 3 20

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