Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

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1 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 1 / 56

2 Introdução É provável que você ganhe um aumento.... Se atingir todas as metas, claro!!! Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 2 / 56

3 Probabilidade Condicional EXEMPLO 1: Um lote é formado pelos seguintes artigos: 80 não defeituosos e 20 defeituosos. Dois artigos são retirados do lote. Sejam A = {1o artigo defeituoso} e B = {2o artigo defeituoso}. Calcule P(A) e P(B): (a) com reposição e (b) sem reposição. (a) Se extrairmos com reposição, cada vez que estivermos extraindo do lote, existirão 20 peças defeituosas em um total de 100. Assim, P(A) = P(B) = 20/100 = 1/5. (b) Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade que P(A) = 1/5. Mas e sobre P(B)? É evidente que para calcularmos P(B) é necessário conhecer a composição do lote no momento de se extrair a segunda peça. Isto é, devemos saber se A ocorreu ou não. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 3 / 56

4 Em muitas situações, informações preliminares podem alterar as probabilidades de eventos. EXEMPLO 2: A probabilidade de chover no final da tarde poderia ser diferente se tivermos informações adicionais, tal como a situação climática no dia anterior. EXEMPLO 3: Seja A = uma mulher está grávida. Seja B = exame de farmácia negativo. Sabendo da ocorrência de B, a probabilidade de A (ela estar grávida) será alterada. EXEMPLO 4: A probabilidade de um indivíduo ter cirrose pode ser afetada pelo fato dele ser ou não alcoólatra. Iremos estudar agora como a informação de que um evento B ocorreu afeta a probabilidade de ocorrência de um evento A. Usaremos a notação P(A B) para representar a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o evento B. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 4 / 56

5 Sempre que calcularmos P(A B), estaremos essencialmente calculando P(A) em relação ao espaço amostral reduzido B, em lugar de considerar o espaço amostral original Ω. EXEMPLO 5: Diagrama de Venn Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 5 / 56

6 Exemplo 6 Exemplo Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo produto. Os resultados estão a seguir. João Pessoa Recife Campina Grande Total Sim Não Não sabe Total Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine: 1. P(sim) 2. P(Recife) 3. P(Campina Grande) 4. P(Não Campina Grande) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 6 / 56

7 Soluções João Pessoa Recife Campina Grande Total Sim Não Não sabe Total P(sim) = 400/1.000 = 0,4 2. P(Recife) = 450/1.000 = 0,45 3. P(Campina Grande) = 250/1.000 = 0,25 4. P(Não Campina Grande) = 95/250 = 0,38 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 7 / 56

8 Avaliando os exemplos anteriores podemos concluir que: Quando calcularmos P(A) estaremos nos perguntando quão provável será estarmos em A, sabendo que devemos estar em Ω. Quando calcularmos P(A B) estaremos nos perguntando quão provável será estarmos em A, sabendo que devemos estar em B. Dado que B ocorreu, o espaço amostral relevante não é mais Ω, mas consiste em resultados contidos em B. A única forma de A ocorrer, dado que B ocorreu, é se um dos resultados da interseção (A B) ocorrer. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 8 / 56

9 EXEMPLO 7: Dois dados são lançados. Considere os eventos: A =a soma dos resultados é igual a 10 e B =o primeiro número é maior ou igual ao segundo. Calcule P(A), P(B), P(B A) e P(A B). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 9 / 56

10 Definição 6.1: (Probabilidade Condicional) Seja (Ω,P) um espaço mensurável. Se B Ω e P(B > 0), a probabilidade condicional de A dado B, é definida por P(A B) = P(A B) P(B) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 10 / 56

11 Observação 6.1: Se P(B) = 0, P(A B) pode ser arbitrariamente definida. Alguns livros consideram P(A B) = 0, nesse caso. Contudo, é mais plausível considerar P(A B) = P(A). Importante: Se A e B são desenhados de modo que as áreas de A, B e A B sejam proporcionais às suas probabilidades, então P(A B), é a proporção do evento B ocupada pelo evento A. PERGUNTA: P(A B), A, é realmente uma probabilidade em A? RESPOSTA: Precisamos verificar os axiomas. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 11 / 56

12 DEMONSTRAÇÃO: (1) Para todo A Ω segue que P(A B) 0. É verdade pois como P(A B) 0 e P(B) > 0, temos que P(A B) = P(A B) P(B) 0. (2) P(Ω B) = 1 É verdade pois P(Ω B) = P(Ω B) P(B) = P(B) P(B). (3) Seja (A 1,A 2,... Ω) tal que A i A j = para i j então, P( i=1 A i B) = i=1 P(A i B) É verdade pois P( i=1 A i B) = P(( i=1 A i) B) P(B) = P( i=1 (A i B)) P(B) = i=1 P(A i B) P(B) = i=1 P(A i B) P(B) = i=1 P(A i B). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 12 / 56

13 IMPORTANTE: Como valem os axiomas, as propriedades de probabilidade são mantidas (Ex: P(A c B) = 1 P(A B)). IMPORTANTE: Temos então duas maneiras de calcular a probabilidade condicional P(A B): (I) Empregando a definição anterior, em que P(A B) e P(B) são calculadas em relação ao espaço amostral original Ω. (II) Diretamente, pela consideração da probabilidade de A em relação ao espaço amostral reduzido B. Voltando ao exemplo inicial. Qual a probabilidade da segunda peça ser defeituosa (P(B))? P(B A) = 19/99, porque se A tiver ocorrido, então na segunda extração restarão somente 99 peças, das quais 19 delas serão defeituosas. De modo similar, temos que P(B A c ) = 20/99. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 13 / 56

14 Exemplo 8 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 14 / 56

15 Exemplo 8 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 15 / 56

16 Exemplo 9 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 16 / 56

17 Exemplo 10 Exemplo: Estatísticas dos últimos anos do departamento estadual de estradas são apresentadas na tabela a seguir, contendo o número de acidentes incluindo vítimas fatais e as condições do principal motorista envolvido, sóbrio ou alcoolizado. Você diria que o fato do motorista estar ou não alcoolizado interfere na ocorrência de vítimas fatais? Motorista/vítimas Fatais Não Sim Sóbrio Alcoolizado Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 17 / 56

18 Exemplo 11: Uma turma de estatística teve a seguinte distribuição das notas finais: 4 do sexo masculino e 6 do feminino foram reprovados, 8 do sexo masculino e 14 do feminino foram aprovados. Para um aluno sorteado dessa turma, denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se o aluno foi aprovado. Calcule (a) P(A M c ) (b) P(A c M c ) (c) P(A M) (d) P(M c A) (e) P(M A) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 18 / 56

19 Exemplo 11: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 19 / 56

20 Exemplo 12: Verifique se são válidas as afirmações: (a) Se P(A) = 1/3 e P(B A) = 3/5 então A e B não podem ser disjuntos. (b) Se P(A) = 1/2, P(B A) = 1 e P(A B) = 1/2 então A não pode estar contido em B. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 20 / 56

21 Risco Reltivo Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 21 / 56

22 Exemplo 13 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 22 / 56

23 Exemplo 13 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 23 / 56

24 Exemplo 13 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 24 / 56

25 Exemplo 13 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 25 / 56

26 A mais importante consequência da definição de probabilidade condicional, é obtida ao se escrever: P(A B) = P(A B)P(B) P(A B) = P(B A)P(A) Teorema 6.1: (Regra do Produto) Seja A 1,A 2,...,A n Ω, com P( n i=1 A i) > 0, então P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )...P(A n A 1 A 2... A n 1 ) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 26 / 56

27 Demonstração: Faremos por indução. Para n = 2, pela definição de probabilidade condicional, temos que P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 ). Suponha que o resultado é válido para n = k, ou seja P(A 1 A 2... A k ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )...P(A n A 1 A 2... A k 1 ). Assim, para n = k + 1 temos que P(A 1 A 2... A k A k+1 ) = P[(A 1 A 2... A k ) A k+1 ] = P(A 1 A 2... A k )P(A k+1 A 1 A 2... A k ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )...P(A k+1 k i=1 A i) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 27 / 56

28 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 28 / 56

29 Observação 6.2: Podemos aplicar esse teorema para calcular a probabilidade da ocorrência conjunta dos eventos. Voltando ao exemplo inicial das peças defeituosas. Qual a probabilidade de que ambas as peças sejam defeituosas? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 29 / 56

30 Exemplo 14: Das pacientes de uma clínica de ginecologia com idade acima de 40 anos, 60% são ou foram casadas e 40% são solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no último ano é de 10%, enquanto que para as demais essa probabilidade aumenta para 30%. (a) Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter um distúrbio hormonal e ser solteira? (b) Se escolhermos duas pacientes ao acaso e com reposição, qual é a probabilidade de pelo menos uma ter o distúrbio? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 30 / 56

31 Exemplo 15: Sabe-se que 80% dos pênaltis marcados a favor do Brasil são cobrados por jogadores do Flamengo. A probabilidade de um pênalti ser convertido é de 40% se o cobrador for do Flamengo e de 70% em caso contrário. Um pênalti a favor do Brasil acabou de ser marcado. Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e ser convertido? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 31 / 56

32 Definição 6.2: Dizemos que os eventos B 1,B 2,...,B k formam uma partição do espaço amostral Ω quando: (i)b i B j =, para todo i j; (ii) k i=1 B i = Ω e (iii)p(b i ) > 0 para todo i. Explicando: Quando o experimento é realizado, um e somente um, dos eventos B i ocorre. Seja A um evento qualquer referente a Ω e B 1,B 2,...,B k uma partição de Ω, podemos escrever então: A = (A B 1 ) (A B 2 )... (A B k ) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 32 / 56

33 Teorema 6.2: (Teorema da Probabilidade Total) Seja B 1,B 2,...,B n uma partição de Ω com P(B i ) > 0, para todo i = 1,...,n. Então, para todo A, tem-se que n P(A) = P(B i )P(A B i ) i=1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 33 / 56

34 Demonstração: Pela regra do produto, temos que P(B i )P(A B i ) = P(A B i ). Como para i = 1,...,n os eventos A B i são disjuntos, temos que n i=1 P(B i)p(a B i ) = n i=1 P(A B i) = P[ n i=1 (A B i)] = P[A ( n i=1 B i)] = P(A). Importante: Esse resultado representa uma relação extremamente útil, porque frequentemente, P(A) pode ser difícil de ser calculada diretamente. No entanto, com a informação adicional de que B i tenha ocorrido, seremos capazes de calcular P(A B i ) e, em seguida empregar o teorema acima. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 34 / 56

35 Ilustração Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 35 / 56

36 Ilustração Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 36 / 56

37 Voltando ao exemplo inicial. Qual a probabilidade da segunda peça ser defeituosa (P(B)) se as retiradas são sem reposição? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 37 / 56

38 EXEMPLO 16: No exemplo da Clínica, qal a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter tido um distúrbio hormonal? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 38 / 56

39 EXEMPLO 17: Um determinado produto é produzido por três fábricas 1, 2 e 3. Sabe-se que 1 produz o dobro de peças que 2, e 2 e 3 produzem o mesmo número de peças. Sabe-se também que 2% das peças produzidas por 1 e por 2 são defeituosas, enquanto que 4% daquelas produzidas por 3 são defeituosas. Todas as peças produzidas são colocadas em um depósito, e depois uma peça é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de que uma peça seja defeituosa? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 39 / 56

40 Teorema 1.3: (Teorema de Bayes) Seja B 1,B 2,...,B n uma partição de Ω com P(B i ) > 0, para todo i = 1,...,n. Então, para todo A, com P(A) > 0 e para todo j = 1,2,...,n, tem-se que P(B j A) = P(A B j)p(b j ) n i=1 P(A B i)p(b i ). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 40 / 56

41 Demonstração: Na expressão do lado direito, o numerador é P(A B j ) pela regra do produto. O denominador é P(A) pelo teorema da probabilidade total. Portanto, pela definição de probabilidade condicional o teorema está demonstrado. Importante: Este resultado é útil quando conhecemos as probabilidades dos B i e as probabilidades condicionais de A dado B i, mas não conhecemos diretamente a probabilidade de A. Observação 6.3: A fórmula de Bayes é, às vezes, chamada de fórmula de probabilidades posteriores. As probabilidades P(B i ) podem ser chamadas probabilidades a priori e as P(B i A), probabilidades a posteriori. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 41 / 56

42 EXEMPLO 18 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 42 / 56

43 EXEMPLO 19: Considere que no exemplo 1 um produto é escolhido e é verificado ser defeituoso. Qual a probabilidade dele ter vindo da fábrica 3? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 43 / 56

44 EXEMPLO 20 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 44 / 56

45 EXEMPLO 20 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 45 / 56

46 EXEMPLO 20 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 46 / 56

47 EXEMPLO 21: Marina entrega a João Mariano uma carta, destinada ao seu namorado, para ser colocada no correio. Entretanto, ele pode esquecer com probabilidade 0.1. Se não se esquecer, a probabilidade de que o correio extravie a carta é de 0.1. Finalmente, se foi enviada pelo correio a probabilidade de que o namorado não a receba é de 0.1. (a) Se o namorado de Marina não recebeu a carta, qual a probabilidade de João Mariano ter esquecido de colocá-la no correio? (b) Avalie as possibilidades desse namoro continuar, se a comunicação depender das cartas enviadas. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 47 / 56

48 EXEMPLO 22: Em um exame há três respostas para cada pergunta e apenas uma delas é certa. Portanto, para cada pergunta, um aluno tem probabilidade 1/3 de escolher a resposta certa se ela estar advinhando e 1 se sabe a resposta. Um estudante sabe 30% das respostas do exame. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual é a probabilidade de que a adivinhou? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 48 / 56

49 Já consideramos eventos A e B que não podem ocorrer conjuntamente (A B = ). Tais eventos são denominados mutuamente excludentes. Se A e B forem mutuamente excludentes, então P(A B) = 0, porque a ocorrência de B impede a ocorrência de A. Em muitas situações saber que B já ocorreu nos dá alguma informação bastante definida referente à probabilidade de ocorrência de A. Existem, porém, muitas situações nas quais saber que algum evento B ocorreu não tem qualquer interesse quanto á ocorrência ou não ocorrência de A. EXEMPLO 23: Um dado equilibrado é jogado duas vezes. Seja A =o primeiro dado mostra um número par e B =o segundo dado mostra 5 ou 6. Os eventos A e B são inteiramente não relacionados. Saber que B ocorreu não fornece qualquer informação sobre a ocorrência de A. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 49 / 56

50 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 50 / 56

51 Definição 6.3: (Independência de dois eventos) Sejam A e B eventos em (Ω,,P). A e B são eventos independentes se P(A B) = P(A) ou P(B A) = P(B). A condição de independência pode também ser expressa na seguinte forma alternativa e equivalente: P(A B) = P(A)P(B) Importante: Diremos que os eventos A e C são condicionalmente independentes dado B se P(A C B) = P(A B)P(C B). Definição 6.4: (Independência de vários eventos) Os eventos A 1,A 2,...,A n em (Ω,,P) são independentes se, para toda coleção de índices 1 i 1 < i 2 <... < i k n e 2 k n, tivermos P(A i1 A i2... A ik ) = P(A i1 )P(A i2 )...P(A ik ) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 51 / 56

52 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 52 / 56

53 Proposição 6.1: Se A e B são independentes, então A e B c também são independentes (e também A c e B, e ainda A c e B c ). Demonstração: P(A B c ) = P(A) P(A B). Como A e B são independentes, então P(A B) = P(A)P(B). Substituindo, temos que P(A B c ) = P(A) P(A)P(B) = P(A)(1 P(B)) = P(A)P(B c ). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 53 / 56

54 EXEMPLO 24: Se P(A B) = 0.8; P(A) = 0.5 e P(B) = x, determine o valor de x no caso de: (a) A e B serem mutuamente exclusivos. (b) A e B serem independentes. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 54 / 56

55 EXEMPLO 25: Em uma certa população, a probabilidade de gostar de teatro é de 1/3, enquanto que a de gostar de cinema é 1/2. Determine a probabilidade de gostar de teatro e não de cinema, nos seguintes casos: (a) Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos disjuntos. (b) Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos independentes. (c) Todos que gostam de teatro gostam de cinema. (d) A probabilidade de gostar de teatro e de cinema é de 1/8. (e) Dentre os que não gostam de cinema, a probabilidade de não gostar de teatro é 3/4. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 55 / 56

56 EXEMPLO 26: Uma caixa contém 5 bolas brancas e três bolas pretas. Duas bolas são retiradas simultaneamente ao acaso e substituídas por três bolas azuis. Em seguida duas novas bolas são retiradas da caixa. Calcule a probabilidade de que essas duas últimas bolas sejam da mesma cor. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 56 / 56

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