Introdução à Probabilidade - parte III

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1 Introdução à Probabilidade - parte III Erica Castilho Rodrigues 02 de Outubro de 2012

2 Eventos Independentes

3 3 Eventos Independentes

4 Independência Em alguns casos podemos ter que P(A B) = P(A). O conhecimento de B não nos diz nada sobre A. Temos assim que P(A B) = P(A B)P(B) = P(A)P(B). Além disso P(B A) = P(A B)P(B) P(A) = P(A)P(B) P(A) = P(B). Dizemos assim que A e B são independentes.

5 5 Exemplo: Considere o circuito abaixo. Ele só opera se houver um caminho de dispositivos funcionando da esquerda para direita. A probabilidade de cada dispositivo funcionar é mostrada na figura. Suponha que os disposistivos falhem independentemente. Qual a probabilidade do circuito operar?

6 6 Solução: Definimos os eventos: E = {o dispositivo da esquerda opera} D = {o dispositivo da direito opera} A propabilidade do circuito operar é P(E D) = P(E)P(D) = (0, 95)(0, 95) = 0, 9025.

7 Exemplo: Considere um baralho completo de 52 cartas. Retiramos 2 cartas com reposição. Quando uma carta é retirada, voltamos com ela para o baralho e pode ser retirada novamente. Qual a probabilidade de que as duas cartas sejam de ouros?

8 8 Exemplo: (solução) Defina os eventos: A = { a primeira carta retirada é de ouro} B = { a segunda carta retirada é de ouro} Os eventos são independentes? Sim, quando retiramos uma carta não mudamos a composição do baralho pois voltamos com ela para seu lugar original. Qual P(A B)? P(A B) = P(A)P(B) =

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10 10 A probabilidade de um evento pode ser dada sob várias condições. A partir dessa informação podemos recuperar a probabilidade do evento. Esse resultado é conhecido como regra da probabilidade total.

11 Exemplo: Considere um processo de fabricação de semicondutores. Dado que um chip está sujeito a altos níveis de contaminação, a probabilidade de que ele cause defeito na produção é de 0,1. Dado que o chip não está sujeito a altos níveis de contaminação, a probabilidade dele causar defeito na produção é 0,005. Sabemos ainda que a probabilidade de um chip estar sob altos níveis de contaminação é 0,2. Estamos interessados no evento: o chip causa uma falha na produção. As condições a que esse evento está sujeito são: está sujeito a altos níveis de contaminação; não está sujeito a altos níveis de contaminação.

12 Para qualquer evento B podemos escrever B = (B A ) (B A). Como (B A ) e (B A) são mutuamente excludentes P(B) = P(B A )+P(B A) = P(B A)P(A)+P(B A )P(A ).

13 13 Exemplo: Considere o exemplo de contaminação discutido anteriormente. Seja F = {o chip causa defeito na produção} H = {o chip está sujeito a altos níveis de contaminação} Temos que P(F H) = 0, 10 P(F H ) = 0, 005 P(H) = 0, 2. Logo P(F) = P(F H)P(H)+P(F H )P(H ) = (0, 10)(0, 2)+(0, 005)(0, 8) = 0, 0235.

14 Partição do espaço amostral É uma coleção de eventos B 1, B 2,..., B k tais que B i B j = para todo i j B 1 B 2 B n = S

15 15 Se B 1,..., B n é uma partição do espaço amostral P(A) = P(A B 1 )+P(A B 2 )+ +P(A B n ) = P(A B 1 )P(B 1 )+P(A B 2 )P(B 2 )+ +P(A B n )P(B n ).

16 16 Exemplo: Conseidere o lote de 100 peças formado por: 80 peças não defeituosas; 20 defeituosas. Extraímos 2 peças sem reposição. Qual a probabilidade da segunda peça ser defeituosa?

17 Exemplo: (continuação) Considere os eventos: A = {a primeira peça extraída é defeituosa} B = {a segunda peça extraída é defeituosa}. Temos que P(B) = P(A)P(B A) + P(A)P(B A) = = 1 5.

18 18 Exemplo: Considere o exemplo de contaminação. Porém agora o chip pode estar sujeito a níveis de contaminação: alto, médio e baixo. Seja F = {o chip causa defeito na produção} H = {o chip está sujeito a altos níveis de contaminação} M = {o chip está sujeito níveis médios de contaminação} L = {o chip está sujeito níveis baixos de contaminação} Qual a probabilidade do chip causar defeito na produção?

19 19 Exemplo: (solução) Temos que P(F H) = 0, 10 P(F M) = 0, 01, P(F L) = 0, 001 P(H) = 0, 2 P(M) = 0, 3 P(L) = 0, 5. Logo P(F) = P(F H)P(H)+P(F M)P(M)+P(F L)P(L) = (0, 10)(0, 2)+(0, 01)(0, 3)+(0, 001)(0, 5) = 0, 0235.

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21 Vimos que a informação muitas vezes é apresentada em forma de probabilidade condicional. Elas nos fornecem a probabilidade de um evento (uma falha) dada uma condição (estar contaminado). Pode ser que estejamos interessados em investigar: depois que o evento deu um resultado (falhar); qual a probabilidade de uma certa condição estar presente (alta contaminação)? Esse tipo de problema é tratado usando o importante resultado conhecido como.

22 Da definição de probabilidade condicional sabemos que P(A B) = P(A)P(B A) = P(B)P(B A). Rearranjando a última igualdade temos o seguinte resultado. P(A B) = P(B A)P(A), para P(B) > 0. P(B)

23 23 Exemplo: Reconsidere o exemplo do chip. Qual a probabilidade de que um nível alto de contaminação estava presente dado que uma falha ocorreu? Relembrando que Vimos que H = {ocorre um nível alto de contaminação} F = {ocorre uma falha} P(F) = P(F H)P(H)+P(F H )P(H ) = 0, Temos então que P(H F) = P(F H)P(H) P(F) = (0, 10)(0, 20) (0, 0235) = 0, 85.

24 Podemos sempre usar a Regra da probabilidade total para calcular a probabilidade do denominador. Temos então o seguinte resultado geral. Sejam E 1, E 2,..., E k eventos mutuamente excludentes e exaustivos. Seja B um evento qualquer com P(B) > 0 temos então que P(E i B) = P(B E i )P(E i ) P(B E 1 )P(E 1 )+P(B E 2 )P(E 2 )+ +P(B E n )P(E n )

25 25 Exemplo: Considere um baralho completo de 52 cartas. Ele é separado em três montes. A distribuição das cartas nos três baralhos se encontra a seguir: Naipes 1 o monte 2 o monte 3 o monte (A 1 ) (A 2 ) (A 3 ) Ouros Copas Espadas Paus Total

26 26 Exemplo: (continuação) Escolhemos um monte ao acaso e retiramos uma carta. Dado que ela é de copas, qual a probabilidade do monte escolhido ter sido o terceiro? Qual a probabilidade dela ter sido extraída do terceiro monte? P(A 1 ) = 1 3 P(A 2) = 1 3 P(A 3) = 1 3

27 Exemplo: (continuação) Dado que o 1 o monte foi escolhido, qual a probabilidade da carta retirada ser de copas? P(copas A 1 ) = Dado que o 2 o monte foi escolhido, qual a probabilidade da carta retirada ser de copas? P(copas A 2 ) = Dado que o 3 o monte foi escolhido, qual a probabilidade da carta retirada ser de copas? P(copas A 3 ) = 4 16.

28 28 Exemplo: (continuação) Pelo temos que P(A 3 copas) = P(copas A 3 )P(A 3 ) P(copas A 1 )P(A 1 )+P(copas A 2 )P(A 2 )+P(copas A 3 )P(A 3 ) P(A 3 copas) =

29 29 Exemplo: Está sendo realizado um estudo sobre queimadas. 600 pontos foram escolhidos aleatoriamente Esses pontos foram divididos em 3 grupos (A, B, C) de acordo com a classe do solo. A divisão foi a seguinte: 100 pontos de A; 200 de B; 300 de C. As probabilidades de queimada em cada tipo de solo são: solo A - 10%; solo B - 5%; solo C - 1%. Sabemos que um ponto corresponde a uma queimada, qual a probabilidade dele ser da classe A?

30 30 Exemplo: (continuação) Qual a probabilidade de um solo ser da classe A? P(A) = Sabemos que um ponto corresponde a uma queimada, qual a probabilidade dele ser da classe A? Seja Q o evento em que o ponto corresponde a uma queimada. P(Q A) = 10% =

31 31 Eventos Independentes Exemplo: (continuação) Qual a probabilidade de um ponto corresponder a uma queimada? Pelo Teorema da Probabilidade Total P(Q) = P(Q A)P(A) + P(Q B)P(B) + P(Q C)P(C) = = Sabemos que um ponto corresponde a uma queimada, qual a probabilidade dele ser da classe A? Pelo. P(A Q) = P(Q A)P(A) P(A) = =

32 32 Exemplo: Caixas de bombons podem ser classificadas como dos tipos A e B. Tipo A: 70% de bombons doces; 30% de bonbons amargos. Tipo B: 30% de bombons doces; 70% de bonbons amargos. 60% das caixas são do tipo B. Você retira um bombom de uma caixa desconhecida. Você prova e vê que o bombom é doce. Qual a probabilidade de você ter selecionado a caixa A?

33 33 Exemplo: (continuação) A intuição nos diz que é mais provável termos selecionado A do que B. Pois a caixa A tem uma proporção maior de bombons doces. Vejamos se isso é verdade. Podemos visualizar melhor o problema usando um diagrama de árvore.

34 34 Defina os eventos A={ o bombom foi retirado da caixa A} B={o bombom foi retirado da caixa B} S a ={ o bombom é amargo} S d ={o bombom é doce.} (Fazer no Quadro)

35 35 (Resposta) Temos que Pelo P(S d A) = 0, 3 P(S d B) = 0, 7 P(A S d ) = = P(A) = 0, 6 P(B) = 0, 4. P(S d A)P(A) P(S d A)P(A)+P(S d B)P(B) (0, 7)(0, 6) (0, 7)(0, 6)+(0, 3)(0, 4) = 7 9. É mais provável que tenhamos pegado de A.

36 36 Exemplo: Um rastreamento médico é realizado para testar um novo procedimento. A probabilidade do teste identificar corretamente alguém com a doença é 0,99. A probabilidade do teste identificar corretamente alguém sem a doença é 0,95. A incidência da doença na população em geral é 0,0001. Você faz o teste e o resultado é positivo. Qual a probabilidade de você ter a doença? Defina: D = {você tem a doença}, S = {o teste deu positivo}. (Fazer no quadro.)

37 37 (Resposta) P(S D) = 0, 99 P(S D) = 0, 95 P(D) = 0, 0001 P(D) = 1 0, 0001 logo = P(S D)P(D) P(D S) = P(S D)P(D) + P(S D)P(D) (0, 99)(0, 0001) = 0, (0, 99)(0, 0001)+(0, 05)(1 0, 0001)