Probabilidade Condicional. Prof.: Ademilson

Transcrição

1 Probabilidade Condicional Prof.: Ademilson

2 Operações com eventos

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4 Apresentam-se abaixo algumas propriedades decorrentes de complementação, união e interseção de eventos, úteis no estudo de probabilidade. Exemplo: É possível simular os eventos abaixo, com os números referentes ao jogo de um dado, cujo espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}: A = {número par} = {2, 4, 6}; B = {número primo} = {2, 3, 5}; C = {número ímpar} = {1, 3, 5}; D = {n inteiro positivo} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} D = S (evento certo);

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6 EVENTOS: TIPOS E OPERAÇÕES a) União de dois eventos: pode se dar de duas maneiras. i) A B Nesse caso, número de elementos da união entre A e B: Probabilidade da união entre os eventos A e B:

7 Exemplo) Um estudo realizado por uma empresa de recursos humanos mostrou que 45% dos funcionários de uma multinacional saíram da empresa porque estavam insatisfeitos com seus salários, 28% porque consideraram que a empresa não possibilitava o crescimento profissional e 8% indicaram insatisfação tanto com o salário como com sua impossibilidade de crescimento profissional. Considere o evento S: o funcionário sai da empresa em razão do salário e o evento I: o funcionário sai da empresa em razão da impossibilidade de crescimento profissional. Qual é a probabilidade de um funcionário sair desta empresa devido a insatisfação com o salário ou insatisfação com sua impossibilidade de crescimento profissional? A probabilidade de um funcionário sair desta empresa devido a insatisfação com o salário ou insatisfação com sua impossibilidade de crescimento profissional é de 65%.

8 ii) A B = Nesse caso, os eventos A e B são mutuamente exclusivos. Probabilidade da união de dois eventos mutuamente exclusivos:

9 Exemplo: Dentro de um saco há 12 bolas: 5 azuis, 4 brancas e 3 verdes. Se uma bola é retirada ao acaso, calcule a probabilidade de ela ser de cor: a) azul; b) branca; c) azul ou branca. A {A bola é de cor azul}: P(A) 5 12 B {A bola é de cor branca} : P(B) (A B) P( A B) {A bola P( A) é de cor azul ou branca} : P( B)

10 b) Eventos complementares: se A B = Ø e se A B = S. Como consequência, teremos:

11 Exemplo: Pesquisa afirma que de um grupo de 100 pacientes fumantes aparecem as seguintes evidências mais comuns entre pacientes. Evidências Normal Bronquite Câncer no Pulmão Tuberculose Nº de Pacientes Considerando os dados do exemplo. Se a probabilidade de um paciente apresentar tuberculose é de 5%. Então se abordarmos um paciente, ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha tuberculose ausente. Evento: paciente tem tuberculose, P(t) = 0,05 Como: P(t) + P(ta) = 1 Então, P(ta) = 1 - P(t) = 1 0,05 = 0,95 Assim, a chance de abordarmos um paciente que tem tuberculose ausente é 95%.

12 c) Eventos independentes: a ocorrência de um evento não afeta a ocorrência do outro. A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos é dada por: Exemplo: As probabilidades de três jogadores marcarem um gol de pênalti são respectivamente: 1/3, 2/5 e 2/3. Se cada um cobrar uma única vez qual a probabilidade de todos acertarem? P( A B C) P( A) P( B) P( C) ,0889 Logo, os três jogadores têm uma chance de 8,89% de acertarem.

13 No cálculo de probabilidades é comum o estudo de situações que envolvem a ocorrência de eventos subsequentes. Em alguns casos, os resultados dos primeiros eventos podem interferir nos resultados dos posteriores: em geral, o espaço amostral posterior é reduzido pela ocorrência do evento anterior. Dizemos que se trata de uma probabilidade condicional, ou seja, de um caso em que se deve fazer o cálculo da probabilidade de um evento sabendo-se que outro já ocorreu. Indicação: Probabilidade Condicional B P A B P A B. P P A B P A B P( B PB ) 0 P(A B) é a probabilidade de o evento A ocorrer, sabendo-se que o evento B já ocorreu, ou ainda, é a probabilidade de A condicionada a B.

14 Exemplo: Um gerente de controle de qualidade utiliza equipamento de teste para detectar modems de computador defeituosos. Retiram-se aleatoriamente dois modems de um grupo onde há 12 defeituosos e 18 sem defeitos. Qual a probabilidade: a) De que ambos serem defeituosos? Neste caso, supõe-se que as retiradas sejam feitas sem reposição P( def def ) P( def ) P( def / def ) ,1517 b) De que o primeiro seja defeituoso e o segundo não defeituoso? P( def def ) P( def ) P( def / def ) ,2483

15 Exemplo: Um gerente de controle de qualidade utiliza equipamento de teste para detectar modems de computador defeituosos. Retiram-se aleatoriamente dois modems de um grupo onde há 12 defeituosos e 18 sem defeitos. Qual a probabilidade: c) De que um seja defeituoso e o outro não defeituoso? P( def def ) P( def def ) P( def ) P( def / def ) P( def ) P( def / def ) ,4966

16 Exemplo) Em uma universidade foi selecionada uma amostra de 500 alunos que cursaram a disciplina de Estatística. Entre as questões levantadas estava: Você gostou da disciplina de Estatística? De 240 homens, 140 responderam que sim. De 260 mulheres, 200 responderam que sim. Para avaliar as probabilidades podemos organizar as informações em uma tabela. maneira: Qual é a probabilidade de que um aluno escolhido aleatoriamente: (a) H = Seja um homem?

17 (b) G = Gostou da disciplina de Estatística? (c) M = Seja uma mulher? (d) NG = Não gostou da disciplina de Estatística? (e) Seja uma mulher ou gostou da disciplina de Estatística.

18 (f) Seja uma mulher e gostou da disciplina de Estatística. (g) Dado que o aluno escolhido gostou da disciplina de Estatística. Qual a probabilidade de que o aluno seja um homem? (h) Dado que o aluno escolhido é uma mulher. Qual a probabilidade de que ela não gostou da disciplina de Estatística?

19 MATEMÁTICA, 2º Ano Probabilidade Teorema Condicional da Probabilidade Total Sejam A 1, A 2... A n, eventos que formam uma partição do espaço amostral S, isto é, os eventos Ai são, dois a dois, mutuamente exclusivos, tal que a união de todos eles é igual a S. E seja B um evento qualquer de S, quando já se conhecem todos os eventos da família A i, e com estes se intercepta, na forma da figura abaixo: Então, a probabilidade de B, dado que um dos eventos Ai tenha ocorrido, é expressa pela união das interseções de todos os eventos Ai com B, tal que:

20 Então, a probabilidade de B, dado que um dos eventos Ai tenha ocorrido, é expressa pela união das interseções de todos os eventos Ai com B, tal que: P(B) P(A n 1 B) P(A2 B)... P(An B) P(B) P(Ai B) i1 Pelo teorema do produto para eventos dependentes, deduz-se que: P(B) P(A 1)P(B/A 1) P(A2 )P(B/A 2)... P(A n )P(B/A n ) P(B) n i1 P(A i )P(B/ Ai )

21 MATEMÁTICA, 2º Ano Probabilidade Condicional Exemplo: Uma determinada peça é manufaturada por 3 fábricas: A, B e C. Sabe-se que A produz o dobro de peças que B e que B e C produzem o mesmo número de peças. Sabe-se ainda que 2% das peças produzidas por A e por B são defeituosas, enquanto que 4% das produzidas por C são defeituosas. Todas as peças produzidas são misturadas e colocadas em um depósito. Se do depósito for retirada uma peça ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja defeituosa? Considerem-se os seguintes eventos: D = { A peça é defeituosa }, A = { A peça provém da fábrica A }, B = { A peça é a da fábrica B } e C = { A peça é da fábrica C }. Temos: P(A) = 50%, P(B) = P(C) = 25%. Temos também que P(D A) = P(D B) = 2% e que P(D C) = 4%.

22 MATEMÁTICA, 2º Ano Probabilidade Condicional (Continuação) Considerem-se os seguintes eventos: D = { A peça é defeituosa }, A = { A peça provém da fábrica A }, B = { A peça é a da fábrica B } e C = { A peça é da fábrica C }. Temos: P(A) = 50%, P(B) = P(C) = 25%. Temos também que P(D A) = P(D B) = 2% e que P(D C) = 4%. Todas as peças produzidas são misturadas e colocadas em um depósito. Se do depósito for retirada uma peça ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja defeituosa? Pelo teorema da probabilidade total: P(D) = P(A).P(D/A) + P(B).P(D/B) + P(C).P(D/C) P(D)= 0,5.0,02 + 0,25.0,02 + 0,25.0,04 = 2,50%, pois A, B e C formam uma partição do espaço amostral S.

23 MATEMÁTICA, 2º Ano Probabilidade Condicional Teorema de Bayes Em teoria da probabilidade, o Teorema de Bayes mostra a relação entre uma probabilidade condicional e a sua inversa; por exemplo, a probabilidade de uma hipótese dada pela observação de uma evidência e a probabilidade da evidência dada pela hipótese. Esse teorema representa uma das primeiras tentativas de modelar, de forma matemática, a inferência estatística, feita por Thomas Bayes.

24 MATEMÁTICA, 2º Ano Probabilidade Condicional O teorema de Bayes serve para calcular a probabilidade de um particular evento A i dado que B aconteceu, por meio da fórmula: P A i B Ai PAi PB P B, onde P(B) 0. Como P(B) n i1 P( A ) P( B / i A i ), segue a fórmula geral P(A i /B) n i1 P(A i P(A )P(B/ A i i ) )P(B/ A i )

25 MATEMÁTICA, 2º Ano Probabilidade Condicional Exemplo: Numa pequena fábrica de garrafas térmicas a máquina A, mais moderna, responde por 70% das unidades produzidas. A máquina B, mais antiga, responde pelas 30% restantes. Os percentuais de unidades defeituosas são de 1,5% na máquina A e 5% na B. Se uma garrafa for retirada casualmente para teste de qualidade, calcule: a) a probabilidade de ela ser defeituosa; b) b) Se ela é defeituosa, qual a probabilidade de ter sido produzida pela máquina A? Seja o evento D = {a garrafa é defeituosa}. a) P(D) P(A)P(D/A) P(B)P(D/B) P(D) 0,7*0,015 0,3*0,05 0,0105 0,015 P(A)P(D/A) b) P(A/D) P(D) 0,0105 0,0255 P(A/D) 0,4118ou 41,18%.

26 Exemplo:

27 Exemplo:

28 Exemplo: Duas fábricas fornecem lâmpadas para o mercado. As lâmpadas da fábrica X trabalham por mais de horas em 99% dos casos, enquanto as lâmpadas de Y trabalham por mais de horas em 95% dos casos. Sabe-se que a fábrica X fornece 60% das lâmpadas e a fábrica Y 40%. Qual é a chance de que a lâmpada comprada irá funcionar por mais de horas? P(X) = 0,60 P(Y) = 0,40 P(A X) = 0,99 P(A Y) = 0,95 P = Probabilidade de funcionar P = P(X).P(A X) + P(Y).P(A Y) P = 0,6.0,99 + 0,40.0,95 P = 0,974 = 97,4%

29 Exemplo:

30 Exemplo:

31 1) Em uma escola, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 1,80 m. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se um estudante for selecionado ao acaso e tem mais de 1,80 m, qual a probabilidade de ser mulher? 2) Três máquinas A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é escolhida ao acaso e verifica-se que ela é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B? E da máquina A? 3) Em uma fábrica de lâmpadas, as linhas de fabricação 1, 2 e 3 respondem por 50%, 30% e 20% da produção respectivamente. Algumas lâmpadas saem defeituosas. A porcentagem é de 0,4%, 0,6% e 1,2% para as linhas 1, 2 e 3. Para evitar que elas cheguem ao mercado com defeitos todas são inspecionadas. Qual a chance de uma lâmpada defeituosa encontrada na inspeção final ter sido produzida na linha 1?