Bioestatística: Probabilidade. Prof: Paulo Cerqueira Jr.

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1 Bioestatística: Probabilidade Prof: Paulo Cerqueira Jr.

2 Probabilidade: Definições: Probabilidade; Espaço amostral; Evento; Independência de eventos; Teorema de Bayes;

3 Probabilidade: Variáveis aleatórias; Modelos de probabilidades adequados para cada variável aleatória: Distribuições de probabilidades: Variáveis contínuas e discretas Modelos (distribuições) Uniforme, Binomial, Poisson e Normal;

4 Probabilidade: Na aula anterior foram apresentadas algumas técnicas para resumir e apresentar os dados medidas descritivas e gráficos. Mas geralmente queremos fazer mais com os dados que apenas descrevê-los. Queremos avaliar certas inferências específicas sobre o comportamento dos dados. Isso é feito tendo por base a Probabilidade.

5 Exemplo (Câncer) Uma teoria sobre a etiologia do câncer de mama diz que mulheres em dado grupo de idade que deram à luz a seu primeiro filho depois dos 30 têm maior risco de desenvolver a doença que aquelas que tiveram o primeiro filho mais cedo, com menos de 20. Pelo fato de mulheres em classes sociais mais altas tenderem a ter filhos mais tarde, essa teoria foi usada para explicar por que essas mulheres têm maior risco de desenvolver câncer que aquelas mulheres em classes sociais mais baixas.

6 Exemplo (Câncer) Para testar essa hipótese, poderíamos identificar mulheres com idades entre 45 e 54 anos e que nunca tiveram câncer, das quais mil tiveram seu primeiro filho antes dos 20 (grupo A) e mil depois dos 30 (grupo B). Essas mulheres seriam acompanhadas por cinco anos. Suponha que há 4 casos no grupo A e 5 no grupo B.

7 Exemplo (Câncer) Há evidência para confirmar uma diferença no risco entre os dois grupos? Suponha agora que amostramos mulheres em cada grupo e encontramos 40 casos no grupo A e 50 no grupo B. Responderemos à pergunta acima da mesma forma?

8 Exemplo (Câncer) Compreender probabilidade é essencial para calcular e interpretar valores p dos testes estatísticos. Também permite a discussão de medidas como sensibilidade, especificidade, valores preditivos, etc, de vários estudos.

9 Situação da corrida de cavalos: Suponha que você tenha R$ ,00 para apostar em uma corrida de cavalos. Abaixo estão as chances dos cavalos A, B e C de ganharem. Em qual cavalo você apostaria? Cavalo A: 75% Cavalo B: 20% Cavalo C: 5%

10 Probabilidade: Definições: 1. Fenômeno aleatório: situação ou acontecimentos que não podem ser previstos com certeza. 2. Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento () 3. Eventos: subconjuntos de (representados por letras maiúsculas: A, B,...); conjunto vazio:.

11 Exemplo 1:

12 Exemplo 2:

13 Exemplo 2: Probabilidade: é uma função P(.) que atribui valores numéricos aos eventos do espaço amostral. 1 : lançar um dado equilibrado. = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P({1}) = P({2}) = P({6}) = 1/6 = 1/n onde n é o número de elementos do espaço amostra Em geral: n P( A) A N número de elementos do evento número total de elementos A

14 Operações com conjuntos: 1. União: AB (ocorrência de pelo menos um evento) 2. Interseção: AB (ocorrência simultânea) 3. Complemento: AA c =, AA c = 4. Dois eventos são disjuntos ou mutualmente exclusivos se AB = (A e B são disjuntos). Ou seja, não podem acontecer ao mesmo tempo.

15 Exemplo (Hipertensão): Seja A o evento que uma pessoa tenha pressão diastólica normotensiva (DBP<90), e seja B o evento que a pessoa tenha borderline DBP (90 DBP 95). Suponha que P(A)=0,7 e P(B)=0,1. Seja Z o evento que a pessoa tem DBP <95. Assim: P(Z)=P(A)+P(B)=0,8 pois os eventos não podem ocorrer simultaneamente.

16 Diagrama de Venn:

17 Diagrama de Venn: A A B A c AA c =, AA c = AB = A B AB Pelo Diagrama de Venn temos que: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) AB

18 Exemplo (Hipertensão) Sejam os eventos A e B definidos como no exemplo anterior: A={X<90}, e B={90 X 95}, onde X=DBP Então, AUB={X<95} Seja X a DBP, C o evento X 90, e D o evento 75 X 100. Os eventos C e D não são mutualmente excludentes, ambos podem ocorrer quando 90 X 100. Sejam os eventos C e D definidos como anteriormente: C={X 90}, D={75 X 100} Então, C D ={90 X 100}

19 Definição formal: É uma função P(.) é denominada probabilidade se satisfaz as seguintes condições: 1. 0 P(A) 1, 2. P() = 1 A n n 3. P A j P A j, com os A j s disjuntos j1 j1 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 Erros Fatais: P(A) = 1.06 P(B) = -0.4 P(A + B) = A B

20 Probabilidade Condicional Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B, P(A B) é dada por: P A B P A B, P(B) 0 ou seja P(B) 0 P(B) Regra do Produto: PA B PA BP(B) P(A B) é a proporção de A dentro de B onde o novo espaço amostral ( B ) é o espaço amostral de B tal que: A B 1 0 P

21 Probabilidade Condicional: Interpretação Gráfica: A B AB B B ocorreu A

22 Exemplo Didático: Uma caixa contém 3 bolas brancas e 5 pretas, todas idênticas em peso e tamanho. Qual a probabilidade de tirar ao acaso uma bola branca. Qual a probabilidade de tirar ao acaso uma bola preta. Qual a probabilidade de tirar uma segunda bola banca se a primeira foi preta (sem reposição)

23 Independência de Eventos: Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade da ocorrência do evento A. P A B P(A) ou na forma: P A B P(A) P(B)

24 Exemplo (Hipertensão): Suponha que estamos realizando uma avaliação de hipertensão em famílias. Seja o espaço amostral constituído de todos os pares da forma (X,Y), onde X>0 e Y>0, que representam as medições de DBP. Seja o evento A={DBP da mãe 95}, B={DBP do pai 95}, caso de hipertensão. Suponha também que P(A)=0,1 e P(B)=0,2. Se A e B são independentes, então a probabilidade que a mãe e pai sejam hipertensos será: P(A B)=P(A)*P(B)=0,1*0,2=0,02=2%

25 Partição do Espaço Amostral Os eventos C1, C2,..., Ck formam uma partição do espaço amostral se eles não tem interseção (são disjuntos) entre si e se sua união é igual ao espaço amostral. C i C, j i j k C i i1 C 1 C 2 C 3 C 4 C 5

26 Partição do Espaço Amostral A 2 A 1 D A 3 A 4 A 5 A D A D A D A D A D PA D PA D PA D PA D PA D D 5 P(D) P(D) P PD/A 1) P(A1 P D/A 2) P(A2 P D/A3) P(A3 D/A ) P(A PD/A ) P(A

27 Partição do Espaço Amostral As probabilidades condicionais P(B/A) e P(B/A c ) e não condiconal P(B) estão relacionadas da seguinte forma: P(B)=P(B/A)*P(A)+ P(B/A c )*P(A c )

28 Exemplo (Oftalmologia) Estamos planejando um estudo de 5 anos sobre catarata numa população de cinco mil pessoas com 60 anos ou mais. Sabemos do Censo que 45% dessa população tem entre anos, 28% entre 65-69, 20% entre e 7% tem 75 anos ou mais. Também sabemos de um estudo anterior que 2,4%, 4,6%, 8,8% e 15,3% das pessoas nos respectivos grupos de idade desenvolverão catarata nos próximos 5 anos.

29 Exemplo (Oftalmologia) Qual a porcentagem dessa população desenvolverá catarata em 5 anos e quantas pessoas isso representa? Então A 1 ={idades 60-64}, P(A 1 )=0,45, A 2 ={idades 65-69}, P(A 2 )=0,28 A 3 ={idades 70-64}, P(A 3 )=0,20 A 4 ={idades 75}, P(A 4 )=0,07 P(B/A 1 )=0,024, P(B/A 2 )=0,046, P(B/A 3 )=0,088, P(B/A 4 )=0,153,onde B={desenvolverá catarata em 5 anos}

30 Exemplo (Oftalmologia) Finalmente, temos: P(B)=P(B/A 1 )*P(A 1 )+P(B/A 2 )*P(A 2 )+P(B/A 3 )*P(A 3 )+P (B/A 4 )*P(A 4 ) =0,024*0,45 + 0,046*0,28 + 0,088*0,20 + 0,153*0,07 =0,052 =5,2% da população, ou seja, 260 (=5.000*0,052) pessoas desenvolverão catarata.

31 Exercício Em uma cidade a população pode ser dividida em três grupos etários: A, B e C representando 25%, 35% e 40% do total, respectivamente. Desses, 5%, 4% e 2% são alérgicos a Penicilina. Escolhe-se um indivíduo e verifica-se que é alérgico. Qual a probabilidade de que ele tenha vindo do grupo A, do B e do C?

32 Árvore de Probabilidade: P(A A) A P(A) P(B A) B A P( A P( A A) B) P(B) B P(A B) P(B B) A B P( B P( B A) B) P( AB) P(A B) P(B)

33 Passos para Resolver um Problema envolvendo Probabilidades 1. Procure identificar os eventos envolvidos 2. Procure identificar as relações entre os eventos envolvidos 3. Procure identificar as probabilidade informadas no problema 4. Procure identificar a probabilidade solicitada. 5. Resolva o problema

34 Teorema de Bayes Suponha que os eventos C 1, C 2,..., C k formem uma partição de e que suas probabilidades sejam conhecidas. Suponha ainda que para um evento A, se conheçam as probabilidade P(A C i ) para todo i = 1, 2,..., k. Então, para qualquer j: P(C j A) P(A C k i1 j ) P(C ) P(A C ) P(C ) i j i, j 1, 2,, k.

35 Exercício 1 Uma escola do ensino médio do interior de São Paulo tem 40% de estudantes do sexo masculino. Entre estes, 20% nunca viram o mar, ao passo que entre as meninas essa porcentagem é de 50%. Qual a probabilidade de que um aluno selecionado ao acaso seja do sexo masculino e nunca tenha visto o mar?

36 Exercício 2 Das pacientes de uma Clínica de Ginecologia, com idade acima de 40 anos, 60% são ou foram casadas e 40% são solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no último ano é de 10%, enquanto que para as demais essa probabilidade aumenta para 30%. 1. Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter tido um distúrbio hormonal. 2. Se a paciente sorteada tiver distúrbio hormonal, qual a probabilidade de ser solteira.

37 Exercício 3 Você entrega a seu amigo uma carta, destinada à sua namorada, para ser colocada no correio. Entretanto, ele pode esquecer com probabilidade 0,1. Se não esquecer, a probabilidade de que o correio extravie a carta é de 0,1. Finalmente, se foi enviada pelo correio a probabilidade de que a namorada não receba é de 0,1. Sua namorada não recebeu a carta, qual a probabilidade de seu amigo ter esquecido de colocá-la no correio?

38 Desafio Uma família viaja ao litoral para passar um fim de semana. A probabilidade de congestionamento na estrada é de 0,6. Havendo congestionamento, a probabilidade de seus dois filhos brigarem no carro é de 0,8 e, sem congestionamento, a briga pode aparecer com probabilidade 0,4. Quando há briga, com ou sem congestionamento, a probabilidade do pai perder a paciência com os filhos é de 0,7. É claro que havendo congestionamento o pai pode perder a paciência com os filhos mesmo sem brigas, o que aconteceria com probabilidade 0,5. Quando não há nem congestionamento, nem briga, o pai dirige tranquilo e não perde a paciência. Determine a probabilidade de: Não ter havido congestionamento se o pai não perdeu a paciência com seus filhos. Ter havido briga, dado que perdeu a paciência

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