Bioestatística e Computação I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Bioestatística e Computação I"

Transcrição

1 ioestatística e Computação I Estatística Descritiva Maria Virginia P Dutra Eloane Ramos Vania Matos Fonseca Pós raduação em Saúde da Mulher e da Criança IFF FIOCRUZ Organizar e resumir dados Estatística Inferencial Deduções sobre a população a partir de uma amostra Teoria da Fundamentos para a estatística inferencial aseado nas aulas de M. Pagano e ravreau e eraldo Marcelo da Cunha É provável que chova hoje É provável que este ovo esteja infectado. Evento Elemento básico para o qual a probabilidade pode ser aplicada Pode ocorrer ou não (incerteza) Como quantificar a incerteza sobre a ocorrência de determinado evento? Definição frequentista Um experimento é repetido n vezes sob condições idênticas e um evento A ocorre m vezes. Conforme n aumenta a razão m/n se aproxima de um limite fixo, que é a probabilidade de A, denotada por P(A). P A = m n quandon Frequência relativa de A tende a P(A), após um número grande de repetidas tentativas limite da frequência relativa

2 0 P(A) 1 sempre P(A) = 0 Não há nenhuma chance do evento A ocorrer P(A) = 1 O evento A ocorrerá com certeza Evento certo Exemplo Numa comunidade em um dado período de tempo, de nascimentos, sobreviveram ao primeiro ano de vida. Evento A: sobreviver ao primeiro ano de vida. Assumindo que é um número de repetições grande o suficiente: P A = =0, ,15% limite da frequência relativa Espaço amostral Embora não se possa afirmar o resultado de um experimento aleatório, todos os possíveis. resultados podem ser identificados previamente. Espaço amostral Experimento Procedimento científico para a verificação de relações entre fatos bem definidos. Pode-se listar todos os resultados possíveis. Espaço amostral Conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório Denotado simbolicamente por Ω (ômega). Evento Qualquer resultado possível ou subconjunto do espaço amostral de um experimento.

3 Exemplos Experimento E1: Jogar um dado e observar o número da face superior Espaço amostral Ω1 = {1,2,3,4,5,6} Eventos: A = {1}, = {2}, C = número par = {2,4,6},... Experimento E2: Observar o número de crianças com deficiência visual num ambulatório Ω2 = {0,1, 2,..., N}, onde N é o número máximo de crianças atendidas no ambulatório. Eventos: A = {3}, = {5}, C = mais do que 10 crianças = {11,12,13,...} Exemplos Experimento E3: Observar o tempo t de recidiva de uma doença num determinado paciente. Espaço amostral Ω3 = qualquer valor real maior ou igual a zero = {t R t 0} Eventos: A = {32 dias}, = {3 meses}, C = t menor que 6 meses = {t R t < 6 meses} E4: Observar o sexo dos bebês internados na UTI neonatal E5: Observar o tipo de parto das mulheres atendidas na maternidade do IFF E6: Número de DMOS em pacientes da UP Espaço amostral Mais algumas definições Eventos elementares Finito Ω1, Ω2, Ω4, Ω5, Ω6 Infinito Ω3 Resultados individuais do experimento Quais os eventos elementares de Ω1, Ω2, Ω3,? Evento nulo ou conjunto vazio ( ) também é um subconjunto de Ω Ex: Observar a idade i de um paciente internado na UP. Ω = {t R t 1 mês e t < 18 anos}. Evento A: observar uma idade de 30 anos = Evento certo: o próprio espaço amostral Ω P(Ω) = 1

4 Outra definição Se o espaço amostral Ω é finito e os eventos elementares são equiprováveis, a probabilidade de ocorrer um avento A é a razão entre o número de eventos elementares pertencentes a A e o tamanho do espaço amostral. P A = úmerodeeventoselementares A úmerototaldeeventoselementares dado que os eventos elementares tem igual probabilidade de ocorrência Experimento: jogar um dado. Evento A = {2} P(A) =? Número de eventos elementares de A (na): 1 Tamanho de Ω (nω): 6 P(A) = 1/6 Evento = número par = {2,4,6} n = 3 nω = 6 P() = 3/6 = ½ = 0,5 Eventos mutuamente exclusivos Experimento: observar o sexo dos bebês internados na UTIN, assumindo que os eventos elementares são equiprováveis. P(feminino) =? É possível usar essa definição de probabilidade com os experimentos abaixo? número de crianças com deficiência visual tempo de recidiva tipo de parto DMOS Por que? Disjuntos Eventos que não podem ocorrer simultaneamente Eventos elementares de um espaço amostral são sempre mutuamente exclusivos Exemplo: faixa etária na primeira gravidez evento A = idade menor que 20 evento = idade maior ou igual a 40 anos Idade na primeira gravidez (anos) 10 a a a a 50

5 Eventos mutuamente exclusivos Exemplo evento A = ser do sexo masculino evento = gravidez Exemplo evento A = bebê com muito baixo peso evento = baixo peso evento C = peso normal Eventos independentes A ocorrência de um evento de um experimento não afeta a ocorrência do outro Exemplo: observar o sexo do 1o e do 2 o filho Dado que o 1o filho é menino, isso afeta a probabilidade do sexo do segundo filho? Exemplo: cor dos olhos e estado nutricional Exemplo de eventos não independentes: estado nutricional da mãe peso ao nascer do bebê Diferença entre independente e excludente Independentes A ocorrência do evento A não influencia a probabilidade de ocorrência de. Mutuamente exclusivos A ocorrência do evento A implica que o evento não pode ocorrer. Operações com eventos aleatórios Operações podem ser usadas para descrever eventos complexos a partir de eventos simples Intersecção ( ) A = A e (no mesmo experimento) = tanto A quanto (experimentos distintos) União ( ) A = A ou Complemento (c ) Ac = não A

6 Operações com eventos aleatórios Exemplo de Intersecção ( ) Experimento: jogar um dado, Ω = {1,2,3,4,5,6} evento A = número par = {2,4,6} evento = número maior que 3 = {4,5,6} evento C = número par e maior que 3 = A = {4,6} Ω A C Diagrama de Venn Operações com eventos aleatórios Exemplo de Intersecção para experimentos distintos Ω1 sexo de um indivído e faixa de pressão arterial (experimento composto) A = ser homem E hipertenso feminino masculino = ser homem C = ser hipertenso A = C Ω2 hipotenso normotenso hipertenso Ω C feminino e hipotenso feminino e normotenso feminino e hipertenso masculino e hipotenso masculino e normotenso masculino e hipertenso Operações com eventos aleatórios Operações com eventos aleatórios Exemplo de União ( ) Experimento: jogar um dado, Ω = {1,2,3,4,5,6} evento A = número par = {2,4,6} evento = número maior que 3 = {4,5,6} evento C = par ou maior que 3 = A = {2,4,5,6} Ω A C Diagrama de Venn Exemplo de União para experimentos distintos sexo e faixa de pressão arterial A = ser homem OU hipertenso = ser homem C = ser hipertenso A = C Ω C feminino e hipotenso feminino e normotenso feminino e hipertenso masculino e hipotenso masculino e normotenso masculino e hipertenso

7 Operações com eventos aleatórios de eventos compostos Exemplo de complemento Experimento: jogar um dado, Ω = {1,2,3,4,5,6} evento A = número par = {2,4,6} evento Ac = número não par = {1,3,5} Evento composto: formado por uma operação envolvendo dois ou mais eventos simples da união Se A e são eventos mutuamente exclusivos P(A ) = P(A) + P() da intersecção Ω A C A Diagrama de Venn Se A e são eventos independentes P (A ) = P(A) x P() do complementar P(Ac ) = 1 P(A) de eventos compostos Exemplo: Sabe-se que a distribuição de DMOS na UP-IFF é a que está na tabela abaixo, considerando dados passados. A = DMOS 4 = {4,5,6} Se 670 é grande o suficiente: P(A) = P(4 5 6) Eventos mutuamente exclusivos P(A) = P(4) + P(5) + P(6) P(A) = 5,97 + 3,43 + 1,64 = 11,04% DMOS Fa Fr (%) , , , , , , ,64 Total ,00 de eventos compostos Dada a distribuição do meio de transporte para chegar a maternidade e o evento: A = chegar de taxi ou de carro P(A)=?

8 de eventos compostos de eventos compostos Dada a tabela de frequência de idade na primeira gravidez, considere o evento A = idade < 20 ou 40 anos P(A)=? Idade na primeira gravidez (anos) Fa Fr 10 e < e < e < e < Total Experimento: observar o estado nutricional e o hábito de tomar café. A = ser obeso E ter o hábito de tomar café P(A) = P(obeso tomar café) Se são eventos independentes: P(A) = P(obeso) * P(tomar café) P(A) = 0,22 * 0,85 = 0,187 Toma café P(A) = 18,7% Estado nutricional Fr Fr Sim 85% Não 15% Total 100% déficit de peso 10% normal 42% sobrepeso 26% obeso 22% Total 100% de eventos compostos de eventos compostos Experimento: observar o sexo do primeiro e segundo filho. A = dois meninos, P(A) =? P(A) = P([F1=menino] [F2=menino]) Se os dois nascimentos são eventos independentes: P(A) = P(F1=menino) P(F2=menino) 1. Ambos os sexos equiprováveis P(A) = 0,5 * 0,5 = 0,25 = 25% 2. de nascer menino = 48% Numa UTI pediátrica com 15 leitos, suponha que a probabilidade de não encontrarmos nenhum paciente com meningite seja 99% e a de encontrarmos exatamente 1 paciente com meningite seja 0,7%. Qual a probabilidade de encontrarmos mais de 1 paciente com meningite? A = {0,1}, P(A) =? Ac = não A = {2, 3, 4,, 15} P(Ac ) = 1 P(A) P(A) = 0,48 * 0,48 = 0,2304 = 23,04%

9 Árvore de probabilidade É comum que os experimentos tenham um espaço amostral mais complexo. Exemplo: observar o sexo das crianças de famílias com 3 filhos um evento possível A = dois meninos e uma menina P(A) =? Árvore de probabilidade Permite visualizar o espaço amostral e as probabilidades de cada evento elementar Árvore de probabilidade nasc 1 nasc 2 nasc 3 espaço amostral do experimento final Árvore de probabilidade Cada bifurcação representa um subexperimento Primeiro nascimento (2 resultados possíveis) Segundo nascimento (2 resultados possíveis) Terceiro nascimento (2 resultados possíveis) Número de ramos em cada bifurcação depende do número de eventos elementares de cada sub-experimento Número de ramos final: n1 x n2 x n3 x... No exemplo, número de ramos = 2 x 2 x 2 = 8 Cada ramo final representa um evento elementar do espaço amostral final Árvore de probabilidade nasc 1 nasc 2 nasc 3 Espaço amostral ½ ½ ½ ½ P()=½ P()=½ Experimentos independentes e eventos equiprováveis Evento E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 ½ * ½ * ½ = 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

10 Árvore de probabilidade Árvore de probabilidade P(E1) = P(E2) = P(Ei) eventos elementares equiprováveis Qual a probabilidade de nascer um menino, uma menina e um menino, nessa ordem? Qual a probabilidade de nascerem dois meninos e uma menina? A = pelo menos uma menina. P(A) =? = todos do mesmo sexo. P() =? E = {,, } Eventos elementares do espaço amostral são equiprováveis P(E) = ne / nω = 3/8 Árvore de probabilidade Suponha agora que a probabilidade de nascer menino é 48% e menina é 52%. Construa a árvore de probabilidade. Qual a probabilidade de nascer um menino, uma menina e um menino, nessa ordem? Qual a probabilidade de nascer dois meninos e uma menina? E = {,, } eventos elementares mutuamente excludentes P(E) = P( ou ou ) = P( ) = P() + P() + P() = Árvore de probabilidade nasc 1 nasc 2 nasc 3 Espaço amostral 0,52 0,52 0,48 0,48 P()=0,52 P()=0,48 Experimentos independentes Evento E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8

11 Árvore de probabilidade A = pelo menos uma menina. P(A) =? = todos do mesmo sexo. P() =? Cada evento elementar de um espaço amostral possui uma probabilidade de ocorrência. Um evento A qualquer é sempre um subconjunto do espaço amostral. Como os eventos elementares são excludentes P(A) = soma das probabilidades de todos eventos elementares que compõem o evento A P A = P E i E i A onde Ei = eventos elementares de A Árvore de probabilidade e diagrama de Venn Árvore de probabilidade e diagrama de Venn Árvore de probabilidade probabilidades dos eventos elementares Diagrama de Venn probabilidade de qualquer outro evento A = pelo menos duas meninas P(A) =? O casal ficará desapontado se nascerem menos do que duas meninas ou se todos forem do mesmo sexo = menos que duas meninas H = todos do mesmo sexo ou H = H = {E1,E2,E3,E5,E8} Se os eventos são equiprováveis P( H) = 5/8 Se não...

12 Árvore de probabilidade e diagrama de Venn O casal ficará desapontado se nascerem menos do que duas meninas e todos forem do mesmo sexo = menos que duas meninas H = todos do mesmo sexo e H = H = {E1} P( H) = 1/8 Podemos utilizar P( H)= P() * P(H)? Porque? Calcular a probabilidade dos eventos A = pelo menos duas meninas ou todos do mesmo sexo = não nascerem todos do mesmo sexo C = o primeiro ser menino e pelo menos uma menina Considere que ambos os sexos são equiprováveis E1: E2: E3: E4: E5: E6: E7: E8: de eventos compostos de eventos compostos da união ( ) quando os eventos não são excludentes A = menos do que duas meninas ou todos do mesmo sexo P(menino) = 0,48 e P(menina) = 0,52 P(A) =? = menos que duas meninas C = todos do mesmo sexo A = C P(A) = P( C) P( C) = P() + P(C) P( C) Exemplo: baixo peso e prematuridade aixo peso Prematuro não sim Total não sim Total A = bebê nascer com baixo peso (bp) ou prematuro (pmt) P(A) = P(bp pmt) P(A) = P(bp) + P(pmt) P(bp pmt)

13 de eventos compostos Exemplo: Suponha que a proporção de pessoas com menos de 18 anos numa comunidade seja 47,2% e de pessoas com déficit de peso seja 11,3%. Sabe-se que a proporção de pessoas com menos de 18 anos e com déficit de peso é 3,5%. Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter menos de 18 anos ou déficit de peso? P(A) = P(déficit <18 anos) P(A) = P(déficit) + P(<18 anos) P(déficit <18 anos) condicional condicional Frequentemente deseja-se determinar a probabilidade de um evento dado que já se conhece o resultado de outro evento anterior P(A ) = probabilidade de A dado Exemplo. No experimento dos 3 nascimentos, dado que o primeiro filho é menina, qual a probabilidade de nascerem todos do mesmo sexo? A = todos os filhos do mesmo sexo = primeiro filho é menina P(A ) =? condicional Qual a probabilidade de nascerem Qual a probabilidade de nascerem

14 condicional Teorema de ayes: No nosso exemplo, com eventos equiprováveis: P() = 4/8 P(A ) = 1/8 P(A ) = (1/8) / (4/8) = 1/4 = 25% Se os eventos não são equiprováveis P() = P(A ) = P(A ) = P A = P A P condicional Qual a probabilidade de termos 2 meninos ou mais, dado que o primeiro filho é menino? Se pelo menos um dos três filhos é menina, qual a probabilidade do mais velho ser menino? E1: E2: E3: E4: E5: E6: E7: E8: condicional condicional Na epidemiologia existem muitas situações em que as probabilidades de ocorrência de um evento A são alteradas devido à ocorrência ou não de outro evento associado a A. O evento que condiciona ou altera a probabilidade de outro é frequentemente chamado de fator de exposição. Qual a probabilidade de ocorrer uma doença (evento A) dado que o indivíduo foi exposto a determinado fator (evento )? Qual a probabilidade de ter câncer, dado que o indivíduo é fumante? Qual a probabilidade do bebê nascer com baixo peso, dado que a mãe é desnutrida? Qual a probabilidade de uma criança morrer, dado que o lixo fica a céu aberto no local onde mora?

15 condicional conjunta A 1 = perder filhos dado que o lixo é recolhido P(A 1 ) =? A 2 = perder filhos dado que o lixo é jogado a céu aberto P(A 2 ) =? Perdeu filhos depois de nascidos Destino do lixo doméstico sim não Total Recolhido pelo lixeiro Colocado em caçamba Enterrado/queimado Jogado a céu aberto Total da intersecção Caso geral quando os eventos não são independentes Dado que: P A = P A P A probabilidade da intersecção pode ser calculada como: P(A ) = P() x P(A ) = P(A) x P( A) conjunta conjunta Suponha que a incidência de prematuridade seja 21,8% e, dado que o bebê é prematuro, a probabilidade de nascer com baixo peso é 32,8%. Qual a probabilidade de nascer um bebê com baixo peso e prematuro? P(A ) = P() x P(A ) A = baixo peso = prematuro Qual a probabilidade de nascer um bebê com baixo peso e prematuro? aixo peso Prematuro não sim Total não 1602 (76.0%) 46 (2.2%) 1648 (78.2%) sim 309 (14.7%) 151 (7.2%) 460 (21.8%) Total 1911 (90.7%) 197 (9.3%) 2108 (100.0%) P() = P(A ) = P(A ) = P A =P P A P A =P P A

16 conjunta Exercício Qual a probabilidade de um indivíduo ter déficit de peso e ter menos de 18 anos? Estado nutricional Idade Déficit Normal Total <18 anos anos Total P A =P P A condicional e árvore de probabilidade Sabe-se que a incidência de pressão alta nos homens de uma determinada comunidade é de 3,47% e a proporção de homens é de 45,89%. Qual a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso nessa comunidade ser homem e possuir pressão alta? Sabe-se que a proporção de mulheres numa comunidade é de 54,11% e a proporção de mulheres com pressão alta é de 2,92%. Se um indivíduo escolhido ao acaso é mulher, qual a probabilidade de sofrer de pressão alta? P A =P P A condicional e árvore de probabilidade Conhecendo-se as probabilidades condicionais, pode-se utilizar a árvore de probabilidade para calcular as probabilidades conjuntas. E+ 0,015 M Espaço amostral E+ M s conjuntas P(E+ e M) = 0,006 Exemplo. A probabilidade de morte por câncer de pulmão é de 0,015 para fumantes (E+) e 0,005 para não fumantes (E-). Sabe-se que 40% da população é fumante. 0,4 0,6 0,985 0,005 S M E+ S E- M P(E+ e S) = 0,394 P(E- e M) = 0,003 Qual o desfecho de interesse? E- Qual a exposição? Qual o espaço amostral e as probabilidades conjuntas? 0,995 S E- S P(E- e S) = 0,597 somatório = 1

17 conjunta e tabela de contingência conjunta e tabela de contingência Tabela de contingência Tabela de frequencias absolutas ou relativas ou de probabilidades envolvendo duas variáveis. Morrer Sobreviver Total E+ (fumar) 0,006 0,394 0,4 E- (ñ fumar) 0,003 0,597 0,6 Total 0,009 0,991 1 O miolo possui as probabilidades conjuntas Os totais possuem as probabilidades marginais Morrer Sobreviver Total E+ (fumar) 0,006 0,394 0,4 E- (ñ fumar) 0,003 0,597 0,6 Total 0,009 0,991 1 Qual a probabilidade de morrer? Qual a probabilidade de sobreviver? Qual a probabilidade de ser fumante? Qual a probabilidade de não estar exposto? Qual a probabilidade de não estar exposto ou de sobreviver? Qual a probabilidade de morrer dado que é fumante? Independência estatística Independência estatística A ocorrência de um evento não influencia a probabilidade de ocorrência de outro evento P(A ) = P(A) e P( A) = P() P(A ) = P(A). P( A) = P(A). P() L NL M S M S M e S = Morrer e Sobreviver de câncer L e NL = Louro e Não Louro P(M L) = P(M) = P(L) = P(L M) = P(L). P(M) = Usando a tabela de contingência P(M) = P(L) = P(L M) = P(L). P(M) = P(M L) = P(L M) / P(L) = Morrer Sobreviver Total E+ (L) 0,0027 0,2973 E- (NL) 0,0063 0,6937 Total

18 Testes Diagnósticos O teste T pode dar positivo ou negativo para uma determinada doença D. Existe uma probabilidade do teste ser positivo mesmo que o paciente não tenha a doença. Assim como de ser negativo mesmo que o paciente tenha a doença. É desejável que o teste acerte o máximo possível tanto na presença da doença (sensibilidade) quanto na sua ausência (especificidade). Testes Diagnósticos Sensibilidade do teste ser positivo quando deveria. do teste dar positivo (T+) quando de fato a doença está presente (D+). S = P(T+ D+) Especificidade do teste ser negativo quando deveria. do teste dar negativo (T-) quando de fato a doença está ausente (D-). E = P(T- D-) Testes Diagnósticos S = P(T+ D+) P(T+ D+) = 22/1820 P(D+) = 30/1820 S = 22/1820 / 30/1820 = (22/30) = 0,7333 E = P(T- D-) E = 1739/1790 = 0,9715 Tuberculose Raio X Sim (D+) Não (D-) totais Pos (T+) Neg (T-) totais P A = P A P Testes Diagnósticos Se o indivíduo está doente, há uma probabilidade de 73,33% do teste acertar Se o indivíduo não está doente, há uma chance de 97,15% do teste acertar O teste acerta 73,3% das vezes quando o indivíduo está doente O teste acerta 97,15% das vezes quando o indivíduo não está doente O teste é específico mas é pouco sensível

19 Testes diagnósticos Dado que o resultado do teste é positivo, existe uma probabilidade do indivíduo estar ou não realmente doente. Valor preditivo positivo (VPP) Dado que o teste é positivo, qual a probabilidade do indivíduo estar realmente doente? VPP = P(doente teste positivo) = P(D+ T+) VPP = 22/73 = 30,14% Tuberculose Raio X Sim (D+) Não (D-) totais Pos (T+) Neg (T-) totais Testes diagnósticos Dados a sensibilidade e especificidade do teste e a prevalência da doença, como calcular o valor preditivo positivo? VPP = P(D+ T+) = P(T+ D+) / P(T+) P(T+ D+) = P(D+ T+) * P(T+) = P(T+ D+) * P(D+) P(T+ D+) = Sensibilidade * Prevalência P(T+) = P(T+ D+) + P(T+ D-) = P(T+ D+) * P(D+) + P(T+ D-) * P(D-) complementar da especificidade (1-E) complementar da prevalência Testes diagnósticos VPP=P D T = P T D P T P T D P D VPP= P T D P D P T D P D S Prev VPP= S Prev 1 E 1 Prev O VPP depende da sensibilidade e especificade do teste e da prevalência da doença na comunidade estudada Qual a sensibilidade do exame Papanicolau para detectar câncer de colo de útero? Quais as consequências desse resultado? Qual a especificidade do teste? Quais as consequências? Qual a probabilidade de uma mulher ter câncer de colo de útero? E se ela tiver um exame Papanicolau positivo? Câncer colo útero Papanicolau Sim Não totais Pos Neg totais

Parte 3 Probabilidade

Parte 3 Probabilidade Parte 3 Probabilidade A probabilidade tem origem no século XVII, motivada, inicialmente, pelos jogos de azar. De maneira bastante informal, refere-se à probabilidade como uma medida de chance de algum

Leia mais

Conceitos de Probabilidade

Conceitos de Probabilidade 1/1 Introdução à Bioestatística Conceitos de Probabilidade Enrico A. Colosimo/UFMG http://www.est.ufmg.br/ enricoc/ Depto. Estatística - ICEx - UFMG 2/1 Tipos de Fenômenos 1. Aleatório: Situação ou acontecimentos

Leia mais

Introdução à Probabilidade

Introdução à Probabilidade Introdução à Probabilidade Silvia Shimakura silvia.shimakura@ufpr.br Probabilidade O que é probabilidade? Medida que quantifica a incerteza de um acontecimento futuro. Como quantificar incerteza? Definição

Leia mais

Princípios de Bioestatística Conceitos de Probabilidade

Princípios de Bioestatística Conceitos de Probabilidade 1/37 Princípios de Bioestatística Conceitos de Probabilidade Enrico A. Colosimo/UFMG http://www.est.ufmg.br/ enricoc/ Depto. Estatística - ICEx - UFMG 2/37 Tipos de Fenômenos 1. Aleatório: Situação ou

Leia mais

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aulas passadas Motivação Exemplos de aplicação de probabilidade e estatística Informações do curso Aula de hoje Espaço amostral Álgebra de Eventos Eventos

Leia mais

Universidade Federal de Lavras

Universidade Federal de Lavras Universidade Federal de Lavras Departamento de Estatística Prof. Daniel Furtado Ferreira 13 a Lista de Exercícios Práticos Conceitos Básicos de Probabilidade 1) Considere um experimento que consiste em

Leia mais

Teoria das Probabilidades

Teoria das Probabilidades Capítulo 2 Teoria das Probabilidades 2.1 Introdução No capítulo anterior, foram mostrados alguns conceitos relacionados à estatística descritiva. Neste capítulo apresentamos a base teórica para o desenvolvimento

Leia mais

Probabilidade ESQUEMA DO CAPÍTULO. UFMG-ICEx-EST Cap. 2- Probabilidade 1

Probabilidade ESQUEMA DO CAPÍTULO. UFMG-ICEx-EST Cap. 2- Probabilidade 1 Probabilidade ESQUEMA DO CAPÍTULO 2.1 ESPAÇOS AMOSTRAIS E EVENTOS 2.2 INTERPRETAÇÕES DE PROBABILIADE 2.3 REGRAS DE ADIÇÃO 2.4 PROBABILIDADE CONDICIONAL 2.5 REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO E DA PROBABILIDADE TOTAL

Leia mais

Bioestatística e Computação I

Bioestatística e Computação I Bioestatística e Computação I Distribuições Teóricas de Probabilidade Maria Virginia P Dutra Eloane G Ramos Vania Matos Fonseca Pós Graduação em Saúde da Mulher e da Criança IFF FIOCRUZ Baseado nas aulas

Leia mais

2 Conceitos Básicos de Probabilidade

2 Conceitos Básicos de Probabilidade CE003 1 1 Introdução No capítulo anterior, foram mostrados alguns conceitos relacionados à estatística descritiva. Neste capítulo apresentamos a base teórica para o desenvolvimento de técnicas estatísticas

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Probabilidade Departamento de Estatística UFPB Luiz Medeiros Introdução Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos Determinísticos: Os resultados são sempre os mesmos

Leia mais

Teoria da Probabilidade

Teoria da Probabilidade Teoria da Probabilidade Luis Henrique Assumpção Lolis 14 de fevereiro de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 1 Conteúdo 1 O Experimento Aleatório 2 Espaço de amostras 3 Álgebra dos

Leia mais

Probabilidade. Probabilidade e Estatística. Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva

Probabilidade. Probabilidade e Estatística. Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva Probabilidade e Estatística Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva Probabilidade Probabilidade Experimento Aleatório Um experimento é dito aleatório quando satisfaz

Leia mais

Probabilidade. Prof. Hemílio Fernandes Campos Coêlho. Departamento de Estatística - Universidade Federal da Paraíba - UFPB

Probabilidade. Prof. Hemílio Fernandes Campos Coêlho. Departamento de Estatística - Universidade Federal da Paraíba - UFPB Probabilidade Prof. Hemílio Fernandes Campos Coêlho Departamento de Estatística - Universidade Federal da Paraíba - UFPB Introdução Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos: Determinísticos e Não-determinísticos

Leia mais

Curso de Farmácia Estatística Vital Aula 05 Comentários Adicionais. Prof. Hemílio Fernandes Depto. de Estatística - UFPB

Curso de Farmácia Estatística Vital Aula 05 Comentários Adicionais. Prof. Hemílio Fernandes Depto. de Estatística - UFPB Curso de Farmácia Estatística Vital Aula 05 Comentários Adicionais Prof. Hemílio Fernandes Depto. de Estatística - UFPB Um pouco de Probabilidade Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido

Leia mais

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Motivação Exemplos de aplicação de probabilidade e estatística Informações do curso Aula de hoje Espaço amostral Álgebra de Eventos Eventos Mutuamente

Leia mais

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aulas passadas Motivação Espaço Amostral, Eventos, Álgebra de eventos Aula de hoje Probabilidade Análise Combinatória Independência Probabilidade Experimentos

Leia mais

Princípios de Bioestatística

Princípios de Bioestatística Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Princípios de Bioestatística Aula 5 Introdução à Probabilidade Nosso dia-a-dia está cheio de incertezas Vai

Leia mais

Cap. 4 - Probabilidade

Cap. 4 - Probabilidade Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004 Cap. 4 - Probabilidade APOIO: Fundação de Apoio à Pesquisa

Leia mais

Estatística Básica. Probabilidade. Renato Dourado Maia. Instituto de Ciências Agrárias. Universidade Federal de Minas Gerais

Estatística Básica. Probabilidade. Renato Dourado Maia. Instituto de Ciências Agrárias. Universidade Federal de Minas Gerais Estatística Básica Probabilidade Renato Dourado Maia Instituto de Ciências Agrárias Universidade Federal de Minas Gerais Probabilidade Condicional Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional

Leia mais

PROBABILIDADE. Aula 2 Probabilidade Básica. Fernando Arbache

PROBABILIDADE. Aula 2 Probabilidade Básica. Fernando Arbache PROBABILIDADE Aula 2 Probabilidade Básica Fernando Arbache Probabilidade Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório Deve fornecer a informação de quão verossímil é a ocorrência

Leia mais

Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral: A é um evento A Ω.

Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral: A é um evento A Ω. PROBABILIDADE 1.0 Conceitos Gerais No caso em que os possíveis resultados de um experimento aleatório podem ser listados (caso discreto), um modelo probabilístico pode ser entendido como a listagem desses

Leia mais

Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística Aula 3 Professora: Rosa M. M. Leão Probabilidade e Estatística Conteúdo: 1.1 Por que estudar? 1.2 O que é? 1.3 População e Amostra 1.4 Um exemplo 1.5 Teoria da Probabilidade 1.6 Análise Combinatória 3

Leia mais

Conteúdo: Aula 2. Probabilidade e Estatística. Professora: Rosa M. M. Leão

Conteúdo: Aula 2. Probabilidade e Estatística. Professora: Rosa M. M. Leão Aula 2 Professora: Rosa M. M. Leão Probabilidade e Estatística Conteúdo: 1.1 Por que estudar? 1.2 O que é? 1.3 População e Amostra 1.4 Um exemplo 1.5 Teoria da Probabilidade 1.6 Análise Combinatória 3

Leia mais

Será que vai chover amanhã? Quantificando a incerteza. Probabilidades Aula 1

Será que vai chover amanhã? Quantificando a incerteza. Probabilidades Aula 1 Será que vai chover amanhã? Quantificando a incerteza Probabilidades Aula 1 Nosso dia-a-dia está cheio de incertezas Vai chover amanhã? Quanto tempo levarei de casa até a universidade? Em quanto tempo

Leia mais

Prof.: Joni Fusinato

Prof.: Joni Fusinato Introdução a Teoria da Probabilidade Prof.: Joni Fusinato joni.fusinato@ifsc.edu.br jfusinato@gmail.com Teoria da Probabilidade Consiste em utilizar a intuição humana para estudar os fenômenos do nosso

Leia mais

Probabilidade - aula II

Probabilidade - aula II 2012/02 1 Interpretações de Probabilidade 2 3 Amostras Aleatórias e Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Calcular probabilidades de eventos conjuntos. Interpretar e calcular probabilidades

Leia mais

Prof.Letícia Garcia Polac. 26 de setembro de 2017

Prof.Letícia Garcia Polac. 26 de setembro de 2017 Bioestatística Prof.Letícia Garcia Polac Universidade Federal de Uberlândia UFU-MG 26 de setembro de 2017 Sumário 1 2 Probabilidade Condicional e Independência Introdução Neste capítulo serão abordados

Leia mais

TEORIA DA PROBABILIDADE

TEORIA DA PROBABILIDADE TEORIA DA PROBABILIDADE Lucas Santana da Cunha lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 22 de maio de 2017 Introdução Conceitos probabiĺısticos são necessários

Leia mais

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Foto extraída em http://www.alea.pt Profª Maria Eliane Universidade Estadual de Santa Cruz USO DE PROBABILIDADES EM SITUAÇÕES DO COTIDIANO Escolhas pessoais Previsão do tempo

Leia mais

NOÇÕES DE PROBABILIDADE

NOÇÕES DE PROBABILIDADE NOÇÕES DE PROBABILIDADE ALEATORIEDADE Menino ou Menina me? CARA OU COROA? 3 Qual será o rendimento da Caderneta de Poupança no final deste ano? E qual será a taxa de inflação acumulada em 014? Quem será

Leia mais

T o e r o ia a da P oba ba i b lida d de

T o e r o ia a da P oba ba i b lida d de Teoria da Probabilidade Prof. Joni Fusinato Teoria da Probabilidade Consiste em utilizar a intuição humana para estudar os fenômenos do nosso cotidiano. Usa o princípio básico do aprendizado humano que

Leia mais

Aula 07. Modelos Probabilísticos. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 1

Aula 07. Modelos Probabilísticos. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 1 ula 07 Modelos Probabilísticos Stela dami Vayego - DEST/UFPR 1 Probabilidade Universo do estudo (população) Hipóteses, conjeturas,... Modelos Probabilísticos Distribuições de Frequências Resultados ou

Leia mais

CE Estatística I

CE Estatística I CE 002 - Estatística I Agronomia - Turma B Professor Walmes Marques Zeviani Laboratório de Estatística e Geoinformação Departamento de Estatística Universidade Federal do Paraná 1º semestre de 2012 Zeviani,

Leia mais

ESTATÍSTICA EXPLORATÓRIA

ESTATÍSTICA EXPLORATÓRIA ESTATÍSTICA EXPLORATÓRIA Prof Paulo Renato A. Firmino praf62@gmail.com Aulas 07-08 Probabilidade Apanhado Geral Seguimos nossas discussões sobre a Incerteza Decidir usualmente envolve incerteza Uma presa

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Departamento de Estatística. Probabilidade

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Departamento de Estatística. Probabilidade UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Departamento de Estatística Probabilidade Disciplina: Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof. Tarciana Liberal Existem muitas situações que envolvem incertezas:

Leia mais

Capítulo 2 Probabilidades

Capítulo 2 Probabilidades Capítulo 2 Probabilidades Slide 1 Definições Slide 2 Acontecimento Qualquer colecção de resultados de uma experiência. Acontecimento elementar Um resultado que não pode ser simplificado ou reduzido. Espaço

Leia mais

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Período 2016 Sumário 1 Ementa e Bibliografia 2 3 4 Tipos de estudos Tipos de Amostragem 5 6

Leia mais

Costa, S.C. 1. Universidade Estadual de Londrina Departamento de Estatística. Probabilidades. Silvano Cesar da Costa.

Costa, S.C. 1. Universidade Estadual de Londrina Departamento de Estatística. Probabilidades. Silvano Cesar da Costa. Costa, S.C. 1 Universidade Estadual de Londrina Departamento de Estatística Probabilidades Silvano Cesar da Costa Londrina - Paraná Costa, S.C. 2 Noções sobre a teoria das probabilidades Conceitos probabilísticos

Leia mais

ELEMENTOS DE PROBABILIDADE. Prof. Paulo Rafael Bösing 25/11/2015

ELEMENTOS DE PROBABILIDADE. Prof. Paulo Rafael Bösing 25/11/2015 ELEMENTOS DE PROBABILIDADE Prof. Paulo Rafael Bösing 25/11/2015 ELEMENTOS DE PROBABILIDADE Def.: Um experimento é dito aleatório quando o seu resultado não for previsível antes de sua realização, ou seja,

Leia mais

Probabilidade - aula II

Probabilidade - aula II 25 de Março de 2014 Interpretações de Probabilidade Amostras Aleatórias e Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Calcular probabilidades de eventos conjuntos. Interpretar e calcular

Leia mais

Conceitos básicos de teoria da probabilidade

Conceitos básicos de teoria da probabilidade Conceitos básicos de teoria da probabilidade Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes Exemplos:. Resultado no lançamento de

Leia mais

1 Definição de Probabilidade 2 Principais Teoremas 3 Probabilidades dos Espaços Amostrais 4 Espaços Amostrais Equiprováveis. Francisco Cysneiros

1 Definição de Probabilidade 2 Principais Teoremas 3 Probabilidades dos Espaços Amostrais 4 Espaços Amostrais Equiprováveis. Francisco Cysneiros Probabilidade 1 Definição de Probabilidade 2 Principais Teoremas 3 Probabilidades dos Espaços Amostrais 4 Espaços Amostrais Equiprováveis Francisco Cysneiros Introdução 1 - Conceito Clássico Se uma experiência

Leia mais

Probabilidade. Experiências aleatórias

Probabilidade. Experiências aleatórias Probabilidade Experiências aleatórias 1 Experiências aleatórias Acontecimento: Qualquer colecção de resultados de uma experiência. Acontecimento elementar: Um resultado que não pode ser simplificado ou

Leia mais

BIOESTATÍSTICA. Parte 2 - Probabilidade

BIOESTATÍSTICA. Parte 2 - Probabilidade BIOESTATÍSTICA Parte 2 - Probabilidade Aulas Teóricas de 15/02/2011 a 24/03/2011 2.1. Experiência de Resultados. Espaço Amostra. Acontecimentos Frequentemente somos confrontados com situações em que está

Leia mais

3 NOÇÕES DE PROBABILIDADE

3 NOÇÕES DE PROBABILIDADE 3 NOÇÕES DE PROILIDDE 3.1 Conjuntos Um conjunto pode ser considerado como uma coleção de objetos chamados elementos do conjunto. Em geral denota-se conjunto por letras maiúsculas,, C,... e a sua representação

Leia mais

Carlos Pedreira.

Carlos Pedreira. Bio-Estatística Carlos Pedreira pedreira@ufrj.br CAPÍTULO 1 Conceitos Básicos de Probabilidade Em qual resultado você apostaria em 1 jogada de uma moeda justa? porque? Agora vamos jogar a moeda 2 vezes,

Leia mais

Probabilidade. Professora Ana Hermínia Andrade. Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise

Probabilidade. Professora Ana Hermínia Andrade. Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise Probabilidade Professora Ana Hermínia Andrade Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise Período 2016.2 Você reconhece algum desses experimentos? Alguns

Leia mais

Introdução à Bioestatística Turma Nutrição

Introdução à Bioestatística Turma Nutrição Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Introdução à Bioestatística Turma Nutrição Aula 6: Avaliação da Qualidade de Testes de Diagnóstico Avaliando

Leia mais

Processos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes

Processos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Variáveis Aleatórias Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Variáveis Aleatórias Momentos e Estatística Condicional Teorema

Leia mais

Fernando de Pol Mayer. Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR)

Fernando de Pol Mayer. Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR) Fernando de Pol Mayer Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR) Este conteúdo está disponível por meio da Licença Creative

Leia mais

Probabilidades- Teoria Elementar

Probabilidades- Teoria Elementar Probabilidades- Teoria Elementar Experiência Aleatória Experiência aleatória é uma experiência em que: não se sabe exactamente o resultado que se virá a observar, mas conhece-se o universo dos resultados

Leia mais

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 1 / 48 É provável que você

Leia mais

Introdução à Probabilidade

Introdução à Probabilidade A Teoria de Probabilidade é responsável pelo estudo de fenômenos que envolvem a incerteza (é impossível prever antecipadamente o resultado) e teve origem na teoria de jogos, servindo como ferramenta para

Leia mais

Noções sobre probabilidade

Noções sobre probabilidade Capítulo 3 Noções sobre probabilidade Um casal tem dois filhos. Qual é a probabilidade de: o primogênito ser homem? os dois filhos serem homens? pelo menos um dos filhos ser homem? A teoria das probabilidades

Leia mais

Teoria das Probabilidades

Teoria das Probabilidades 08/06/07 Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica Universidade Federal do Pará Instituto

Leia mais

2 a Lista de PE Solução

2 a Lista de PE Solução Universidade de Brasília Departamento de Estatística 2 a Lista de PE Solução 1. a Ω {(d 1, d 2, m : d 1, d 2 {1,..., 6}, m {C, K}}, onde C coroa e K cara. b Ω {0, 1, 2,...} c Ω {(c 1, c 2, c 3, c 4 : c

Leia mais

Definição: É uma coleção bem definida de

Definição: É uma coleção bem definida de EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 1: Introdução à Probabilidade Prof. Clécio da Silva Ferreira Depto Estatística - UFJF Conjuntos: Definição e notação Definição: É uma coleção bem definida de objetos,

Leia mais

Sumário. 2 Índice Remissivo 12

Sumário. 2 Índice Remissivo 12 i Sumário 1 Definições Básicas 1 1.1 Fundamentos de Probabilidade............................. 1 1.2 Noções de Probabilidade................................ 3 1.3 Espaços Amostrais Finitos...............................

Leia mais

Noções de Probabilidade

Noções de Probabilidade Noções de Probabilidade Joel M. Corrêa da Rosa 2011 A estatística descritiva é ferramenta indispensável para extrair informação em um conjunto de dados. Entretanto, a tomada de decisões está fortemente

Leia mais

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 1 / 31 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14

Leia mais

Estatística Empresarial. Fundamentos de Probabilidade

Estatística Empresarial. Fundamentos de Probabilidade Fundamentos de Probabilidade A probabilidade de chuva é de 90% A probabilidade de eu sair é de 5% Conceitos Básicos Conceitos Básicos 1. Experiência Aleatória (E) Processo de obtenção de uma observação

Leia mais

Probabilidades. Carla Henriques e Nuno Bastos. Eng. do Ambiente. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu

Probabilidades. Carla Henriques e Nuno Bastos. Eng. do Ambiente. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Probabilidades Carla Henriques e Nuno Bastos Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Eng. do Ambiente Introdução Ao comprar acções, um investidor sabe que o ganho que vai obter

Leia mais

Bioestatística e Computação I

Bioestatística e Computação I Bioestatística e Computação I Distribuição Amostral da Média Maria Virginia P Dutra Eloane G Ramos Vania Matos Fonseca Variável aleatória numérica parâmetros desconhecidos média desvio padrão estimativa

Leia mais

Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER ANO Conceitos Básicos de Probabilidade

Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER ANO Conceitos Básicos de Probabilidade Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2016 Conceitos ásicos de Probabilidade Camilo Daleles Rennó camilo@dpi.inpe.br http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/ Frequência Absoluta

Leia mais

Experiência Aleatória

Experiência Aleatória Probabilidades Experiência Aleatória Experiência aleatória é uma experiência em que: não se sabe exactamente o resultado que se virá a observar, mas conhece-se o universo dos resultados possíveis. Exemplo

Leia mais

Bioestatística F Testes Diagnósticos

Bioestatística F Testes Diagnósticos Bioestatística F Testes Diagnósticos Enrico A. Colosimo Departamento de Estatística Universidade Federal de Minas Gerais http://www.est.ufmg.br/~enricoc 2011 1 / 36 Testes Diagnósticos Uma das experiências

Leia mais

Unidade I ESTATÍSTICA APLICADA. Prof. Mauricio Fanno

Unidade I ESTATÍSTICA APLICADA. Prof. Mauricio Fanno Unidade I ESTATÍSTICA APLICADA Prof. Mauricio Fanno Estatística indutiva Estatística descritiva Dados no passado ou no presente e em pequena quantidade, portanto, reais e coletáveis. Campo de trabalho:

Leia mais

REGRAS DE PROBABILIDADE

REGRAS DE PROBABILIDADE REGRAS DE PROBABILIDADE Lucas Santana da Cunha lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 24 de maio de 2017 Propriedades As probabilidades sempre se referem a

Leia mais

Noções sobre Probabilidade

Noções sobre Probabilidade Noções sobre Probabilidade Introdução Vimos anteriormente como apresentar dados em tabelas e gráficos, e também como calcular medidas que descrevem características específicas destes dados. Mas além de

Leia mais

Bioestatística e Computação I

Bioestatística e Computação I Bioestatística e Computação I Testes de Hipótese para Comparação de 2 Médias Maria Virginia P Dutra Eloane G Ramos Vania Matos Fonseca Pós Graduação em Saúde da Mulher e da Criança IFF FIOCRUZ Baseado

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais Revisando - Análise combinatória

Leia mais

Probabilidades 1. Motivação; 2. Conceitos importantes; 3. Definições de probabilidades; 4. Probabilidade Condicional; 5. Independência de eventos; 6.

Probabilidades 1. Motivação; 2. Conceitos importantes; 3. Definições de probabilidades; 4. Probabilidade Condicional; 5. Independência de eventos; 6. Probabilidades 1. Motivação; 2. Conceitos importantes; 3. Definições de probabilidades; 4. Probabilidade Condicional; 5. ndependência de eventos; 6. Regra da probabilidade total. Probabilidades Probabilidades

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais Revisando - Análise combinatória

Leia mais

Lista de Exercícios de Probabilidades

Lista de Exercícios de Probabilidades Lista de Exercícios de Probabilidades Joel M. Corrêa da Rosa 2011 1. Lançam-se três moedas. Enumere o espaço amostral e os eventos : Ω = {(c, c, c); (k, k, k); (c, k, k); (k, c, k); (k, k, c); (k, c, c);

Leia mais

Princípios de Bioestatística

Princípios de Bioestatística Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Princípios de Bioestatística Aula 6: Avaliação da Qualidade de Testes de Diagnóstico PARTE 1: Avaliando um

Leia mais

Métodos Estatísticos Básicos

Métodos Estatísticos Básicos Aula 6 - Introdução à probabilidade Departamento de Economia Universidade Federal de Pelotas (UFPel) Maio de 2014 Experimento Experimento aleatório (E ): é um experimento que pode ser repetido indenidamente

Leia mais

Experiências Aleatórias. Espaço de Resultados. Acontecimentos

Experiências Aleatórias. Espaço de Resultados. Acontecimentos Experiências Aleatórias. Espaço de Resultados. Acontecimentos Experiência Aleatória É uma experiência em que: não se sabe exactamente o resultado que se virá a observar; conhece-se o universo dos resultados

Leia mais

Processos Estocásticos. Introdução. Probabilidade. Introdução. Espaço Amostral. Luiz Affonso Guedes. Fenômenos Determinísticos

Processos Estocásticos. Introdução. Probabilidade. Introdução. Espaço Amostral. Luiz Affonso Guedes. Fenômenos Determinísticos Processos Estocásticos Luiz ffonso Guedes Sumário Probabilidade Variáveis leatórias Funções de Uma Variável leatória Funções de Várias Variáveis leatórias Momentos e Estatística Condicional Teorema do

Leia mais

Matemática & Raciocínio Lógico

Matemática & Raciocínio Lógico Matemática & Raciocínio Lógico para concursos Prof. Me. Jamur Silveira www.professorjamur.com.br facebook: Professor Jamur PROBABILIDADE No estudo das probabilidades estamos interessados em estudar o experimento

Leia mais

Teoria das Probabilidades

Teoria das Probabilidades Experiência aleatória Observação de uma acção cujos resultados não são conhecidos a priori (conhecendo-se no entanto quais as possibilidades) Características: Possibilidade de repetição da experiência

Leia mais

Estatística. Probabilidade. Conteúdo. Objetivos. Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal.

Estatística. Probabilidade. Conteúdo. Objetivos. Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal. Estatística Probabilidade Profa. Ivonete Melo de Carvalho Conteúdo Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal. Objetivos Utilizar a probabilidade como estimador

Leia mais

Disciplina: Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio. DTAiSeR-Ar

Disciplina: Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio. DTAiSeR-Ar Disciplina: 221171 Probabilidade Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio DTAiSeR-Ar 1 Revisão de conceitos Você sabe contar? 2 a) Quantos números de 2 algarismos distintos podem ser formados usando-se os

Leia mais

Revisão Conceitos de Estatística aplicados à Epidemiologia

Revisão Conceitos de Estatística aplicados à Epidemiologia Revisão Conceitos de Estatística aplicados à Epidemiologia Carlos R. V. Kiffer Médico Infectologista Professor Doutor / Pesquisador Visitante LEMC / UNIFESP Sumário O que é Estatística? Conceitos População

Leia mais

Testes Diagnósticos. HEP Cassia Maria Buchalla

Testes Diagnósticos. HEP Cassia Maria Buchalla Testes Diagnósticos HEP 176 2017 Cassia Maria Buchalla Os testes são utilizados no diagnóstico clínico, na triagem e na pesquisa Concebido como um teste laboratorial, também se aplica à informação obtida

Leia mais

Análise Decisional: integridade e validação Por: Lionel Morgado Susana Silva

Análise Decisional: integridade e validação Por: Lionel Morgado Susana Silva Análise Decisional: integridade e validação Por: Lionel Morgado Susana Silva Algoritmos de Diagnóstico e de Auto-Regulação FCTUC 07-08 1 DIAGNÓSTICO DIAGNÓSTICO - em Medicina é o processo analítico de

Leia mais

Prof. Janete Pereira Amador 1. 1 Introdução

Prof. Janete Pereira Amador 1. 1 Introdução Prof. Janete Pereira Amador 1 1 Introdução A ciência manteve-se até pouco tempo atrás, firmemente apegada à lei da causa e efeito. Quando o efeito esperado não se concretizava, atribuía-se o fato ou a

Leia mais

Probabilidade Condicional. Prof.: Ademilson

Probabilidade Condicional. Prof.: Ademilson Probabilidade Condicional Prof.: Ademilson Operações com eventos Apresentam-se abaixo algumas propriedades decorrentes de complementação, união e interseção de eventos, úteis no estudo de probabilidade.

Leia mais

Princípios básicos de probabilidade e aplicação à genética

Princípios básicos de probabilidade e aplicação à genética Princípios básicos de probabilidade e aplicação à genética 1ª Parte: Princípios básicos de probabilidade Probabilidade é a chance que um evento tem de ocorrer, entre dois ou mais eventos possíveis. Por

Leia mais

Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística Aula 4 Probabilidade: Conceitos Básicos Leituras: Obrigatória: Devore, Capítulo 2 Complementar: Bertsekas e Tsitsiklis, Capítulo 1 Cap 4-1 Objetivos Nesta aula, aprenderemos:

Leia mais

Resumo. Parte 2 Introdução à Teoria da Probabilidade. Ramiro Brito Willmersdorf Introdução.

Resumo. Parte 2 Introdução à Teoria da Probabilidade. Ramiro Brito Willmersdorf Introdução. Parte 2 Introdução à Teoria da Probabilidade Ramiro Brito Willmersdorf ramiro@willmersdorf.net Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Pernambuco 2011.2 Resumo 1 Introdução 2 Espaço

Leia mais

CONTABILOMETRIA. Revisão de Probabilidade e Teorema de Bayes

CONTABILOMETRIA. Revisão de Probabilidade e Teorema de Bayes CONTAILOMETRIA Revisão de robabilidade e Teorema de ayes Os ostulados de robabilidade 1. As probabilidades são números reais positivos maiores que zero e menores que 1; simbolicamente, 0 A 1 para qualquer

Leia mais

Definição de Probabilidade

Definição de Probabilidade INTRODUÇÃO A TEORIA DAS PROBABILIDADES A teoria das probabilidade nada mais é do que o bom senso transformado em cálculo A probabilidade é uma medida da incerteza dos fenômenos. Traduz-se por um número

Leia mais

MOQ-13/PO-210: Probabilidade e Estatística

MOQ-13/PO-210: Probabilidade e Estatística Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica MOQ-13/PO-210: Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari www.mec.ita.br/ denise denise@ita.br 2o. semestre/2017 SEMANA

Leia mais

14/03/2014. Tratamento de Incertezas TIC Aula 1. Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade. Revisão de conjuntos. Modelos Probabilísticos

14/03/2014. Tratamento de Incertezas TIC Aula 1. Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade. Revisão de conjuntos. Modelos Probabilísticos Tratamento de Incertezas TIC-00.176 Aula 1 Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade Professor Leandro Augusto Frata Fernandes laffernandes@ic.uff.br Material disponível em http://www.ic.uff.br/~laffernandes/teaching/2014.1/tic-00.176

Leia mais

Probabilidade Condicional e Independência

Probabilidade Condicional e Independência Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MOQ-13 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari www.mec.ita.br/ denise denise@ita.br 17/08/2011 Probabilidade

Leia mais

1 Definição Clássica de Probabilidade

1 Definição Clássica de Probabilidade Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 4 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 2 - Probabilidade: Definições (Notas de aula) 1 Definição Clássica

Leia mais

Aula - Introdução a Teoria da Probabilidade

Aula - Introdução a Teoria da Probabilidade Introdução a Teoria da Probabilidade Prof. Magnos Martinello Aula - Introdução a Teoria da Probabilidade Universidade Federal do Espírito Santo - UFES Departamento de Informática - DI 5 de dezembro de

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Aula 2 Professor Regina Meyer Branski

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Aula 2 Professor Regina Meyer Branski PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Aula 2 Professor Regina Meyer Branski Probabilidade 1. Conceitos básicos de probabilidade 2. Probabilidade condicional 3. Eventos Dependentes e Independentes 4. Regra da Multiplicação

Leia mais