Probabilidades- Teoria Elementar

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1 Probabilidades- Teoria Elementar

2 Experiência Aleatória Experiência aleatória é uma experiência em que: não se sabe exactamente o resultado que se virá a observar, mas conhece-se o universo dos resultados possíveis. Exemplo 1 Alguns exemplos de experiências aleatórias: jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de caras; Lançamento de um dado; Retirar, com ou sem reposição, bolas de uma urna que contém 5 bolas brancas e 6 pretas; Contar o número total de peças defeituosas da produção diária da máquina A; Observação do sexo numa série de nascimentos; Sortear um aluno de uma determinada classe. 2

3 Espaço de Resultados Espaço de resultados ou espaço amostral (Ω) conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória Para o exemplo Lançamento de uma moeda temos: Ω= {cara, coroa} Para o exemplo Lançamento de um dado temos: Ω={1,2,3,4,5,6} Para o exemplo nascimento de uma criança temos: Ω= { Feminino, Masculino } 3

4 Noção de acontecimento Acontecimento qualquer subconjunto do espaço de resultados. Indicaremos os acontecimentos por letras maiúsculas: A, B, C, Da definição anterior segue que Ω e o conjunto vazio ( ) são acontecimentos. Ω - acontecimento certo - acontecimento impossível Acontecimento elementar qualquer subconjunto de Ω composto por apenas um elemento Acontecimento composto qualquer subconjunto de Ω composto por mais de um elemento 4

5 Acontecimentos Seja Ω o espaço de resultados de uma experiência aleatória. Diz-se que A Ω se realizou se o resultado, ω, da experiência é um elemento de A, i.e., ω A. Exemplo 2 Considere-se a experiência aleatória que consiste no lançamento de um dado e a observação do número inscrito na face voltada para cima. Ora, Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} Considere-se o acontecimento A - saída da face par. Se lançarmos o dado e sair face 2, então o acontecimento realizou-se e diz-se que ocorreu um sucesso. Se lançarmos o dado e sair a face 3, então o acontecimento não se realizou e diz-se que ocorreu um insucesso. 5

6 Acontecimentos (cont.) Ā chama-se acontecimento complementar ou contrário a A, ao acontecimento que se realiza se e só se o acontecimento A não se realiza. A B chama-se união de A com B ao acontecimento que consiste na realização de A ou de B (ou de ambos). A B chama-se intersecção de A com B ao acontecimento que consiste na realização de ambos os acontecimentos A e B 6

7 Acontecimentos (cont.) A-B chama-se diferença dos acontecimentos A e B ao acontecimento que consiste na realização de A mas não de B. Os acontecimentos A e B dizem-se incompatíveis, disjuntos ou mutuamente exclusivos, se não podem ocorrer conjuntamente, i.é, se A B= Acontecimentos disjuntos Acontecimentos não disjuntos 7

8 Conceitos de Probabilidade Definição Clássica Em 1812, Laplace apresenta a seguinte definição de probabilidade, para o caso de Ω finito: Probabilidade de um acontecimento é o quociente entre o número de casos favoráveis ao acontecimento e o número de casos possíveis, todos supostos igualmente prováveis Se uma experiência tem n resultados diferentes (n casos possíveis), igualmente prováveis que se excluem mutuamente e n(a) desses têm a característica A, então a probabilidade associada ao acontecimento A é dada por A) = n( A) n 8

9 Conceitos de Probabilidade (cont.) Definição Frequencista A probabilidade de qualquer acontecimento A define-se através do limite da frequência relativa desse acontecimento, numa sucessão de experiências realizadas sob o mesmo conjunto de condições, isto é, em que: A) n( A) = lim n n n - número de experiências realizadas n(a) - número de vezes que o acontecimento A se verificou. À medida que se aumenta o número de experiências realizadas sob condições idênticas, a frequência relativa tende a estabilizar para um valor que será a probabilidade do acontecimento. 9

10 Estabilização das frequências relativas 10

11 Conceitos de Probabilidade (cont.) Definição Axiomática Dada uma experiência aleatória, seja Ω o espaço de resultados associado. Probabilidade, P, é uma função que a cada acontecimento de Ω associa um número real satisfazendo o seguinte conjunto de axiomas: A 1 ) A) 0 para todo A Ω A 2 ) Ω)=1 A 3 ) Se A e B são acontecimentos disjuntos (A B= ) então A B )=A)+B) 11

12 Probabilidade Com base nos axiomas A 1, A 2 e A 3 podem deduzir-se as seguintes propriedades: )=0 Ā)=1-A) A-B)=A)-A B) Se A B então A) B) A) 1 A B )=A)+B)-A B ) 12

13 Exemplo Exemplo 3 Num restaurante registaram-se, durante bastante tempo, os pedidos dos clientes, tendo-se chegado à conclusão que, para terminar a refeição, 20% do clientes pedem só sobremesa, 40% pedem só café e 30% pedem café e sobremesa. a) Construa um diagrama de Venn para ilustrar a situação anterior. b) Determine a probabilidade do acontecimento pedir café c) Determine a probabilidade do acontecimento não pedir sobremesa d) Determine a probabilidade do acontecimento nem pede café nem sobremesa e) Determine a probabilidade do acontecimento pedir café ou sobremesa f) Os acontecimentos pedir café e pedir sobremesa são disjuntos? 13

14 Probabilidade Condicionada Definição A probabilidade condicionada de A dado B (ou sabendo B, ou se B) é o quociente entre a probabilidade conjunta do acontecimento A e B e a probabilidade do acontecimento dado, ou seja, A B) A B) =, se B) > B) 0 14

15 Probabilidade Condicionada (Exemplo) Exemplo 4 Uma determinada companhia investigou junto de cada um dos seus 280 empregados qual o estado civil (e.c.) e qual o tipo de assistência médica (a.m.) pretendida, de entre três tipos à escolha. Os resultados obtidos encontram-se na seguinte tabela: a.m. e.c. Solteiros Casados Total Tipo Tipo Tipo Total Qual a probabilidade de um empregado, escolhido ao acaso, preferir a assistência do tipo 1? Suponha agora que o individuo escolhido é casado. Qual a probabilidade de ele preferir assistência do tipo 1? 15

16 Intersecção de acontecimentos A B) =P (o acontecimento A ocorrer e o acontecimento B também ocorrer) 16

17 Probabilidade da intersecção de acontecimentos Como A B) = A B) B) e B A) = A B) A) vem A B)=A B)B)=B A)A) 17

18 Acontecimentos Independentes Definição Dois acontecimentos A e B dizem-se independentes se e só se A B)=A) e B A)=B). Observação: Se dois acontecimentos são independentes, o conhecimento de um deles em nada influencia a probabilidade de ocorrência do outro. Da definição anterior e da definição de probabilidade condicionada resulta que dois acontecimentos A e B são independentes se e só se: Exemplo 3 (cont.) A B)=A)B). Os acontecimentos pedir café e pedir sobremesa são independentes? 18

19 Teorema da probabilidade total Teorema da Probabilidade Total Sejam A 1, A 2,..., A n acontecimentos definindo uma partição do espaço se resultados Ω, i.é., A 1 A 2 L An = Ω e Ai A j = φ ( i j Se A i )>0, i, então para qualquer acontecimento B tem-se ). B) = n i= 1 A ) B i A i ) 19

20 Teorema de Bayes Teorema de Bayes Sejam A 1, A 2,..., A n acontecimentos formando uma partição de Ω, onde A i )>0. Seja B um outro acontecimento de Ω, tal que B)>0. Então para i=1,2,,n tem-se A i B) = n A ) B A ) A i= 1 i ) B A ) i i i 20

21 Teorema de Bayes (Exemplo) Exemplo 5 O José está indeciso em ir passar o fim de semana fora e telefonou para o serviço meteorológico para saber qual a previsão do tempo. Disseram-lhe que havia 20% possibilidades de chover. Se chover o José tem uma probabilidade de 0.25 de ir para o Algarve. Se não chover esta probabilidade aumenta para a) Qual a probabilidade do José ir para o Algarve? b) O José foi passar o fim de semana para o Algarve. Qual a probabilidade de ter chovido? 21

22 Variáveis aleatórias Uma variável aleatória é uma variável (usualmente representada por letra maiúscula, por exemplo X) que toma um certo valor, determinado pelo acaso, de cada vez que a experiência é realizada. Uma distribuição de probabilidade permite calcular a probabilidade correspondente a cada valor ou conjunto de valores da variável aleatória. 22

23 Variáveis discretas Ficam completamente definidas por qualquer uma das seguintes funções: Função (massa) de probabilidade f(x)=x=x), para todo o x possível (X representa a variável aleatória e x um valor que a variável assume); Função de distribuição F(x)=X x), para todo o x real. Notar que F(x)=ΣX=x i ) para todo o x i x. F(x) representa a probabilidade acumulada até x. 23

24 Variáveis contínuas No caso de variáveis contínuas a função de probabilidade é designada por função densidade de probabilidade. 24

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