Lista de exercícios Defina o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios:

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Centro de Ciências Agrárias Departamento de Tecnologia Agroindustrial e Socioeconomia Rural Disciplina: Noções de Probabilidade e Estatística (221171) Prof. a Dr. a Simone D. Sartorio de Medeiros Lista de exercícios 8 (Probabilidades) 1. Defina o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: a) Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas. b) Um dado é lançado duas vezes e a ocorrência de face par ou ímpar é observada. c) Investigam-se famílias com quatro crianças, anotando-se a configuração segundo o sexo (M =Masculino, F =Feminino). d) Lance um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez. e) Mede-se a duração de lâmpadas, deixando-as acesas até que queimem. f) Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensões rigorosamente iguais. Três bolas são selecionadas ao acaso com reposição e as cores são anotadas. Resposta: a) Ω = {(C, C); (C, R); (R, C); (R, R)}, para C =Cara e R =Coroa; b) Ω = {(P, P ); (P, I); (I, P ); (P, P )}, para P =Par e I =Ímpar; c) Ω = {(M, M, M, M); (M, M, M, F ); (M, M, F, M); (M, F, M, M);... ; (F, F, F, F )}, com o total de 16 pontos amostrais; d) Ω = {(5); (F, 5); (F, F, 5); (F, F, F, 5); (F, F, F, F, 5);...}, em que F =face diferente de 5; e) Ω = {t R t 0}; f) Ω = {(A, A, A); (A, A, V ); (A, V, A); (V, A, A); (A, V, V ); (V, A, V ); (V, V, A); (V, V, V )}, sendo A =azul e V =vermelha. 2. (Magalhães e Lima, 2002 ) Para cada um dos casos abaixo escreva o espaço amostral correspondente e conte o número de elementos. a) Em uma cidade, famílias com 3 crianças são selecionadas ao acaso, anotando-se o sexo de cada uma delas. b) Uma máquina produz 20 peças por hora, escolhe-se um instante qualquer e observa-se o número de defeituosas na próxima hora. c) Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da primeira cara. 3. Três eventos são mostrados no diagrama de Venn na Figura 1. Reproduza a figura e sombreie a região que corresponde a cada um dos seguintes eventos: 1

2 a) A c b) A B c) (A B) C d) (B C) c Figura 1: Diagrama de Venn. e) (A B) c C 4. Três eventos são mostrados no diagrama de Venn na Figura 2. Reproduza a figura e sombreie a região que corresponde a cada um dos seguintes eventos: a) A c b) (A B) (A B c ) c) (A B) C d) (B C) c Figura 2: Diagrama de Venn. e) (A B) c C 5. Seja A o evento passar na disciplina A e B o evento passar na disciplina B. Considerando: P (A) = 1/2, P (B) = 2/3, e P (A B) = 1/4, calcular e interpretar: a) P (A c ) e P (B c ) b) P (A B) c) P (A c B c ) d) P (A c B c ) e) P (A c B) 6. Considere uma urna contendo 3 bolas pretas e 5 bolas vermelhas. Retire duas bolas da urna, sem reposição. a) Obtenha os resultados possíveis e as respectivas probabilidades. b) Refaça o item anterior para extrações com reposição. Calcule as probabilidades dos eventos: c) Bola preta na primeira e segunda extrações. (Resp: 6/56; 9/64) d) bola preta na segunda extração. (Resp: 21/56; 24/64) e) bola vermelha na primeira extração. (Resp: 35/56; 40/64) 7. Uma balança digital é usada para fornecer pesos para o grama mais próximo. 2

3 a) Qual é o espaço amostral para esse experimento? Faça A denotar o evento em que um peso excede 11 gramas; Faça B denotar o evento em que um peso é menor que ou igual a 15 gramas; e Faça C denotar o evento em que um peso é maior que ou igual a 8 gramas e menor que 12 gramas. Descreva os seguintes eventos: b) A B c) A B d) A c e) A B C f) (A C) c g) A B C h) B c C i) A (B C) 8. Se P (A B) = 0, 8; P (A) = 0, 5 e P (B) = x, determine o valor de x no caso de: a) A e B serem mutuamente exclusivos. (Resp: x = 0, 3) b) A e B serem independentes. (Resp: x = 0, 6) 9. Em um certo locus podem ocorrer dois alelos: C e D. Admitamos que os possíveis genótipos têm as seguintes probabilidades: P (CC) = 0, 46; P (CD) = 0, 31; P (DD) = 0, 23. Qual é a probabilidade de que um genótipo contenha: a) o alelo C? (Resp: 0,77) b) o alelo D? (Resp: 0,54) c) Qual a suposição feita em a e b? 10. Em um locus de um certo par de cromossomos, podem ocorrer alelos A e a. Os genótipos AA, Aa, aa tem probabilidades P (AA) = 0, 11; P (Aa) = 0, 37 e P (aa) = 0, 52. Em um locus de outro par de cromossomos podem ocorrer os alelos B e b. Os genótipos BB, Bb, bb tem probabilidades P (BB) = 0, 35, P (Bb) = 0, 25 e P (bb) = 0, 40. Encontrar as probabilidades das combinações genéticas: a) AA junto com BB, isto é AA e BB. (Resp: 0,0385) b) Aa junto com Bb, isto é Aa e Bb. (Resp:0,0925) c) Qual a suposição feita em a e b? 11. Num levantamento em um município sobre a propriedade da terra e o tamanho do estabelecimento agrícola, encontrou-se a seguinte situação: 3

4 45 agricultores proprietários com estabelecimentos menores que 50 hectares. 10 agricultores arrendatários com estabelecimentos menores que 50 hectares. 15 agricultores proprietários com estabelecimentos maiores que 50 hectares. 2 agricultores arrendatários com estabelecimentos maiores que 50 hectares. Ao escolher, ao acaso, algum agricultor do município, qual é a probabilidade de que: a) O agricultor seja arrendatário e o estabelecimento agrícola menor que 50 hectares?(resp: 10/72) b) O estabelecimento agrícola tenha menos de 50 hectares? (Resp: 55/72) 12. A empresa M& B tem empregados, classificados de acordo com a Tabela a seguir: Sexo Idade Homens (H) Mulheres (F) Total < 25 anos (A) anos (B) > 40 anos (C) Total Se um empregado é selecionado ao acaso, calcular a probabilidade de ele ser: a) Um empregado com 40 anos de idade ou menos; (Resp: 0,62) b) Um empregado com 40 anos de idade ou menos, e mulher; (Resp: 0,21) c) Um empregado com mais de 40 anos de idade e que seja homem; (Resp: 0,114) d) Uma mulher, dado que é um empregado com menos de 25 anos. (Resp: 0,286) 13. Numa certa cidade, 40% da população têm cabelos castanhos, 25% olhos castanhos e 15% cabelos e olhos castanhos. Uma pessoa da cidade é selecionada aleatoriamente. a) Se ela tem cabelos castanhos, qual é a probabilidade de ela ter também olhos castanhos? (Resp: 0,0375) b) Se ela tem olhos castanhos, qual é a probabilidade de ela não ter cabelos castanhos? (Resp: 0,4) c) Qual é a probabilidade de ela não ter nem cabelos nem olhos castanhos? (Resp: 0,5) 14. Considere os eventos A: O animal sorteado tem peso superior a 200kg e B: o animal sorteado é macho, com as seguintes probabilidades associadas: P (A) = 1/4, P (B A) = 1/2 e P (A B) = 1/4. Com base nesses valores, pede-se: a) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Porquê? b) Os eventos A e B são independentes? Porquê? c) Calcule e interprete P (A c B c ) e P (A B c ). 4

5 (Respostas: a) Não são mutuamente exclusivos porque P (A B) = 1/8; b) São independentes porque 1/4 = P (A B) = P (A) = 1/4; c) P (A c B c ) = 0, 75 e P (A B c ) = 0, 25.) 15. A probabilidade de que o Palmeiras vença seu próximo jogo no Campeonato Paulista é estimada em 70% se não chover, mas só em 50% se chover. Se os registros meteorológicos mostrarem que tem chovido em 40% dos jogos do Palmeiras, qual a probabilidade dele vencer o próximo jogo? E de perder? (Respostas: Dica: Usando o diagrama de árvore...p (G) = 0, 62; P (P ) = 0, 38.) 16. Sabe-se que as aves de um box do galpão experimental para frangos de corte, escolhido ao acaso, recebeu uma nova vacina. Dos seis boxes existentes, os boxes 1, 2 e 3 têm 20 fêmeas e 40 machos, o box 4 tem 20 machos e 40 fêmeas e os boxes 5 e 6 têm 30 machos e 30 fêmeas cada um. Nosso experimento consiste em sortear um desses seis boxes e dentro dele, sortear uma ave. Pede-se: a) Qual a probabilidade da ave sorteada de ser um macho? E ser uma fêmea? b) Sabendo-se que a ave sorteada é uma fêmea, qual a probabilidade dela ter sido retirada do box 1? E do box 4? E do box 5? (Respostas: Dica: Usando o diagrama de árvore...a) P (M) = 0, 5555 e P (F ) = 0, 4445; b) P (1 F ) = P (2 F ) = P (3 F ) = 0, 1251; P (4 F ) = 0, 25; P (5 F ) = P (6 F ) = 0, 1874.) 17. Complete as frases: a) Se a probabilidade de determinado exemplo é zero, significa que esse evento (sempre, nunca, ou as vezes) ocorre. b) A probabilidade de ocorrer um evento é qualquer valor (entre zero e um, inclusive os extremos ou entre zero e meio ou entre zero e um, exclusive os extremos). c) Evento certo tem probabilidade igual a (um ou zero). 18. Falso ou verdadeiro? a) Espaço amostral é a lista com todos os resultados possíveis de um procedimento. b) Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. (Resp: a) V; b) V) 5