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1 PROBABILIDADE

2 Espaço amostral Espaço amostral é o conjunto universo U de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. O número de elementos desse conjunto é indicado por n(u). Exemplos: No lançamento de uma dado: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(u) = 6 No sorteio de uma das dezenas do jogo do bicho: U = {01, 02, 03,..., 25} e n(u) = 25

3 Evento Qualquer subconjunto do espaço amostral U é um evento. Exemplo: No lançamento de um dado, o evento obter um número maior ou igual a 4 é representado por A = {4, 5, 6}, subconjunto de U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Quando A = U, o evento é certo, no lançamento de uma moeda, qual a chance de sair cara ou coroa. A = {cara, coroa} é um evento certo: n(a) = n(u). Se A =, o evento é impossível, por exemplo, obter 7 no lançamento de um dado.

4 Exemplos de exercícios 1)Determine o espaço amostral do experimento aleatório lançamento simultâneo de duas moedas. Solução: Indicando cara por C e coroa por K, temos: U = {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)} n(u) = 4 Simbolicamente temos:

5 2) Considerando o experimento aleatório nascimento de três filhos de um casal, determine o espaço amostral e o subconjunto que representa o evento nascimento de exatamente dois meninos em três filhos do casal. Solução: Indicando menina por M e menino por H, tempos: U = {(M, M, M), (M, M, H), (M, H, H), (M, H, M), (H, H, H,), (H, H, M), (H, M, M), (H, M, H)} n(u) = 8 o evento nascimento de exatamente dois meninos em três filhos do casal é dado por: A = {(M, H, H), (H, H, M), (H, M, H)}

6 Exercícios 1) No lançamento de um dado, determine o evento para obter: a) um número maior que 4 b) um número primo c) um número par d) um número ímpar 2) Considerando o experimento sorteio de um número de 1 a 20, determine o evento para obter um número: a) Múltiplo de 3 b) múltiplo de 5 c) número primo d) número par 3) No lançamento simultâneo de dois dados diferentes, determine os seguintes eventos: a) Números iguais nos dois dados b) números cuja soma seja 2 c) Números cuja soma seja 7 d) números cuja soma seja 13 4) Considerando o experimento aleatório nascimento de três filhos de um casal, determine o evento para obter o nascimento: a) De exatamente uma menina b) de no máximo uma menina c) de no mínimo duas meninas d) de três meninos 5) Determine o espaço amostral do experimento aleatório lançamento simultâneo de três moedas diferentes e o evento para obter: a) Exatamente uma vez cara b) pelo menos uma cara c) exatamente duas caras d) No máximo duas caras

7 6) No lançamento de três dados diferentes, determine o evento para obter: - Três números primos consecutivos 7) Considerando o sorteio de um número de 1 a 30, determine o evento para obter um número: a) primo b) número ímpar c) número múltiplo de 10 d) número natural e) um número quadrado perfeito 8) No sorteio de uma dezena da megasena, determine o evento para obter um número: a) um número múltiplo de 5 b) um número par c) um número ímpar d) um número maior que 60 e) o maior número primo 9) No lançamento simultâneo de três moedas diferentes, determine o evento para obter: a) três caras b) três coroas c) exatamente duas caras d) exatamente duas coroas e) pelo menos uma coroa 10) No lançamento de um dado, determine o evento para obter: a) um número par e primo b) um número negativo c) um número maior que 3 d) um número maior que 8 e) um número quadrado perfeito

8 PROBABILIDADE: DEFINIÇÃO P( A) n( A) n( U)

9 Exemplos: 1) Na escolha de um número de 1 a 30, qual a probabilidade de que seja sorteado um múltiplo de 5? U = {1, 2, 3,..., 30} n(u) = 30 A = {5, 10, 15, 20, 25, 30} n(a) = 6 Logo: 6 P( A) Dividindo-se 1 por 5, obtém-se 0,2, portanto a chance é de 20%.

10 2) Qual a probabilidade de, no lançamento simultâneo de dois dados diferentes, obter soma igual a 7? U = {(1,1), (1,2), (1,3),..., (6,5), (6,6)} n(u) = 36 A = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)} n(a) = 6 Logo: 6 P( A) Dividindo-se 1 por 6, obtém-se 0,16, portanto a chance é de aproximadamente 16%.

11 Exercícios 1) Determine a probabilidade de: a) Obter um número menor que 3 no lançamento de um dado b) Os três filhos de uma casal serem meninos 2) Qual a probabilidade do evento certo? E do impossível? 3) Uma urna contém 10 bolas brancas, 8 vermelhas e 6 pretas, todas iguais e indistinguíveis ao tato. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ela: a) Ser branca b) Ser vermelha c) Ser preta d) De ela não ser preta 4) Ao jogarmos dois dados distintos, qual a probabilidade de obter pontos diferentes nos dois dados? 5) Jogando uma moeda três vezes, qual a probabilidade de: a) Obter cara pelo menos uma vez b) Obter coroa pelo menos uma vez c) Obter só coroa d) Obter cara exatamente duas vezes

12 6) São jogados um dado azul e um dado verde. Calcule a probabilidade de: a) Ocorrer soma 11 b) Ocorrer soma 3 c) Não ocorrer soma 2 nem soma 8 d) Não ocorrer um múltiplo de 2 7) Em uma urna há 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. Se retirarmos uma bola da urna, a probabilidade de: a) Não obter a bola número 7 é igual a: b) De obter um número primo é igual a: c) De obter um número natural é igual a: d) Não obter um múltiplo de 2 é igual a:

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