PROBABILIDADE - INTRODUÇÃO

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1 E.E. Dona Antônia Valadares MATEMÁTICA 1º ANO ANÁLISE COMBINATÓRIA PROBABILIDADE - INTRODUÇÃO PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA

2 TEORIA DAS PROBABILIDADES A teoria das probabilidades busca estimar as chances de ocorrer um determinado acontecimento. É um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.

3 Embora o seu nascimento esteja ligado ao jogo, as Probabilidades têm, nos nossos dias, aplicações em muitas outras ciências, nomeadamente, na Economia, na Psicologia, na Medicina e até na Física e na Química. Uma área onde a Teoria das Probabilidades é muito utilizada é a dos seguros. Hoje, quando fazemos um contrato com uma companhia de seguros (seja esse contrato um seguro de vida, um seguro de incêndios, um seguro automóvel ou qualquer outro), o prémio a pagar à companhia foi determinado em função da maior ou menor probabilidade de se verificar um acidente. Por exemplo, num seguro automóvel, o valor que se paga:

4 É mais caro para carros com mais de 5 anos, já que a probabilidade de se ter um desastre com um carro já com algum desgaste é maior do que com um carro novo; É mais caro se o condutor tiver habilitação de condução há menos de dois anos (a sua inexperiência torna maior a probabilidade do acidente). Para o cálculo do valor do seguro é levado em conta também o modelo do automóvel, a região que esse veículo circula, a idade do condutor... Há até companhias de seguros que fazem descontos para as mulheres condutoras!...

5 Há muitos experimentos que mesmo repetidos em condições idênticas apresentam resultados diferentes. Pode-se dizer que o resultado de cada um desses eventos é imprevisível. EXEMPLOS Ao lançarmos um dado não viciado, não é possível prever qual dos números 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 poderá ser obtido. O lançamento de uma moeda tem como resultados imprevisíveis cara ou coroa.

6 As dezenas da Mega-Sena, da Lotofácil, da Dupla Sena, da Quina, e de outras loterias também não podem ser previstas antes do sorteio. Quando a roleta é girada não é possível prever em qual número a bolinha vai parar.

7 Fenômenos desse tipo, cujos resultados dependem do acaso, são chamados de fenômenos aleatórios. Pelo fato de não sabermos antecipadamente os resultados de fenômenos aleatórios, é importante aprendermos calcular as chances de um resultado ocorrer.

8 ESPAÇO AMOSTRAL (ou de probabilidades) O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é o espaço amostral (S) Jogar uma moeda S = {cara, coroa} Sortear um número inteiro de um a cem S = {1,2,...,100} Lançar um dado S = {1,2,3,4,5,6}

9 EVENTO Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral E = {cara} (sortear cara) E = {25, 27, 26} (sortear no. entre 24 e 28) E = {3, 5, 1} (lançar no. impar no dado) Obs.: Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer

10 EVENTO CERTO E EVENTO IMPOSSÍVEL Evento certo: Ocorre quando um evento coincide com o espaço amostral. Evento impossível: Ocorre quando um evento é vazio.

11 Exemplos: 1 - Lançar um dado e registrar os resultados: Espaço amostral: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Evento A: Ocorrência de um número menor que 7 e maior que zero. A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Portanto A = S, logo o evento é certo.

12 Evento B: Ocorrência de um número maior que 6. B = Não existe número maior que 6 no dado, portanto o evento é impossível.

13 Evento C: Ocorrência de um número par. Evento D: Ocorrência de múltiplo de 3. C = 2, 4, 6 D = 3, 6 Evento E: Ocorrência de número par ou número múltiplo de 3. E = C D E = 2, 4, 6 3, 6 E = 2, 3, 4, 6 - União de eventos Evento F: Ocorrência de número par e múltiplo de 3. F = C D F = 2, 4, 6 3, 6 F = 6 Intersecção de eventos

14 PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO P( A) número número de de elementos elementos de de A S P( A) n( A) n( S) P = (o que você quer) (total de possibilidades)

15 Exemplos 1 Consideremos o experimento Aleatório do lançamento de um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara. Espaço amostral: S = cara, coroa n(s) = 2 Evento A: A = cara n(a) = 1 n( A) Como P( A), temos P( A) n( ) 1 2 ou 0,50 50%

16 2 No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4? Espaço amostral: = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(s) = 6 Evento A: A = 5, 6 n(a) = 2 n( A) 2 P( A) P( A) P( A) n( S) 6 1 3

17 3 No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas: a) Evento A : Pelo menos 2 caras? b) Evento B: Exatamente 2 caras? C = cara K = coroa S = CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK n(s) = 8 a) A = CCC, CCK, CKC, KCC n(a) = 4 n( A) 4 P( A) P( A) P( A) n( S) b) B = CCK, CKC, KCC n(b) = 3 n( B) P( B) P( B) n( S) 3 8

18 4 Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte e 5 gostam somente de leitura. CALCULE a probabilidade de escolher, ao acaso, um desses jovens: a) Ele gostar de música; b) Ele não gostar de nenhuma dessas atividades.

19 M L 9 E 11 n(s) = 75 gostam de música: = 44 não gostam de nenhuma dessas atividades: 75 ( ) = = 11

20 a) a probabilidade de gostar de música: n( A) 44 P( A) n( S) 75 58% b) probabilidade de não gostar de nenhuma dessas atividades: n( B) 11 P( B) n( S) 75 14%

21 5 Caixa com Sorteio: Uma caixa contém 16 bolas. Destas, 10 são azuis, 4 são pretas e 2 são amarelas. Qual a probabilidade de: a) Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul? b) Tirar uma e ela ser amarela? c) Tirar duas azuis seguidas? d) Tirar uma preta e depois uma azul? e) Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela? f) Tirar uma e ela não ser preta? g) Tirar uma bola vermelha?

22 Total:16 bolas 10 azuis, 4 pretas e 2 são amarelas. Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul? P = 10/16 = 5/8 Tirar uma e ela ser amarela? P = 2/16 = 1/8 Tirar duas azuis seguidas? (AZUL e AZUL) P = (10/16). (9/15) = 90/240 = 9/24 Tirar uma preta e depois uma azul? (PRETA e AZUL) P = (4/16).(10/15) = 40/240 = 4/24

23 Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela? P = 12/16 = ¾ (75%) Tirar uma e ela não ser preta? P = 12/16 = ¾ (veja que é a mesma que a pergunta de cima!!) Tirar uma bola vermelha? P = 0/16 = 0 (impossível)!

24 6 Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter soma 5?

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26 Eventos probabilísticos estão na base da propagação de características físicas genéticas e doenças, ao combinar genes dos pais. O estudo da Probabilidade permite o trabalho nesse campo da ciência. Questões a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem? b) Ter três homens? c) Ter três filhos todos do mesmo sexo? d) Qual a chance deles terem três meninas? e) E de ter uma menina e dois meninos?

27 a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem? P = ½ (50%) b) Ter três homens? Mapa: HHH MMM HHM HMH MHH MMH HMM MHM P = 1/8 c) Ter três filhos todos do mesmo sexo? P = 2/8 = ¼ (25%) d) Qual a chance deles terem três meninas? P = 1/8 = 0,125 = 12,5% e) E de ter uma menina e dois meninos? P = 3/8 = 0,375 = 37,5%

28 A cor dos olhos é uma característica transmitida geneticamente. Ela é comandada pela combinação de dois genes, que vêm um da mãe e outro do pai. O gene dominante é A e o recessivo é a Nesse caso, quando aparece na combinação o gene dominante A a pessoa terá a característica marcada por esse gene. Para cor dos olhos, o gene A determina olhos castanhos, então para ter olhos azuis a pessoa deve ter genótipo aa Um casal tem o homem com genótipo aa e a mulher é Aa. Qual a probabilidade do filho ter olhos azuis?

29 Veja as combinações possíveis para cor dos olhos: Aa = olhos castanhos aa = olhos castanhos AA = olhos castanhos Aa = olhos azuis 2 1 P 4 2 0,5 Aa Mulher aa Homem A a a aa aa a aa aa 50%

30 EXERCÍCIOS 1 Um casal de olhos castanhos tem quatro filhos, três deles de olhos azuis. a) Qual o genótipo do casal? b) Qual a probabilidade deles terem um quinto filho de olhos azuis?

31 2 Um baralho comum tem 52 cartas, sendo 13 (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada um dos naipes, que são paus, ouros, copas e espadas. Ao escolhermos aleatoriamente uma das 52 cartas, qual a probabilidade de que ela seja: a) O valete de ouros? b) Um valete vermelho, isto é, copas ou ouros? c) Um valete? d) Uma carta de naipe vermelho, isto é, copas ou ouros?

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