Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística

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1 Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Prova de Probabilidade Prof.: Fabiano F. T. dos Santos Goiânia, 9 de setembro de 04 Aluno: Nota: Descreva seu raciocínio e desenvolva todas as contas. Não utilize caneta vermelha. Responda todas as perguntas nas folhas correspondentes. Dena todos os eventos necessários. O pessimista reclama do vento, o otimista espera que ele mude, o realista ajusta as velas. (Provérbio chinês)

2 Questão a) Considere uma urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas e algumas bolas azuis. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, outra bola dessa urna. Para quais quantidades de bolas azuis, a probabilidade das duas bolas retiradas terem mesma cor vale? (,50 pontos) A probabilidade de extrair duas bolas pretas é, a probabilidade de extrair duas bolas n+5 n+5 4 brancas é 4 n+5 n+5 e a probabilidade de extrair duas bolas azuis é n n. Para que a n+5 n+5 probabiliddae de extrair duas bolas da mesma cor seja igual a, devemos ter (n + 5) + 6 (n + 5) + n (n + 5) =. Resolvendo a equação quadrática, concluímos que n pode valer ou 9. b) Considere o experimento do item (a), supondo extrações sem reposição e a urna contendo uma bola preta, quatro bolas brancas e três bolas azuis. Sabendo-se que a segunda bola extraída é preta, qual a probabilidade de que a primeira bola extraída tenha sido branca? (,00 ponto) Dena os eventos P i, B i e A i, que representam retirar uma bola preta na i-ésima extração, retirar uma bola branca na i-ésima extração e retirar uma bola azul na i-ésima extração, respectivamente, com i =,. Primeiramente, calculemos, via Teorema da Probabilidade Total, a chance de retira uma bola preta na segunda extração. Essa probabilidade vale: P (P ) = P (P ) P (P P ) + P (B ) P (P B ) + P (A ) P (P A ) = = 8. Assim, aplicando o Teorema de Bayes, obtemos a probabilidade pedida: P (B P ) = P (B ) P (P B ) P (B ) = = 4 7.

3 Questão Pedro combinou com João que lancará uma moeda honesta quatro vezes. Pedro apostou que, nestes quatro lançamentos, não apareceriam duas caras seguidas; João aceitou a aposta. a) Quem tem mais chance de ganhar a aposta? Justique. (,50 pontos) Um espaço amostral para quatro lançamentos de uma moeda é S = {CCCC, CCCK,..., KKKK}. Sabemos que n(s) = 6 e as sequências que tornam Pedro vencedor são KKKK, KKKC, KKCK, KCKK, CKKK, KCKC, CKCK, e CKKC. A probabilidade de ocorrer qualquer uma dessas sequências é de ; logo, a probabilidade de Pedro vencer é de 8 = 6 6. Consequentemente, a probabilidade de João vencer é de ; logo, a chance de ganhar é a mesma para ambos. b) Os eventos A: sair duas caras e duas coroas e B: sair cara no primeiro e último lançamentos são independentes? Justique. (,00 ponto) Os eventos de interesse são A = {CCKK, KKCC, CKCK, KCKC, CKKC, KCCK}, B = {CKKC, CCKC, CKCC, CCCC} e A B = {CKKC}. Logo, P (A) = 6 6, P (B) = 4 6 e P (A B) =. Como P (A B) P (A) P (B), concluímos que A e B não são eventos 6 independentes. c) Dado que o primeiro lançamento resultou em cara e o segundo lançamento resultou em coroa, qual a probabilidade de Pedro vencer? (,00 ponto) Foi dada a informação que uma das seguintes sequências ocorreu: CKCC, CKKK, CKCK ou CKKC. Dentre essas, a única sequência que torna Pedro vencedor é CKCC; logo a probabilidade de Pedro vencer é de 4.

4 Questão 3 a) Uma classe é formada por 0 homens e 30 mulheres. Deseja-se formar uma comissão de cinco pessoas para representar esta classe. Qual a probabilidade de que essa comissão tenha, no máximo, um homem? (,00 ponto) ( ) O número de maneiras de ( 50 escolher uma comissão qualquer é ) 5. As comissões ( que não têm 30 nenhum homem somam 5 e as que têm exatamente um homem somam 0 ) ( 30 ) 4. Logo, a probabilidade pedida vale (30 5 )+( 0 ) ( 30 4 ). ( 50 5 ) b) Escolhe-se ao acaso, um dos anagramas da palavra SETEMBRO. Qual a probabilidade de que o anagrama escolhido comece por S e termine por O? (,00 ponto) A palavra dada possui probabilidade pedida vale 6! 8! 8! anagramas. Destes, = 56. 6! começam por S e terminam por O. Logo, a

5 Questão 4 Um número entre e 00 ( e 00 inclusive) é escolhido aleatoriamente. Calcule a probabilidade de que ele seja divisível por 3 ou por 5. (,00 pontos) De a 00 existem 33 múltiplos de 3, 0 múltiplos de 5 e 6 múltiplos de 5. Logo, a probabilidade pedida vale =