Estatística Aplicada. Árvore de Decisão. Prof. Carlos Alberto Stechhahn PARTE II. Administração. p(a/b) = n(a B)/ n(b)

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1 Estatística Aplicada Administração p(a/b) = n(a B)/ n(b) PARTE II Árvore de Decisão Prof. Carlos Alberto Stechhahn 2014

2 1. Probabilidade Condicional - Aplicações Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento A, sabendose de antemão que ocorreu um certo evento B. Até o presente calculamos probabilidade em que o universo é o espaço amostral. Vamos supor uma empresa que compra diversos produtos (por exemplo, microcomputadores e conectores) para revenda e veremos como a PROBABILIDADE CONDICIONAL está presente em algumas atividades que nela ocorrem. Vamos supor que a empresa receba pelo correio uma caixa contendo 2 Microcomputadores e 3 Conectores, ou seja, 5 peças. M = microcomputador = micro C = conector 1) Quais são as chances (probabilidade) do operador tirar ao acaso um Micro? Resposta: 2 em 5, ou seja 2 Micros entre 5 peças. 2) Agora, supondo que um outro funcionário retirou um Conector desta caixa quais são as chances deste operador retirar um Micro?

3 Podemos observar que quando um funcionário retira um Conector, C, da caixa ele acaba alterando as chances (diminui o espaço amostral). 3) Vamos supor agora, que o funcionário retirou um Micro da caixa. Pergunta-se, quais são as chances deste operador retirar um Micro? Quando o funcionário retira um Micro, M, resulta numa condição para o operador de 1 Micro e 3 Conectores. Neste caso, teremos que as chances serão 1 em 4, ou seja, 1 Micro entre 4 peças. Podemos notar que as chances (probabilidades) se alteraram a cada retirada de peça. Este é um caso típico de EVENTOS DEPENDENTES, ou seja, a ocorrência de um evento pode afetar outros eventos.

4 4) Vamos supor agora, que o funcionário retirou um Conector da caixa e depois de usá-lo colocou novamente na caixa. Pergunta-se, quais são as chances deste operador retirar agorar um Micro? Podemos perceber que quando o funcionário retira um Conector, C, e, a seguir o devido uso, coloca de volta a peça na caixa, resulta numa situação que o evento da retirar pelo operador de 1 Micro não é afetado pelo evento anterior. Dessa forma, as chances permanecerão como sendo 2 em 5. Como se o operador fosse a primeira pessoa a retirar uma peça da caixa. Eventos como esse são chamados de EVENTOS INDEPENDENTES, ou seja, cada evento não é afetado por outros eventos. A retirada de uma peça (micro ou conector) e sua respectiva reposição NÃO AFETA A PROBABILIDADE da retirada da próxima peça. Em EVENTOS INDEPENDENTES a ocorrência de um evento não afeta a probabilidade de outros eventos.

5 2. Árvore de Probabilidade Podemos usar árvores de probabilidade para entender melhor o que acontece em cada um dos casos. O diagrama de árvore é uma boa maneira de entender o que está acontecendo. Inicialmente há uma chance de 2 em 5 de um funcionário retirar o Micro, M, e de 3 em 5 de um funcionário retirar um Conector, C. Vamos continuar analisando o que ocorre impondo que não há, neste caso, reposição de peças. Dessa forma, iremos estudar o que ocorre quando o operador retira uma 2ª. Peça da caixa. Observemos que se um funcionário retira um Micro primeiro haverá 1 em 4 a chance do operador retirar um Micro, M, e uma chance de 3 em 4 de retirar um Conector, C. No entanto, se um conector foi retirado primeiro, há uma chance de 2 em 4 para que um Micro seja retirado na 2ª. tentativa. E uma chance de 2 em 4 de retirar um segundo conector. 5) Vamos supor agora, que o operador irá precisa de 2 Micros. Sabendo-se que ele irá retirar as peças dessa nossa caixa já apresentada, quais são as chances do operador retirar aleatoriamente 2 Micros em sequência?

6 Resposta: Será uma chance de 2 em 5 seguida de 1 em 4. Em árvores de probabilidades nós MULTIPLICAMOS as probabilidade através dos ramos e SOMAMOS as probabilidades descendo nas colunas. Dessa forma, multiplicando-se as chances teremos: = 2 20 = 1 10 Logo, teremos 10% de chance para a retirada de dois Micros M em sequência. 3. Notação de Probabilidade P(A) significa PROBABILIDADE DO EVENTO A OCORRER. No nosso exemplo o evento A é RETIRAR 1 MICRO primeiro, com probabilidade de 2/5. Analogamente, P(B) significa PROBABILIDADE DO EVENTO B OCORRER. E o evento B é retirar um Micro na 2ª. tentativa. Mas para isso teríamos 2 escolhas: E1) Se a 1ª. peça que foi retirada foi um Micro teríamos 1/4 de chance de retirar um Micro na 2ª. tentativa. No entanto, E2) Se a 1ª. peça retirada foi um Conector, a chance de retirar um Micro na 2ª. tentativa seria de 2/4.

7 Então, para o nosso caso, devemos dizer qual o EVENTO que queremos para obtermos as chances do operador retirar 2 Micros em sequência. Já podemos portanto usar a notação de probabilidade em nossa árvore. P(B A) lê-se P B barra A. É a probabilidade do evento B dado o evento A. Em outras palavras, o evento A já ocorreu, qual a probabilidade do evento B? P(B A) é também chamado de probabilidade condicional de B dado A. Em nosso caso P(B A) = 1/4.

8 Probabilidade do evento A e evento B, P(A e B) = P(A B) (1) é igual a probabilidade do evento A vezes a probabilidade do evento B dado A. p(a B) = p(a,b) = p(a). p(a B) (2) Probabilidade do evento A e B é a probabilidade de se retirar um Micro na 1ª. tentativa e na 2ª. tentativa. Então, a probabilidade do operador retirar, em sequência, dois Micros é P(A e B) = P(A B) = = 1 10 E podemos escrever a expressão (2) do seguinte modo: P(A B) = P(A B) P(A) que é a fórmula da probabilidade condicional. Vamos estudar agora uma situação muito comum e de muita importância em nossa empresa. Supondo agora que temos 3 caixas e cada caixa contendo um número diferente de peças. Na 1ª. caixa temos 10 peças, sendo 4 delas defeituosas, D. Na 2ª. caixa temos 6 peças, sendo 1 delas defeituosa, D. Na 3ª. caixa temos 8 peças, das quais 3 delas defeituosas, D. Qual a probabilidade de ele retirar 1 peça defeituosa sendo que ele escolhe aleatoriamente entre as 3 caixas? Vamos primeiramente construir a ÁRVORE DE PROBABILIDADES. Chamemos de A1 o evento de ele escolher a caixa 1, de A2 o evento de ele escolher a caixa 2, de A3 o evento de ele escolher a caixa 3.

9 Sabemos das notações da Estatística que podemos, neste caso, escrever de uma maneira geral os eventos por Ai onde i = 1,2 ou 3. Vamos chamar ainda de B o evento de ele escolher uma peça defeituosa. Como as chances, do operário escolher uma caixa, são as mesmas, pois, elas são visualmente iguais, teremos 1/3 de chance de ele escolher uma das caixas. Analisemos inicialmente a caixa 1: A probabilidade de ele escolher 1 peça D (defeituosa) é 4/10. Dessa forma a probabilidade de B dado A1 é de 4/10 P(B A 1 ) = 4 10 Vamos ter, nessa sequência, que a probabilidade de B dado A2 é de 1/6 e a probabilidade de B dado A3 é de 3/8. Para descobrirmos a probabilidade de ele descobrir uma peça defeituosa temos que verificar quais são os casos (escolhas) em que ele pode retirar uma peça defeituosa. Esses casos sã P(A 1 ). P(B A 1 ) = 4 30 P(A 2 )P(B A 2 ) = 1 18 P(A 3 )P(B A 3 ) = 3 24

10 Em ÁRVORES DE PROBABILIDADE nós somamos as probabilidades. Então teremos que a PROBABILIDADE de um operário tirar uma peça defeituosa será: P(B) = P(A 1 )P(B A 1 ) + P(A 2 )P(B A 2 ) + P(A 3 )P(B A 3 ) ou seja, P(B) = = Com isto podemos verificar um importante teorema conhecido como TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL P(B) = P(A 1 )P(B A 1 ) + P(A 2 )P(B A 2 ) + + P(A i )P(B A i ) Considerando ainda a situação acima (3 caixas semelhantes com diferentes números de peças em cada uma) Qual a probabilidade ser da CAIXA 1 dado que ele escolheu 1 peça defeituosa? P(A 1 B) = probabilidade de ser 1 peça da CAIXA 1 dado que ele retirou 1 peça defeituosa. Mas a probabilidade de A1 dado B não aparece em nossa árvore de probabilidade. Como poderíamos calcular essa probabilidade usando o que aprendemos, bem como, nossa ÁRVORE DE PROBABILIDADE. Devemos, neste caso, reescrever a fórmula da nossa probabilidade condicional. P(A 1 B) = P(A 1, B) P(B) = P(A 1). P(B A 1 ) P(B)

11 Cada um dos fatores da equação acima pode ser encontrado na árvore de probabilidade. Ela nos informa que: P(A 1 ) = 1 3 P(B A 1 ) = 4 10 P(B) = Dessa forma, é possível calcular a probabilidade de uma peça ser da CAIXA 1 dado que ele escolheu 1 peça defeituosa: P(A 1 B) = P(A 1). P(B A 1 ) P(B) = = Esses cálculos acima efetuados para se inferior que a peça defeituosa foi retirada da CAIXA 1 pode ser generalizado. 4. TEOREMA DE BAYES É o procedimento geral para se inferior a probabilidade de um evento passado em função de evidências presentes ou futuras. TB: Se conhecermos a probabilidade de B dado A podemos calcular a probabilidade de A dado B usando a seguinte equação P(A B) = P(A). P(B A) P(B)

12 Ou seja, se soubermos a prob das evidências, dado um certo histórico, o Teorema de Bayes nos permite voltar no tempo e calcular a probabilidade do histórico dadas as evidências. APLICAÇÕES: (diferentes áreas do conhecimento) Técnicas de Aprendizado de Máquina (usada em diversos ramos da computação como o reconhecimento de imagens e roteamento de redes). Estatísticas Criminais: usadas nas investigações de crimes onde se pode inferir sobre o passado através de probabilidades sobre o que ocorreu no crime condicionado nas evidências.

13 CONCLUSÕES: A Probabilidade Condicional é útil não só para se inferir probabilidade de eventos no futuro mas também para inferir problemas no passado. Saber como condicionar é uma arte. Podemos quebrar problema aparentemente muito complicado em subproblemas simples e tratáveis sejam eles acadêmicos ou da vida real.