Bioestatística INFERÊNCIA ESTATÍSTICA. Silvia Shimakura

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1 Bioestatística INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Silvia Shimakura

2 AMOSTRAS E POPULAÇÕES Inferências sobre populações são geralmente feitas a partir de informações obtidas de amostras. amostras Válido se a amostra for representativa da população. Para assegurar que não há viés sistemático selecionamos aleatoriamente membros da população. Amostra aleatória independente: independente Todos os elementos da população têm iguais chances de serem selecionados. Todas as combinações possíveis de um dado número de elementos têm a mesma chance de serem selecionados.

3 Estimação Amostras são usadas para estimar quantidades desconhecidas da população. EXEMPLO: prevalência de uma doença, efeito de uma intervenção, diferença entre grupos É importante saber qual é a variação destas estimativas de amostra para amostra.

4 Estimação Teoria de probabilidades permite usar amostras para estimar quantidades de populações, e determinar a precisão destas estimativas.

5 Estimação de uma média O que acontece quando retiramos diversas amostras de uma população e estimamos a média da população usando as médias amostrais?

6 Distribuição das taxas de hemoglobina População: mulheres jovens e sadias Média=12 Desvio-padrão=1 Na prática a média e o desvio-padrão são desconhecidos!!! Censo inviável ou impossível. Conclusões são baseadas numa amostra.

7 Amostragem 1 Uma amostra de tamanho n=6 é selecionada da população de taxas de hemoglobina. Amostra 1 11,75 11,26 11,80 12,95 11,62 10,86 Média 1 11,71

8 Amostragem 2 Selecionando-se outras 6 mulheres...temos um resultado diferente... Amostra 1 11,75 11,26 11,80 12,95 11,62 10,86 Média 1 11,71 Amostra 2 11,43 12,60 10,86 10,93 12,24 13,76 Média 2 11,97 A média amostral varia de uma amostra para outra!

9 PERGUNTAS É possível estimar a média populacional e determinar a precisão da estimativa? Existe um comportamento sistemático das médias amostrais?

10 RESPOSTA Vamos tentar responder as perguntas com um exercício de simulação. Selecionamos 1000 amostras de 6 mulheres e calculamos as médias amostrais. Amostra Média 1 11,78 11,46 13,41 12,33 11,02 12,19 12, ,48 10,71 13,06 11,11 12,69 11,62 11, ,91 11,11 11,31 12,66 11,33 11,42 11, ,35 10,42 13,57 11,47 11,75 12,93 11, ,95 10,14 12,01 13,05 12,07 13,12 12, ,95 11,35 11,83 9,81 12,72 12,84 11, ,32 12,25 11,33 11,50 12,29 10,42 11, ,18 12,20 11,50 11,21 10,05 13,61 11, ,41 14,35 12,29 12,31 13,49 11,12 12, ,58 12,74 10,42 12,59 12,21 11,47 11,67 variam de acordo com alguma As médias amostrais X distribuição de probabilidade conhecida?

11 Distribuição população x média

12 Teorema Central do Limite

13 Teorema Central do Limite X 12 =Z N (0,1) 0, ,96 x 0, ,96 x 0,41

14 Consequência do TCL 95% das médias amostrais estão entre (12±1,96x0,41) 12+1,96 x 0,41)=0,95 P (12 1,96 x 0,41 X 1,96 0,41 12 X +1,96 0,41)=0,95 P(X 12-1,96 x 0, ,96 x 0,41 95% dos intervalos ±1,96x0,41) cobrem 12 (X

15 95% das médias amostrais estão entre (12±1,96x0,41) 12+1,96 0,41)=0,95 P(12 1,96 0,41 X 12 1,96 0,41)=0,95 P ( 1,96 0,41 X 1,96 0,41 12 X +1,96 0,41)=0,95 P ( X +1,96 0,41 12 X 1,96 0,41)=0,95 P(X 1,96 0,41 12 X +1,96 0,41)=0,95 P(X ±1,96x0,41) cobrem a média 95% dos intervalos ( X populacional 12

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17 Generalizando 95% das médias amostrais estão entre (μ±1,96 σ/ n) 1,96 / n =0,95 P 1,96 / n X 1,96 / n X 1,96 / n =0,95 P X 95% dos intervalos ±1,96 σ/ n) cobrem μ (X

18 Intervalo de confiança para μ Quando σ é conhecido usando TCL podemos construir um intervalo para estimar a média populacional μ IC de 95% para a média populacional μ 1,96 1,96 X,X n n

19 Exemplo Intervalo de confiança de 95% para taxa de hemoglobina média assumindo σ conhecido e igual a 1

20 t-student Na prática σ também não é conhecido!!! Então σ é estimado usando s X μ N (0,1) s/ n X μ t n 1 s/ n IC para a média populacional μ s s t n 1 t n 1 X,X n n

21 5 12 X t 5 s/ 6

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24 Exemplo Intervalo de confiança de 95% para a taxa de hemoglobina média estimando σ usando s

25 Intervalo de confiança para uma proporção Devido ao Teorema Central do Limite, para n grande e p não muito próximo de 0 ou 1, a distribuição da proporção amostral p^ será proximadamente normal com média p e um desvio-padrão p^ (1 p^ ) EP= n Este resultado pode ser usado para construir um intervalo de confiança para a verdadeira proporção p. O intervalo de confiança de aproximadamente 95% para p é p^ ±1,96 EP Uma regra geral é que este intervalo de confiança é válido quando tanto n p^ quanto n(1 p^ ) forem maiores do que 10.

26 Exemplo Um ensaio clínico foi realizado para determinar a preferência entre dois analgésicos, A e B, contra dor de cabeça. Cem pacientes que sofrem de dor de cabeça crônica receberam em dois tempos diferentes o analgésico A e o analgésico B. A ordem na qual os pacientes receberam os analgésicos foi determinada ao acaso. Os pacientes desconheciam esta ordem. Ao final do estudo foi perguntado a cada paciente qual analgésico lhe proporcionou maior alívio: o primeiro ou o segundo. Dos 100 pacientes, 45 preferiram A e 55 preferiram B. Baseado nestas informações podemos dizer que há prefência por algum dos analgésicos?

27 Exemplo Dizemos que não há preferência por um dos analgésicos quando a proporção dos que preferem A (pa), é igual a proporção dos que preferem B (pb). Como temos dois resultados possíveis, pa e pb são iguais quando pa=pb=0,5. Um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira proporção de pacientes que preferem o analgésico A é: (0,45±1,96 0,45 0,55/100)=(0,35 ; 0,55) Então com 95% de confiança, a verdadeira proporção de pacientes que preferem o analgésico A está entre 0,35 e 0,55. Observe que este intervalo contem o valor 0,5 então concluímos que não existem evidências amostrais de preferência por um dos analgésicos.

28 Dimensionamento de amostras Sabemos construir intervalos para alguns parâmetros populacionais (média e proporção) Em ambos os casos, fixamos o nível de confiança de acordo com a probabilidade de acerto que desejamos ter na estimação por intervalo. O nível de confiança pode ser aumentado até tão próximo de 100% quanto se queira, mas isso resultará em intervalos de amplitude cada vez maiores, o que significa perda de precisão na estimação. Seria desejável intervalos com alto nível de confiança e grande precisão. Isso porém requer uma amostra suficientemente grande, pois, para n fixo, a confiança e a precisão variam em sentidos opostos. Veremos a seguir como determinar o tamanho das amostras nos casos de estimação da média ou de uma proporção populacional.

29 Dimensionamento de amostras Vimos que o intervalo de confiança de 95% para a média μ da população quando σ é conhecido tem semi-amplitude (ou precisão) d dada pela expressão d=1,96 σ n O problema resolvido foi: Fixados o nível de confiança de 95% e n, determinar d. É evidente dessa expressão que podemos resolver outro problema: Fixados, d (ou seja, fixada a precisão) e o nível de confiança, determinar n.

30 1,96 σ n= d ( 2 ) Não conhecendo o desvio-padrão da população, deveriamos substituí-lo pelo desvio-padrão amostral s e usar t de Student ao invés de 1,96. Porém não tendo ainda sido retirada a amostra, não dispomos do valor de s. Se não conhecemos nem ao menos um limite superior para σ, a única solução será colher uma amostra-piloto de n0 elementos para, com base nela obtermos uma estimativa de s, empregando a seguir a expressão: t n 1 s n= d ( 0 2 )

31 Se n n0, a amostra-piloto já terá sido suficiente para a estimação. Caso contrário, deveremos retirar, ainda, da população os elementos necessários à complementação do tamanho mínimo de amostra. Procedemos de forma análoga se desejamos estimar uma proporção populacional com determinada confiança e dada precisão. No caso de população suposta infinita, da expressão p^ (1 p^ ) d=1,96 n podemos obter 1,96 n= d 2 ( ) p^ (1 p^ ) A determinação do tamanho de amostra depende de valores desconhecidos de p. Essa dificuldade pode ser resolvida através de uma amostra-piloto, ou analisando-se o comportamento do fator p(1-p).

32 Vê-se da figura que p(1-p) é a expressão de uma parábola cujo ponto de máximo é p=0,5.

33 Se substituirmos, p(1-p) por seu valor máximo, 1/4, seguramente o tamanho de amostra obtido será suficiente para a estimação de qualquer que seja p. Isso equivale a considerar 1,96 n= d 2 1 1,96 = 4 2d 2 ( ) ( ) Evidentemente, usando-se essa expressão corre-se o risco de se superdimensionar a amostra. Isso ocorrerá se p for na realidade próximo de 0 ou 1. Se o custo envolvido for elevado e proporcional ao tamanho de amostra, é mais prudente a tomada de uma amostrapiloto.

34 Exercícios Qual o tamanho de amostra necessário para se estimar a média de uma população infinita cujo desvio-padrão é igual a 4, com 95% de confiança e precisão de 0,5? Qual o tamanho de amostra suficiente para estimarmos a proporção de pessoas doentes que precisam de tratamento, com precisão de 0,02 e 95% de confiança, sabendo que essa proporção seguramente não é superior a 0,2?