Estatística Básica. Probabilidade. Renato Dourado Maia. Instituto de Ciências Agrárias. Universidade Federal de Minas Gerais

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1 Estatística Básica Probabilidade Renato Dourado Maia Instituto de Ciências Agrárias Universidade Federal de Minas Gerais

2 Probabilidade Condicional Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A, dado que B ocorreu, é representada por P(A B) e dada por: PA ( B) PA ( B) =, PB ( ) > 0 PB ( ) Interpretação? Diagrama de Venn... 2/20

3 Probabilidade Condicional A A B Espaço Amostral B Na probabilidade condicional, B faz o papel do espaço amostral! A A B PA ( B) PA ( B) =, PB ( ) > 0 PB ( ) B 3/20

4 Independência de Eventos Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade de ocorrência de A. PA ( B) PAB ( ) = = PA ( ), PB ( ) > 0 PB ( ) PA ( B) = PAPB ( ) ( ) Naturalmente, se A é independente de B, B é independente de A... 4/20

5 Exemplo da Aula Passada... Um levantamento estatístico, efetuado em certa população, estudou a hipertensão em 450 casais e observou que 148 indivíduos do sexo masculino e 122 do sexo feminino eram hipertensos. Observou-se também que em 47 casais ambos (homem e mulher) eram hipertensos. Qual é a probabilidade de que a mulher seja hipertensa, em um casal onde o homem é hipertenso? Evento A = Homem hipertenso Evento B = Mulher hipertensa O que devemos calcular? PB ( A) 5/20

6 Exemplo da Aula Passada... PA ( B) Mulher ( ) P A B Total Homem Sim Não Sim 0,10 0,23 0,33 Não 0,17 0,50 0,67 Total 0,27 0,73 1,00 PA= ( ) 0,33 PB ( ) = 0, 27 Probabilidades Marginais ( B) P A Probabilidades Marginais ( B) P A PA ( B) 0,10 PB ( A) = = = 0,30 PA ( ) 0,33 6/20

7 Exemplo 1 Uma empresa produz peças em duas máquinas, I e II, que podem apresentar desajustes com probabilidade 0,05 e 0,10, respectivamente. No início do dia de operação, um teste é realizado e, caso a máquina esteja fora de ajuste, ela ficará sem operar nesse dia, passando por revisão técnica. Para cumprir o nível mínimo de produção, pelo menos uma das máquinas deve operar. Você diria que a empresa corre o risco de não cumprir as suas metas de produção? 7/20

8 Exemplo 1 Considerações: 1) O é o evento da máquina i ( i = 1,2) estar operando. i 2) O é independente de O ) Vamos escrever O O para o evento O O PO ( ) = 0,95 epo ( ) = 0,90 Sabe-se que: 1 2 O1 e O2 são independentes? 8/20

9 Exemplo 1 Árvore de Probabilidades 0,90 O 2 P( OO 1 2) = 0,95 0,90 = 0,855 0,95 O 1 0,10 O 2 POO ( 1 2) = 0,95 0,10 = 0,095 0,05 0,90 O 2 P( OO 1 2) = 0,05 0,90 = 0,045 O 1 0,10 O 2 POO ( 1 2) = 0,05 0,10 = 0,005 9/20

10 Exemplo 1 Lembrando: para cumprir o nível mínimo de produção, pelo menos uma das máquinas deve operar. Evento OO 1 2 OO OO OO Qual é o evento de interesse? Probabilidade 0,855 0,095 0,045 0,005 OO OO OO P( OO OO OO ) = P( OO ) + P( OO ) + P( OO ) = 0, /20

11 Exemplo 1 P( OO OO OO ) = P( OO ) + P( OO ) + P( OO ) = 0, Quem não estiver dormindo pode estar com a seguinte dúvida: e as interseções? A C B PA ( B C) = PA ( ) + PB ( ) + PC ( ) PA ( B) PA ( C) PB ( C) + PA ( B C) Eventos Disjuntos PA ( B C) = PA ( ) + PB ( ) + PC ( ) 11/20

12 Partição do Espaço Amostral Os eventos C1, C2,..., Ck formam uma partição do espaço amostral se eles não têm interseção entre si (são disjuntos) e se sua união é igual ao espaço amostral, isto é: Ω C C =, para i j e C =Ω i j i = 1 i k C 1 C 3 Partição com 4 eventos C 2 C 4 12/20

13 Exemplo 2 Suponha que um fabricante de sorvete recebe 20% do leite que utiliza de uma fazenda F1, 30% de F2, e 50% de F3. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa, e observou que 20% do leite produzido por F1 estava adulterado por adição de água, enquanto que, para F2 e F3, essa proporção era de 5% e 2%, respectivamente. Na indústria de sorvete, os galões de leite são armazenados em um refrigerador, sem identificação das fazendas. Para um galão escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele conter leite adulterado? 13/20

14 Exemplo 2 Considerações: 1) A é o evento " o leite está adulterado". 2) PAF ( ) = 0,20. 3) PAF ( ) = 0, ) PAF ( ) = 0, ) F, F e F formam uma partição do espaço amostral E agora, quem poderá nos ajudar? 14/20

15 Exemplo 2 Ω F 1 F 3 A F 2 A= ( A F) P( A F ) P( A F ) Pensemos agora no seguinte problema: sabendo-se que o leite foi adulterado, qual é a probabilidade de que a amostra tenha sido obtida do leite fornecido pela fazenda F1? PF ( A) 1 = PA ( F1 ) PA ( ) 15/20

16 Exemplo 2 PA ( F1 ) PAF ( 1) = PA ( F1) = PAF ( 1) PF ( 1) PF ( 1) PA ( F2 ) PAF ( 2) = PA ( F2) = PAF ( 2) PF ( 2) PF ( 2) PA ( F3 ) PAF ( 3) = PA ( F3) = PAF ( 3) PF ( 3) PF ( 3) A= ( A F) P( A F ) P( A F ) PF ( A) 1 PA ( F1) PAF ( 1) PF ( 1) = = PA ( ) PAF ( ) PF ( ) + PAF ( ) PF ( ) + PAF ( ) PF ( ) /20

17 Pergunta... O resultado que encontramos para o exemplo 2 pode ser generalizado? 17/20

18 Teorema de Bayes Suponha que eventos C1, C2,..., Ck formem uma partição do espaço amostral, e que suas probabilidades sejam conhecidas. Suponha, ainda, que, para um evento A, sejam conhecidas as probabilidades P(A Ci), para todo i = 1, 2,..., k. Então, para qualquer j, PA ( Cj) PC ( j) PC ( j A) =, j= 1, 2,, k k PA ( Ci) PC ( i) i= 1 18/20

19 Bayes: o cara Na página da disciplina, na seção Materiais Complementares, está disponível um artigo intitulado Bayes: o cara, publicado na revista Ciência Hoje (vol. 38, núm. 228, julho de 2006). O texto é curto, simples e introdutório, e a sua leitura é muito recomendada! 19/20

20 Por hoje é só! Diga tchau, Lilica! TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS SUGERIDOS!!! 20/20