UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Probabilidade Departamento de Estatística UFPB Luiz Medeiros

2 Introdução Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos Determinísticos: Os resultados são sempre os mesmos e determinados pelas condições sob as quais o procedimento seja executado. Exemplo: Lançamento de um corpo, velocidade média, leis da física Não-Determinístico (Probabilístico ou Aleatório) : Aplicados em situações que envolvem incerteza. Resultados variam de uma observação para outra, mesmo em condições normais de experimentação. As condições do experimento determinam apenas o comportamento probabilístico do resultado observável. Exemplo: Lançamento de um dado, índices econômicos, tempo de vida de um paciente,

3 Introdução A teoria das probabilidades é o fundamento para a inferência estatística. O objetivo desta parte é que o aluno compreenda os conceitos mais importantes da probabilidade. O conceito de probabilidade faz parte do dia-a-dia dos profissionais de todas as áreas, uma vez que seu conceito é frequentemente utilizado. Por exemplo, podemos dizer que um aluno tem uma chance de 70% de ser aprovado em uma determinada disciplina. Um engenheiro de produção afirma que uma nova máquina reduz em 20% o tempo de produção de um bem.

4 Definição importante Experimentos Aleatórios: São aqueles onde o processo de experimentação está sujeito a influências de fatores casuais que conduzem a resultados incertos. Exemplo: Lançar um dado, lançar uma moeda, retirar uma carta do baralho, preço do dólar ao fina do dia.

5 Características de um experimento aleatório : Pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições. Podemos descrever todos os possíveis resultados.

6 Definição importante Espaço Amostral (U): É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Exemplo: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(u): É o número de combinações do espaço amostral. Exemplo: n(u) = 6 combinações

7 Definição importante Evento (E): Dado um espaço amostral U, associado a um experimento aleatótio qualquer, definimos como evento qualquer subconjunto desse espaço amostral. Exemplo: E = {sair nº PAR} = {2, 4, 6} n(e): É o número de elementos do evento. Exemplo: n(e) = 3 elementos

8 Noção frequentista de probabilidade Realize um experimento um grande número de vezes e conte o número de vezes que o evento A ocorre. Baseado nesses resultados efetivos, P(A) é definido como: P ( A ) = número de vezes que o evento A ocorreu número de vezes em que o experiment o foi repetido A medida que um experimento é repetido várias vezes, a probabilidade dada pela frequência relativa de um evento tende a se aproximar da verdadeira probabilidade.

9 Probabilidade Definição: é uma medida com a qual podemos esperar a chance de ocorrência de um determinado evento. As probabilidades podem ser usadas como medidas do grau de incerteza associado a determinado evento. A probabilidade próxima de zero indica um evento improvável de ocorrer. Uma probabilidade próximo de um indica um evento quase certo.

10 Probabilidade Clássica P(A) número de maneiras que o evento A pode ocorrer número total de resultados no espaço amostral

11 Definição de probabilidade 1) 0 P(A i ) 1, para todo i; 2) P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ) = P(U) = 1; 3) Se A 1 e A 2 forem mutuamente exclusivos, ou seja, disjuntos (A 1 A 2 = ), então P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ).

12 Diagrama de Árvore

13 Diagrama de Venn

14 Operações que podem ser feitas via Diagrama de Venn A B é o evento que ocorrerá se e somente se A ou B ou ambos ocorrerem.

15 Operações que podem ser feitas via Diagrama de Venn A B é o evento que ocorrerá se e somente se A e B ocorrerem simultaneamente.

16 Exemplo 1 Em uma prefeitura 10% dos profissionais possuem curso de inglês, 40% possuem curso de informática e apenas 5% possuem os dois cursos. Qual a probabilidade de um funcionário não possuir nenhum dos dois cursos?

17 Eventos mutuamente exclusivos Dois eventos, A e B, serão mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer na mesma tentativa, isto é, a ocorrência do evento A impede a ocorrência de B. Na teoria dos conjuntos representamos que dois eventos são mutuamente exclusivos por A B =. Exemplo: A = {sair PAR} = {2, 4, 6} B = {sair IMPAR} = {1, 3, 5} A B Exclusão mútua

18 Eventos não mutuamente exclusivos Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa, eles não são mutuamente exclusivos, ou seja, A B. Exemplo: A = {sair PAR} = {2, 4, 6} B = {sair nº maior que 4} = {5, 6} A B Sem exclusão mútua A B

19 Eventos complementares O complemento do evento A é o evento A. A consiste em todos os resultados do espaço amostral que não estejam incluídos no evento A. P ( A ) = 1 P ( A ) Um gerente de vendas, após rever alguns relatórios, declara que 80% dos novos contatos com clientes não resultaram em vendas. Qual a probbilidade de que um contato com o cliente resulte em venda?

20 Operações que podem ser feitas via Diagrama de Venn A ocorrerá se e somente se não ocorrer A. A A

21 A Regra da Adição Dado dois eventos A e B, utilizaremos a regra da adição quando desejarmos determinar a probabilidade de ocorrência do evento A OU do evento B. Simbolicamente, podemos representar por P(A B). Assim, a probabilidade é dada por: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) A B A B

22 Tabela de contingência Revela a existência de eventos combinados, e facilita o tratamento probabilístico de tais eventos. É uma tabela que disponibiliza informações diretamente nas linhas e colunas, e que além dessas informações é possível visualizar também o número de casos comuns às interseções de eventos.

23 Tabela de contingência Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles eram a favor da pena de morte. Os resultados estão a seguir. João Pessoa Curitiba Belém Total Sim Não Não sabe Total Determine a probabilidade de sortear um adulto de Belém ou que tenha respondido SIM P(Belém SIM)

24 Exemplo 2 Perguntou-se a uma amostra de adultos com nível superior completo, em três capitais, se eles atuavam na área. Os resultados estão a seguir. João Pessoa Recife Natal Total Sim Não Total Um adulto é selecionada ao acaso. Determine: 1. P(Natal U Sim) 2. P(Recife Não) 3. P(João Pessoa) 4. Qual a probabilidade do adulto não ser de Recife

25 Probabilidade condicional Frequentemente, a probabilidade de um evento é influenciada pela ocorrência de um evento paralelo. Definição: A probabilidade de um evento A ocorrer, dado (ou na condição de) que outro evento B já ocorreu. P( A B) P( A B) =, para P( B) > P( B) 0

26 Exemplo 4 Perguntou-se a uma amostra de adultos com nível superior completo, em três capitais, se eles atuavam na área. Os resultados estão a seguir. João Pessoa Recife Natal Total Sim Não Total Um adulto é selecionada ao acaso. Determine: 1. P(Natal Sim) 2. P(Não Recife) 3. P(João Pessoa Atua na área) 4. Qual a probabilidade do adulto ter respondido não, sabendo que ele não é de natal

27 Exemplo 5 Estudos realizados pela SDS da Paraíba, em relação a situação do status de promoção de oficiais masculinos e femininos, são apresentados na tabela abaixo (dados fictícios): Depois de rever o registro de promoções, um comitê feminino de oficiais levantou um caso de discriminação com base em que 288 oficiais masculinos receberam promoções mas somente 36 oficiais femininas foram promovidas. A administração da polícia argumentou que o número relativamente baixo de promoções para as oficias femininas foi devido não à discriminação, mas ao fato de que há relativamente poucas oficias mulheres na força policial. E agora, como as mulheres podem analisar os dados para defender o seu questionamento da acusação de discriminação?

28 Teorema do produto A partir da definição de probabilidade condicional, podemos enunciar o teorema do produto. Assim: P ( A B) = P( B) P( A / B) P ( A B) = P( A) P( B / A)

29 Exemplo 6 Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, 2 são retiradas uma após a a outra sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?

30 Independência Um evento A é considerado independente de um outro evento B se a probabilidade de A é igual a probabilidade condicional de A dado B P ( A) = P( A / B ) É evidente que, se A é independente de B, B é independente de A. P ( B) = P( B / A) Considerando o teorema do produto, poderemos afirmar que se A e B são independentes, então: P ( A B) = P( A) P( B )

31 Exemplo 7 Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, 2 são retiradas uma após a a outra com reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?