Revisão de Probabilidade

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1 Revisão de Probabilidade Magnos Martinello Universidade Federal do Espírito Santo - UFES Departamento de Informática DI Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia LPRM

2 Motivação Em qualquer modelo realístico representando um fenômeno do mundo real deve ser levado em conta a possibilidade da aleatoriedade. Frequentemete, as quantidades que estamos interessados podem exibir variações que precisam ser integradas ao modelo. Isso é geralmente feito se modelo for projetado como probabilístico na sua natureza.

3 Objetivos 1. Definições: Experimento Espaço Amostral Evento Probabilidade 2. Operação entre Eventos e suas Probabilidades 3. Introdução a Variáveis Aleatórias

4 Frequência Relativa X Probabilidade Total de caras/ Número de Jogadas Número de jogadas

5 Definições Importantes 1. Experimento Aleatório Experimento que pode ter resultados diferentes, mesmo que seja repetido da mesma maneira. Exemplo de experimento: jogar um dado, jogar uma moeda 2. Espaço Amostral (S) Coleção de todos os resultados possíveis de um experimento 3. Evento É um subconjunto do espaço amostral.

6 Exemplos de Experimento e Espaço Amostral Experimento Espaço amostral sobe, desce Observar se o preço de uma ação sobe ou desce de SS, SD, DS, DD hoje para amanhã O mesmo do item anterior porém durante 2 dias.

7 Diagrama de Venn Visualização do Espaço Amostral Experimento: observar o preço de uma ação dois dias seguidos anotando se subiu ou desceu ao final de cada dia. Evento: Resultado S = {SS, SD, DS, DD} SS DD SD DS S Espaço Amostral o preço desceu no segundo dia

8 Operação entre Eventos 1. Interseção entre A e B Resultado em A e em B operador lógico E Símbolo (A B) A : subiu no primeiro dia B: subiu no segundo dia 2. União entre A e B Resultado ou em A ou em B ou em ambos Operador lógico ou Símbolo (A B) A B

9 Eventos Mutuamente Exclusivos Nunca ocorrem simultaneamente Espaço amostral desceu no primerio dia subiu no primeiro dia S no primeiro dia e descer no primeiro dia são mutuamente exclusivo

10 O que é probabilidade? 1. Medida Numérica da possibilidade de ocorrência do evento P(evento), P(A), Prob(A) 4. Está entre 0 e 1 6. A soma da probabilidade de todos os eventos elementares é 1

11 Método Clássico (Dedutivo) Conhecimento anterior (a priori) do processo. Exemplo: P(i) = 1/6 ; i = 1,2,...,6 Deduzido a partir da estrutura do problema

12 Método Empírico-Indutivo 1. Dados reais coletados 2. Depois do experimento (a posteriori) 3. P(Evento) = X / n Repetir o Experimento Exemplo: Observa-se que uma ação subiu de preço 55% dos dias de pregão do ano passado. n vezes Evento Observado X Vezes A probabilidade do preço da ação subir de hoje para amanhã é de 55%?

13 Probabilidade Conjunta de Eventos Medida numérica da possibilidade de ocorrência conjunta de A e B: P(A B). Métodos Regra da adição P (A B) = P(A) + P(B) - P ( A B )

14 Probabilidade de Eventos Usando Tabelas de Contingência Evento Evento B 1 B 2 Total A 1 P(A1 B1) P(A 1 B2) P(A1 ) A 2 P(A2 B1) P(A2 B2) P(A2 ) Total P(B1) P(B2 ) 1 Probabilidade Conjunta Probabilidade Marginal

15 Exemplo: Método da frequência relativa Experimento: Observar os preços de duas ações X e Y durante 100 dias e verificar a cada dia se subiram ou desceram. ação X Subiu ação Y subiu desceutotal 10/100 15/100 25/100 desceu 70/100 5/100 75/100 P(X subiu) Total 80/100 20/100100/100 P(Y subiu) P(X desceu e Y subiu)

16 Probabilidade Condicional 1. Probabilidade de um evento ocorrer dado que outro já tenha ocorrido 2. Como muda a expectativa de que A ocorra agora que sei que B ocorreu? Se ela não muda, então eles são independentes. 2. P(A B) = P(A B), P(B) dado que X subiu, qual a prob. de Y subir? Y subiu X subiu S O fato de X subir restringe o espaço amostral X subiu (S) Evento (X e Y subiram)

17 Independência 1. A ocorrência de um evento não afeta a probabilidade de outro evento ocorrer ex: Jogar uma moeda duas vezes 2. Se A e B são Independentes P(A B) = P(A) P(A B) = P(A)*P(B) Caso contrário se A e B não são independentes P(A B) > P(A) P(A B) = P(A B)*P(B) 3. Atenção: eventos mutuamente exclusivos P(A B) = 0

18 Exemplo A probabilidade de duas ações x e y subirem ao mesmo tempo é de 55%. Sabe-se que a probabilidade de x subir é de 60%. Observou-se que a x efetivamente subiu. Qual a probabilidade y subir também? Eventos: A: a ação x subiu B: a ação y subiu

19 Exemplo A probabilidade de uma ação subir dois dias seguidos é de 25%. Sabe-se que a probabilidade dela subir em qualquer dia é de 50%. Verifique se o fato da ação subir em um dia influencia ela subir no dia seguinte. Eventos: A: subiu no primeiro dia B: subiu no segundo dia Os eventos A e B são independentes?

20 Regra de Bayes A regra de Bayes é a base da chamada estatística bayesiana. P A B a probabilidade a Prof posteriori. Magnos Martinello P(A/B). UFES P A/ B = P B / A P A P B Lê-se Quando A ocorre, B tem a probabilidade P(B/A) de ocorrer. A tem a probabilidade a priori P(A) de ter ocorrido. Sabendo que B ocorreu, então a regra de Bayes forne

21 Exemplo Numa instituição de concessão de crédito, sabe-se pela experiência que um cliente qualquer, sobre o qual nada se conhece, tem 80% de probabilidade de ser honesto. Mesmo um cliente honesto tem 10% de probabilidade de não pagar uma prestação. O cliente desonesto, por outro lado, tem o dobro de chance de não pagar. Um novo cliente não pagou no primeiro mês. Ele deve ser considerado como desonesto?

22 Solução A1: O cliente é honesto, P(A1)=0.8 A2: O cliente é desonesto, P(A2)=0.2 B: O cliente não paga, P(B/A1)=0.1 e P(B/A2)=0.2 P(B)= P(B/A1)P(A1)+P(B/A2)P(A2) = 0.1 x x 0.2 = 0.12 P(A1/B) = P(A1) P(B/A1)/P(B) = 0.8 X0.1/P(B) = 0.08/P(B)=2/3 P(A2/B)= P(A2) P(B/A2)/P(B) = 0.2 X0.2/P(B) = 0.04/P(B)=1/3 < P(A1/B) Conclusão: O cliente provavelmente é honesto.

23 Uso seqüencial da regra de Bayes Uma das principais utilizações da regra de Bayes é seu uso seqüencial O objetivo é recalcular as probabilidades à medida em que chegam novas informações sobre a ocorrência de eventos Probabilida de a priori de A Regra de Bayes B ocorre ou B não ocorre Probabilida de a posteriori Probabilidade a posteriori é agora a nova probabilidade a priori

24 Exemplo No problema anterior, se o cliente não pagar um segundo mês, qual a probabilidade dele ser honesto? Durante quantos meses continuaremos a acreditar que o cliente é honesto mesmo ele não pagando?

25 Solução: o segundo mês A1: O cliente é honesto, P(A1)=2/3 A2: O cliente é desonesto, P(A2)=1/3 B: O cliente não paga, P(B/A1)=0.1 e P(B/A2)=0.2 P(B)= P(B/A1)P(A1)+P(B/A2)P(A2) = 0.1 x 2/ x 1/3 = > 0.12 as probabilidades a posteriori do exercício anterior serão as probabilidades a priori as verossimilhanças agora permanecemm as mesmas a probabilidade de não pagar aumentou P(A1/B) = P(A1) P(B/A1)/P(B) = 2/3 X0.1/P(B) = 0.2/3P(B)= P(A2/B)= P(A2) P(B/A2)/P(B) = 0.2 X 1/3/P(B) = 0.2/3P(B) = P(A1/B) Conclusão: o cliente tanto pode ser honesto como não.

26 Solução: o terceiro mês A1: O cliente é honesto, P(A1)=0.5 A2: O cliente é desonesto, P(A2)=0.5 B: O cliente não paga, P(B/A1)=0.1 e P(B/A2)=0.2 P(B)= P(B/A1)P(A1)+P(B/A2)P(A2) = 0.1 x x 0.5 = 0.15 > P(A1/B) = P(A1) P(B/A1)/P(B) = 0.5 X0.1/P(B) =0.05/P(B)=1/3 P(A2/B)= P(A2) P(B/A2)/P(B) = 0.5 X 0.2/P(B) =0.10/P(B=2/3)>P(A1/B) Conclusão: este cliente... não sei não.