Matemática E Intensivo V. 2

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1 Matemática E Intensivo V. Exercícios 0) a) b) c) a) 8 = =!! C = = ( 8 )!!!! b) = =!! C = = ( 0 )!! 8!! n 0 n n c) Cn 0 = =!! = = ( n 0)! 0! n! 0) 0x O terceiro termo é dado por: T r + = n p xn p. a p T = T + = (x ). T = 0.. (x ) T = 0x 0) 0y Como temos n + termos, isto é, + = 7 termos. Temos que o termo médio é. = T + = (y) (y ) = (y). y = y. y = 0y 0) C 0) B Soma é dada para x = y =. S = (. + ) S = () S = x = y = ( + ) n = 0 n = 0 n = 0 Segue, A 0! = ( 0 ) =! 8 =! = =!! 8! 0) C T p + = p x p. x T p + = p x p. x p p T p + = p x p Para termos o termo independente devermos ter x p =, isto é, p = 0 p =. Segue o termo independente, que é dado por: = = =! C ( )!! 07) B = 0 9 =! 9 =!!! 9! =.. 0 = 0 T p + = p. x p. p x T p + = p. x p Para termos o termo independente devermos ter x p =, isto é, p = 0 p =. o termo independente é T p + = T + = T, ou seja, o terceiro termo. 08) D = T + = 8 (x)8. ( ) = 8 x = 8.. x =.. x Terceiro termo: T = T + = 8 (x)8. ( ) T = 8 (x) T = 8.. x Matemática E

2 Logo, o quociente é dado por: T x = = = T 8 x x x 09) 0. Correta. Pois o número de termos é dado por n +, ou seja, se n for par teremos um número ímpar de termos. 0. Correta. Soma dos coeficientes: n + = n = n = 8 n = 8 Segue: n = 8! =! = 0. Correta. Número de termos: n +. n + = n = n = Daí, o binômio é dado por x + x Logo, a soma dos coeficientes é: S = + = = 08. Incorreta. Como n =, temos termos. Então o termo médio é o terceiro termo. T = T + = (x ). x T = (x ). x T =. x. x T = x. Correta. (Considere x n para resolução do exercício.) T. T n = (x ) n. n x T. T n = x n. x n T. T n = x n 0) Verdadeira. T p + = 00 p. (x)00 p. x T p + = 00 p. (x)00 p. x p p T p + = 00 p. x00 p Para obtermos o termo independente devemos ter x 00 p =, isto é, 00 p = 0 p = 0. o termo independente é da ordem 0 + =. ) E Terceiro termo: T = T + = 0 (x)0. T = 0 (x)8. T =. 8. x 8. T =.. x 8 ) D Quinto termo: T = + = 0 (x)0. T = 0 (x). T = 0. x. T = 0.. x Logo, a razão entre os coeficientes é dada por: T 8 = = = = = T T p + = p ( x ) p. p T p + = p p ( ). (x ) p. p T p + = p p. p ( p). x T p + = p p + p. x ( p) Queremos x = x ( p), logo: = ( p) = p p = Portanto o coeficiente de x é: = = = 0. 7 = 0. = 0.. Matemática E

3 ) A = 0. 8 = 80 T p + = 7 p x7 p. a p x T p + = 7 p x7p. x p. a p T p + = 7 p x7 p. a p Como queremos o termo x, então: 7 p = 7 = p p = p = Daí: T = 7 a. x T = a x Como o coeficiente é 8, temos: a = 8 a = 8 a = a = (pois a > 0) a = ) C T 7 = T + = 0 ( x ) 0 x T 7 = 0. x. T 7 = 0. x. x T 7 = 0. x ) 9 x T p + = n p. xn p. x T p + = n p. xn p. x p T p + = n p. xn p p ) B Para que o desenvolvimento possua termo independente devemos ter: n p= p= n 0 n < 00 Então n é múltiplo de. o maior múltiplo de menor que 00 é 9. Casos possíveis: = 0 Caso favorável: 0 Probabilidade: P = 0 0 = = % 7) A Probabilidade do jogador de basquete: 0 = 0% Probabilidade do jogador de vôlei: = % Probabilidade do jogador de futebol: 9 = 0,9% a ordem de probabilidade de ser pego é: basquete, futebol, voleibol. 8) a) b) a) Cristiano lança o dado e, sem perda de generalidade, suponha que obteve o número. Para haver empate Ronaldo deve obter o número. a probabilidade de haver empate é a mesma que a probabilidade de se obter o número. Assim, P =. b) Possibilidades: (, );(, );(, );(, );(, );(, ) (, );(, );(, );(, );(, );(, ) (, );(, );(, );(, );(, );(, ) Possibilidades de Cristiano ser (, );(, );(, );(, );(, );(, ) vencedor (, );(, );(, );(, );(, );(, ) (, );(, );(, );(, );(, );(, ) Casos favoráveis: Casos possíveis: Probabilidade: P = = Matemática E

4 9) A Caso possível: 0 Caso favorável: Probabilidade: P = 0 = 0 0) E Casos possíveis: 0 bolas Casos favoráveis: 8 bolas 0 7,,,,,,, Probabilidade: P = 8 0 = ) C 0% aplicam em caderneta de poupança: 0. 0% aplicam em fundos de investimentos: 90. % aplicam em ambos:. 00 CP 0 NI 0 ) A Casos favoráveis: 8 Casos possíveis: 80 Probabilidade: 8 7 P = = = ) B Sejam a, a,, a os raios da circunferência de menor raio para maior raio, respectivamente. Temos a sequência: PG (a, a, a, a, a ) PG (a, a, a, 8a, a ) raio da circunferência maior Como o diâmetro da mesa é m e 0 cm = 0 cm, então o raio da circunferência maior é 0 cm. Daí: a = 0 a = 0 a = 0 cm Logo: Sejam C, C,,C circunferências e P, P e P regiões pintadas. CP: Caderneta de poupança NI: Fundos de investimentos Probabilidade: 0 00 = 0, P C C ) D Chance de o jogador A ganhar: Probabilidade de se obter os números, 7 e 8: Dado Dado 0 80 P PC C C a probabilidade de o jogador A ganhar é: P = = = = 0,% Logo, a probabilidade de o jogador B ganhar é: P = = = 0,7% Daí, concluímos que o jogador B tem mais chances de ganhar do que o jogador A e, portanto, o jogo é injusto. Área: A P = A C = 0 π = 00π cm Matemática E

5 A P = A C A C = (0) π (0) π = 00π 00π A P = 00π cm A P = A C A C = (0) π (80) π = 9 00π cm Soma das áreas pintadas: Total da porcentagem que possui um dos três defeitos é 0% + % + % + 8% = %. a porcentagem que não possui algum dos três defeitos acima é 00% % = %. lll. Correta. P = 00% P(C S) = 00% 7% = 7%. A P = A P + A P + A P = 00π + 00π π A P = 0 00π cm ) A Probabilidade: P = A P 0 00 π = = 0,8 = 80% AC 00 π Sejam: C: defeitos nas costuras; S: solas descoladas; D: falta um dos cadarços. l. Incorreta. P(C S) = P(C) + P(S) P(C S) Sem perda de generalidade, suponha que existam 00 produtos defeituosos. Vamos calcular P(C). Casos possíveis: 00 Casos favoráveis: Probabilidade: P = 00 = Vamos calcular P(S): P = 7 00 Vamos calcular P(C S): P = 00 Portanto: P(C S) = P(C S) = = = 7% ) D 7) B Casos favoráveis: 9 Casos possíveis: 77 Probabilidade: P = 9 77 o sorteio Casos favoráveis: Casos possíveis: 0 Probabilidade: P = 0 o sorteio Casos favoráveis: Casos possíveis: 9 Probabilidade: P = 9 a probabilidade de se sortear estudantes que pretendem fazer intercâmbio no Chile é: P= P P = = = ll. Correta. sola descolada 0% % % problema na costura 8% falta um cadarço Matemática E

6 8) A Ordem de retirada Probabilidade a carta a carta a carta a carta a carta a carta 7 a carta 8 a carta 9 a carta ímpar par ímpar par ímpar par ímpar par ímpar ) D a probabilidade de ficarem alternadas em pares e ímpares é dada por: P = P = 9 7 P = I. º lançamento º lançamento Probabilidade: P = = = %. II. C, º lançamento º lançamento º lançamento º lançamento Probabilidade: P= C = = =, % III. De forma análoga aos itens anteriores concluímos: P= C8, P= C8 = 7, = = = 0, 87 =, 8 % 8 8 os itens I e II são igualmente prováveis. 0) E A A total X % % 0 % X % 88 % 90 % total 8 % 9 % 00 % A: Presença de um gene A A : Ausência de um gene A X: Sofre da doença X X : Não sofre da doença X Logo, a probabilidade de que uma pessoa dessa população seja portadora do gene A, dado que sofre da doença X, é de: = 0 %. 0 Matemática E

7 ) C Probabilidade de uma bola vermelha na primeira urna: P = Probabilidade de uma bola vermelha na segunda urna: P = Soma das probabilidades: + = 9 0 a probabilidade de sair uma bola vermelha escolhendo uma urna ao acaso é: 9 0 = 9 0 ) 0 0. Incorreta. Casos possíveis: p p p Pelo PFC:.. = possibilidades Casos favoráveis: p p p Pelo PFC:. = Probabilidade: P = = 0, = 0 % 0. Correta. 8, P =! 0 9 8! = 8!! 8!, =.. 9 = 9 caminhos. P 8 0. Incorreta. Números divisíveis por 7: a = 7 a n = 9 r = 7 a n = a + (n )r 9 = 7 + ( n ) 7 9 = 7 + 7n 7 9 = 7n n = 9 7 n= 7 7 Probabilidade: P = 0 ) E ) E 08. Incorreta. Números pares: p p p não pode o 0 (0,, ) Pelo PFC:.. = 7 possibilidades. alternativa incorreta. Livros não lidos são 9. o livro o livro o livro Probabilidade de não ter lido nenhum dos três livros é: 9 8 P = = 0 P = = = Sem perda de generalidade, suponha que a área da terra seja 000 m. Deserto ou regiões cobertas por gelo Pastagens, florestas ou montanhas Área cultivável terra (0 % em m ) água (70 %) total I. Incorreta. Probabilidade: P = II. Correta. Probabilidade: P = = 8 % = 0 = 0 % Matemática E 7

8 ) 7 III. Correta = 0,7 IV. Correta. Probabilidade: P = 0 = = % o dia o dia Casos favoráveis: Casos favoráveis: Casos possíveis: 7 Casos possíveis: Probabilidade: Probabilidade: P = 7 P = a probabilidade de que o valor total gasto pelo cliente nesses dois dias é: P = P. P = = = ) E 7) B menina a criança a criança ( menino) a criança ( menino) a criança ( menino) a probabilidade de nascer em meninos é: P =.. = 8 8) Casos possíveis: P =! Casos favoráveis:!. P. P. P Probabilidade: P =! P P P P P =!!!! 0 P = P = 9) a) ; b). a) O total de números múltiplos de ou de no intervalo de a 90 é: = 8 + = 0. Logo, a probabilidade pedida é: 0 90 =. b) Considere que as 90 bolas são retiradas da urna sem reposição. Os eventos "o número da e-ésima bola retirada não é múltiplo de " e i 90 são equiprováveis. observando novamente que 90 =, a probabilidade pedida é igual à probabilidade de o número da primeira bola retirada não ser múltiplo de, ou seja, 90 =. 0) C coroa cara cara cara ) D Como a moeda com o lado coroa pode estar em posições diferentes, então: P = =. ser doente não doente Probabilidade de ser devorada: 0,0 + 0, = 0, =, % ) doente e ser devorada. = 00 = 0,0 não doente e ser devorada. 0 = 0, Sangue RH + RH Tipo O 80 0 Outros Correta. P = 00 = 0, = 0 % 00 8 Matemática E

9 ) A ) A 0. Correta P = Correta P = = Correta. P = = 0 = 0,8 = 80 % 00 0 = 0, = 0 % 00 0 = 0, = 0 % 00 A probabilidade da lâmpada L (e L ) estar apagada é a probabilidade da chave C estar aberta: P = 0 % Probabilidade da lâmpada L estar acesa e a lâmpada L estar apagada: P = 0,. 0, = 0, = % Probabilidade C fechada Probabilidade C aberta a probabilidade de pelo menos uma lâmpada estar aberta é dada por: P = 0 % + % = 7 %. Cada possibilidade de deslocamento do menino após 9 lançamentos da moeda pode ser interpretada como uma sequência de 9 elementos (L m para leste e 0 m para oeste). Por exemplo, a sequência LLLLLLLLO significa que ele deu oito passos para leste e um passo para oeste, estando, portanto, a uma distância de sete metros do ponto de partida. Pelo princípio fundamental da contagem, existem 9 sequências possíveis. Dessas sequências, estamos interessados nas que aparecem sete vezes a letra L e duas vezes a letra O, pois somente nesses dois casos o menino estará a m de distância do ponto de origem. Assim, temos: P = P 7, 9 9 P = 9! 7!! 9 9 P = 8 7! 7! 9 P = 9 ) 9 P( ) = a ( ) + ( ) 7( ) + = a = a + = a = a = 0 Logo, P(x) = 0x + x 7x +. Assim, temos: P() = P() = P() = 9 ) a + b + c = + ( ) + = ERRATA: Para a resolução do exercício, considere o polinômio P(x) = ax + bx + cx. P(x) = ax + bx + cx P(x + ) = a(x + ) + b(x + ) + c(x + ) P(x + ) = a(x + x + x + ) + b(x + x + ) + c(x + ) = ax + ax + ax + a + bx + bx + b + cx + c = ax + (a + b)x + (a + b + c)x + (a + b+ c) Segue, P(x + ) p(x) = = ax + (a + b)x + (a + b + c)x + (a + b+ c) ax bx cx = (a + b b)x + (a + b + c c)x + (a + b + c) = x = ax + (a + b)x + (a + b + c) = x Da igualdade de polinômios, temos: a= () i a+ b= 0 () ii a+ b+ c = 0 ( iii) De (i), temos: a = a = De (ii), temos: a = a + b = 0. + b = 0 + b = 0 b = b = b = Finalmente, de (iii) temos: a = e b = a + b + c = 0 + ( ) + c = 0 + c = 0 c = a + b + c = + ( ) + = =. Matemática E 9

10 7) C x + a = x x + + b x x + ( x ) ( x+ ) = a x + + b x x + a x b x x x+ = ( ) + ( + ) ( ) ( ) ( x ) ( x+ ) x + = a (x ) + b (x + ) x + = ax a + bx + b x + = (a + b)x + ( a + b) Logo, a+ b= ( ) a+ b= 8) D a+ b= i () a+ b= () ii Fazendo (i) + (ii), teremos: b = b = Substituindo b = em (i), obtemos: a + = a = a + b = + =. x x 9x x+ 7 x + x+ x x x x x / x x x + 7 x + x + x / Logo, q(x) = x x r(x) = x +. 0x x x + x+ / x + Do produto das raízes de q(x) = x x obtemos: P = c a = Já x = é a raiz da equação r(x) = x +. Daí, o produto das raízes de q(x) e r(x) é:. ( ) = 9) E 0) B ) D ) D x + 0x + 0x x + 0x+ x + 0x x + x x + x / x x + 0x + x + x r(x) = x. (x + ) (x ) = x x + x = x x / x + x+ + x / x x + x x x x x + x + x x+ / x x x + x+ / 0 Q(x) = x +. P(x) = (x + 7) (x ) + x + 9 = x x + x + x + 9 = x + x x + x Divisão de P(x) por S(x) = x. Teorema do resto, temos: P() = P() = + + P() = 7 Do enunciado, temos: P(x) = (x ) Q(x) + P(7) = (7 ) Q(7) + P(7) =. Q(7) + (Q(7) = 0) P(7) =. 0 + P(7) = 0 Matemática E

11 ) A ) E f = x 0 x 0 x = ( x ) + + ( x ) = x x x + x + x + + x = x x + x x x + x x x + x x / x + x + x x r(x) = x. Teorema do resto: (). + m. (m + ) = m m = 0 + m = 0 + m = 0 m = m = m = m = = =. ) 0. Correta. De fato, P(x) = x + ax + ax ax. 0. Correta. Temos que m. = 0 m =. P(x) é divisível por x. 0. Correta. a a a a + a + a Logo, a + 8 = a = a =. Daí, P(x) = x x x + x Segue, P(0) = P(0) = ) B 08. Correta. P() = + P() =. Correta. Do item 0, temos: q(x) = x + (a + )x + (a + )x + a + 8 Para a = q(x) = x + x + x + 9 x + x + x + x + x x x 8 x( x + x + x + x + x( x ) 8 ( x + x + x + x + ( x ) Daí, temos: x + x + x 8 + x + = Q(x). (x )(x + ) + ax + b Para x = : = Q() ( ) ( + ) + a. + b = a + b a + b = (i) Para x = : ( ) + ( ) + ( ) 8 + ( ) + = Q( ). ( )( + ) + a( ) + b + + = a+ b a + b = (ii) De (i) e (ii) obtemos o seguinte sistema: a+ b= i () a+ b= () ii Fazendo (i) + (ii), teremos: b = b = b = Substituindo b = em (i), teremos: a + = a = a = o resto é dado por: r'(x) = x +. Assim, x + x + x 8 + x + = Q(x). (x )(x + ) + (x + ) Multiplicando ambos os lados por x, temos: x + x + x 9 + x + x = Q(x). (x x) + ( x + x ) rx ( ) Matemática E

12 7) a) gr(d) = ; gr(r) =. b) r(x) = x + ; d(x) = x + x Como q(x) > r(x), então o resto é da forma r(x) = ax + b. R() = a + b = R( ) = a + b = 0 a+ b= i () a+ b= 0 () ii Fazendo (i) + (ii), teremos: b = b = Substituindo b = em (i), obtemos: a + = a = Logo, r(x) = x +. 8) A a) G(q(x)) = G(p(x)) G(d(x)) = G(d(x)) = G(d(x)).( ) G(d(x)) = Como r(x) = x +, então G(r(x)) =. b) P(x) = d(x). q(x) + r(x) x + x + x + x + = d(x). (x + ) + (x + ) x + x + x + x = d(x). (x + ) d(x) = x + x + x + x x + x + x + x + x x + x x x + x / x + x x x 0 d(x) = x + x. Temos ainda r(x) = x +. x = P() = + b. + c = b + c + = b + c = x = P() = + b + c = + b + c = b + c = Daí, temos: b+ c= i () b+ c= () ii Fazendo (i) (ii), obtemos: b =.( ) b = Substituindo b = em (i), teremos: + c = c = + c = 9) B Os termos com maior expoente serão: o termo: (a )(a )x 7 = (a a + )x 7 (i) o termo: a(a )x (ii) Para que o polinômio p. q possua grau 7, devemos ter: a a + 0 Resolvendo a equação acima, temos: a e a para a e a, o polinômio p. q possui grau 7; para a = e a =, temos que o polinômio possui o grau. 0) x x + 8 P()=. + A.. + B. + = + A + B + = A + B = P( ) = ( ) + A ( ) ( ) + B ( ) + = 0 8A 0 B + = 8A B = 8 ( ) A + B = Temos o seguinte sistema: A+ B= i () A+ B= () ii Fazendo (ii) (i), obtemos: A = A = Substituindo A = em (i), teremos: + B = B = Logo, P(x) = x + x x x +. Por Briot-Ruffini, temos: Logo, q(x) = x x 8. Matemática E

13 ) B O quociente será do o grau da forma: S(x) = cx + dx + ex + f Daí, P(x) = Q(x). S(x) + R(x) x x + x + ax + bx = (x x + ) (cx + dx + ex + f) + 0 = (x x + ) (cx + dx + ex + f) = cx + dx + ex + fx cx dx ex fx + cx + dx + ex + f Agrupando os termos semelhantes, teremos: x x + x + ax + bx = cx + (d c)x + (e d + c)x + (f e + d)x + ( f + e)x + f Como os polinômios são idênticos, teremos: c = f = f = d c = d. = d = 0 e d + c = e 0 +. = e = f e + d = a = a a = e f = b. = b b = 8 (a + b) = + 8 =. ) D Raízes de x x são x' = 0 e x'' =. Como queremos que P(x) seja divisível por x x, então x' e x'' são raízes do polinômio P(x). P(0) = (a + b). 0 + a + b = 0 a + b = 0 P() = +. + (a + b) + a + b = 0 + a + b + a + b = 0 a + 7b = Daí temos: a+ b= a b i 0 ( ) = 0 () a+ 7b= () ii a+ 7b= () ii Fazendo (i) + (ii), teremos: b = b = Substituindo b = em a + b = 0: a + ( ) = 0 a = 0 a = ) a) k = b) / a) Teorema do resto P( ) =. + k + = + k + = 8 + k = k = b) P(x) = x x + + P(x) = x x + Resolvendo a equação acima, temos: x' = + 97 ou x'' = 97 Segue, π π bπ+ aπ ( a b π + = = + ) a b a b a b Temos que, Soma = b ( ) a = Produto = c a = = = Logo, π π π a + b = = 80 = 0 = 0. Daí, π π sen + a b = sen 0 = sen 0 =. Matemática E

14 ) a) S = {, 8, 9} b) S = {,, 8} c) S = {,,, } d) S = {0, i, i} e) {, i, i} a) (x ). (x 8). (x + 9) = 0 Temos: x = 0 x = ou x 8 = 0 x = 8 ou x + 9 = 0 x = 9 a solução é: S = { 9,, 8}. b) (x ). (x ). (x + 8) = 0 Temos, x = 0 x = (raiz dupla) ou x = 0 x = (raiz tripla) ou x + 8 = 0 x = 8 (raiz simples) S = { 8,, }. c) x x + 8 = 0 Seja y = x : y y + 8 = 0 Resolvendo a equação acima, temos: y' = ou y'' = 9 Substituindo y' = em y = x, temos: = x x = ou x = Agora, substituindo y'' = em y = x, temos: 9 = x x = 9 ou x = 9 S = {,,, }. x = x = d) x + x = 0 x (x + ) = 0 Temos: x = 0 ou x + = 0 x = x= i ou x= i s = {0, i, i}. x x + x = 0 Note que x = é raiz da equação. Segue, 0 0 ) B ) A as outras raízes vêm de x + = 0. Então: x + = 0 x = x = i ou x = i A solução é dada por: S = {, i, i}. 0 Logo, Q(x) = x x +. Resolvendo a equação acima, teremos: x' = + i ou x'' = i. Sejam a, (a + ) e (a + ) três números positivos e consecutivos. Do enunciado, temos: a (a + )(a + ) = 8 (a + a + + a + ) (a + a) (a + ) = 8 (a + ) a + a + a + a = a + a + a + a a = 0 a + a + a = 0 Note que x = (não serve) é raiz. Por Briot-Ruffini, temos: 0 Logo, Q(x) = x + x. Resolvendo a equação anterior, obtemos: x' = ou x'' = (não serve) os números são, e. Daí vem: + + = + + = 77. 7) a) m = 8 b) S = {, } a) Pelo teorema de D'Alembert, temos: P() = 0. + m = m = 0 m = 8 Logo, Q(x) = x +. Matemática E

15 8) E b) P(x) = x x x + 8 Note que x = é raiz. Daí, 8 Logo, Q(x) = x. As outras raízes vêm de: x = 0 x = x = ou x = S = {, } Logo, Q(x) = x x + 8 = 0. Resolvendo a equação acima, teremos: x' = ou x'' = 8 Produto o produto de duas raízes poderá ser. 9) (x + )/(x + x + ) Fatorando: x = (x ) (x + ) (x 8) Note que, Logo, Q(x) = x + x +. Assim, x 8 = (x ) ( x + x + ). x x x x x 8 = ( )( + ) x x + x + = + ( )( ) x + x+. 70) D 7) E 7) D p(x) = (x a). (x b). (x + c) = 0 Temos que: x a = 0 x = a ou x b = 0 x = b ou x + c = 0 x = c Logo, as raízes são {a, b, c}. x x + x = 0 Note que x' = é raiz do polinômio Logo, Q(x) = x +. as próximas raízes são dadas por: x + = 0 x = x'' = i ou x''' = i x = f() = () () + m () = 0 + m = 0 m = Logo, f(x) = x x + x. 0 0 Logo, Q(x) = x 0x +. Resolvendo a equação anterior, temos: x' = ou x'' = Vamos verificar se f(x) é divisível por x x +. x x + x x x + x + x 8x x / x + 8x + x 8x f(x) é divisível pelo polinômio x x +. Matemática E

16 7) A p(x) = det A = x x x x 0 x = x x +. x. x x.. x +. x = x + x 0x + x x x + x = 0 x (x x + ) = 0 Logo, x x + = 0 ou x = 0 Temos que a soma das raízes da equação x x + é dada por S =. a = x + x + x = + 0 =. 7) m 7) E x x + x = 0 Volume (m ) V = x. x. x = d = ( ) = a Sejam x e x as raízes. Do enunciado, temos: x x = x = x + Sabemos que: Soma: S = x + x = a x + + x = a x + = a ( ) x = a (i) Produto: P = x. x = a (x + ). x = a (x + ). x + = a (ii) Igualando (i) e (ii), obtemos: ( x + )x + = x x + x + + x + = 0 x + x + = 0 Resolvendo a equação acima, obtemos: x ' = ou x '' = Substituindo x em (i), temos: x ' = ( ) = a a = a = 7) D 77) D 78) E x '' = ( ) = a a = a = x + x 8 = 0 Produto das raízes: P = d = ( ) = = a Soma (S): S = b = ( ) = + a a 0 a =. = 0a 8 = 0a a = 8 0 a = 9 Produto (P): P = c p = = a a p a = p = a = 9 a + p = = 8. Sejam x, x e x raízes do polinômio x x x 0 = 0. Note que x = é raiz. Por Briot-Ruffini, temos: 0 0 Logo, Q(x) = x + x +. Resolvendo a equação acima, teremos: x = x = + + = + + x x x = Matemática E

17 79) E = = = = 8) 7 0. Correta. x x =0 x x x + x x + x x = 0 x + x x = 0 Note que, x'= é raiz. 80) D x = raiz, então: 0 Logo, Q(x) = x x +. o produto das raízes de Q(x) é: P Q = c a = =. Assim, o produto das raízes de p(x) é dado por:. P Q =. =. Logo, a alternativa E está correta. Note que x' = é raiz Logo, Q(x) = x 8x +. Resolvendo a equação acima, obtemos: x'' = ou x''' =. Daí, obtemos a seguinte sequência: P.A. (,,, ) Então temos: a = a n = a + (n )r r = a n = + (0 ) n = 0 a n = + 9. a n = + 8 a n = 9 Soma dos 0 primeiros termos: S = ( a a ) n + n S = ( + 90 ) S = 0. 0 S = 00 0 Logo, Q(x) = x + x. Resolvendo a equação anterior, obtemos: x'' = ou x''' =. S = {,, } [, ]. 0. Temos: P() = P( ) = O resto da divisão de P(x) por (x )(x + ) é de grau máximo. P(x) = Q(x)(x )(x + ) + (ax + b) P( ) = ( ) ( + ) Q( ) + a+ b= 0 P( ) = ( )( + ) Q( ) a + b = 0 a+ b= a+ b= ( ) a+ b= i () a b= () ii Fazendo (i) + (ii), teremos: a = a = Substituindo a = em a + b =, obtemos: + b = b = + b = 8 + b = Matemática E 7

18 8) C 8) D 0. Incorreta. Teorema de D'Alambert. x = P( ) = ( ) + ( ) 7( ) M = 0 =. ( 8) + + M = 0 = + + M = 0 M = 08. Incorreta Logo, Q(x) = x 9x +. o produto das raízes de Q(x) é dado por: P = c a = =.. Correta. Note que x' = é raiz da equação x 7x + = Logo, Q(x) = x + x. Resolvendo a equação anterior, obtemos como raízes: x'' = ou x''' =. Assim, 7 a + b + c = + = + =. Segundo o gráfico temos como raiz x' = ; x'' = e x''' =. Daí o polinômio P(x) é dado por: P(x) = (x + )(x )(x ). Logo, pelo teorema do resto, temos: R(x) = P( ) = ( + )( )( ) R(x) = ( )( )( ) R(x) =. Como o gráfico passa pelo ponto e f(x) é uma função ímpar, então há uma simetria em relação à origem. as raízes de f(x) são: x' = ; x'' = 0 e x''' =. 8) D Logo, f() = ( + ).. ( ) f() = 7.. f() = 8. x+ x+ x+ 8 + ( ) + = 9( ) ( x+ ) x+ ( ) 9[( x+ + + = ) ] x+ x+ x+ ( ) + + = 9( ) x+ Seja y = y + y + = 9y y 9y + y + = 0 Note que y' = é raiz Logo, Q(x) = y 0y +. Resolvendo a equação, teremos: y'' = ou y''' =. Substituindo y' =, y'' = e y''' =, temos: x+ y' = = (absurdo, pois x+ > 0 x [, ]) x+ y'' = = x+ = = x + x + = Então, x + = ou x + = x = x = (não serve) x+ y''' = = x+ = = x + x + = Então, x + = ou x + = x = x = 7 (não serve) S = {, }. Assim, a soma das raízes é + = 8. Daí, temos: f(x) = (x + )(x 0)(x ) f(x) = (x + ). x. (x ) 8 Matemática E