Matemática. 3-3) As diagonais do cubo medem x / ) As diagonais da face do cubo medem 2 y 1/3. Resposta: VFFVV.

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1 Matemática 01. Seja x a área total da superfície de um cubo, e y, o volume do mesmo cubo. Analise as afirmações a seguir, considerando essas informações. 0-0) Se x = 54 então y = ) 6y = x 3 2-2) O gráfico de y em termos de x é ) As diagonais do cubo medem x / ) As diagonais da face do cubo medem 2 y 1/3. Resposta: VFFVV A aresta do cubo mede x / 6 ; portanto, o volume do cubo é dado por y = ( x / 6 ) 3 = (x/6) 3/2. Se x = 54 então y = (54/6) 3/2 = 27, e 0-0 é verdadeira. Temos 216y 2 = x 3, e 1-1 é falsa. O gráfico não passa pelo ponto x = 24 e y = 8, portanto, não é o gráfico de y em termos de x; 2-2 é falsa. As diagonais do cubo medem x / 6 3 = x / 2, e 3-3 é verdadeira. As diagonais da face do 1/ 3 cubo medem x / 6 2 = y 2 e 4-4 é verdadeira. 02. Admita que a pressão arterial P(t) de uma pessoa no instante t, medido em segundos, seja dada por P(t) = cos(2π t), t 0 Considerando esses dados, analise a veracidade das seguintes afirmações. 0-0) O valor máximo da pressão arterial da pessoa é ) O valor mínimo da pressão arterial da pessoa é ) A pressão arterial da pessoa se repete a cada segundo, ou seja, P(t + 1) = P(t), para todo t ) Quando t = 1/3 de segundo, temos P(1/3) = ) O gráfico de P(t) para 0 t 4 é

2 Resposta: VVVFF O valor máximo ocorre quando cos(2π t) = 1 ou 2π t = 2kπ e t = k, k inteiro não negativo, e vale = 114; logo, 0-0 é verdadeira. O valor mínimo ocorre quando cos(2π t) = -1 e vale = 78; portanto, 1-1 é verdadeira. P(t) é uma função periódica com período 2π /(2π ) = 1; daí, 2-2 é verdadeira. Temos P(1/3) = cos(2π /3) = 96 9 = 87, e 3-3 é falsa. Temos P(0) = 114, e o gráfico não é o de P(t), portanto, 4-4 é falsa. 03. Uma transportadora de volumes só aceita caixas na forma de paralelepípedos retângulos quando a soma do perímetro da base e da altura é no máximo 2m. Suponha que se pretenda transportar uma caixa, com maior volume possível, no formato de um paralelepípedo com base quadrada, de lado x metros, e altura h metros, como ilustrado na figura abaixo. h x x Para obtermos volume máximo, os valores de x e h devem satisfazer 4x + h = 2. Analise as afirmações abaixo, considerando esses dados. 0-0) O volume da caixa, em m 3, é dado por 2x 2 (1 2x). 1-1) Quando o lado da base mede 1/3 de metro, o volume da caixa é (1/9)m ) A área total da caixa é -8x + 14x 2, em m ) A área total da caixa será máxima quando a altura for 6/7 de metro. 4-4) Quando a área total da caixa é máxima, seu volume é (24/343)m 3. Resposta: VFFFV O volume da caixa é dado por x 2 h = x 2 (2 4x) = 2x 2 (1 2x); logo, 0-0 é verdadeira. Para x = (1/3)m, o volume será 2.1/9.1/3 = (2/27)m 3, logo 1-1 é falsa. A área total da caixa é dada por 2x 2 + 4xh = 2x 2 + 4x(2 4x) = (8x 14x 2 )m 2 ; portanto 2-2 é falsa. A área total da caixa é máxima para x = -8/(2(-14)) = (2/7)m, e o volume da caixa será 2.4/49.3/7 = (24/343)m 3 ; portanto, 3-3 é falsa e 4-4 verdadeira. 04. Qual o coeficiente de x 2 na expansão de (1+ x) (1+ 2x) (1+ 3x) (1+ 4x) (1+ 5x)?

3 Resposta: 85 O coeficiente de x 2 é ( ) + 2( )+3(4 + 5) = = A ilustração a seguir é parte do gráfico de um polinômio p(x), de grau três e com coeficientes reais. O gráfico passa pelos pontos (-3,0), (-1,0), (2,0) e (0,-1) Indique o valor de p(6). Resposta: 42 p(x) é divisível por x 2, x + 1 e x + 3, logo é da forma p(x) = a(x 2)(x + 1)(x + 3), com a real. De p(0) = -1, obtemos -1 = a(-2).1.3 e a = 1/6. Assim, p(x) = (x 2)(x + 1)(x + 3)/6 e p(6) = Uma calha tem a forma de um prisma reto de base triangular. A altura do prisma é 1m, e sua base é um triângulo isósceles com lados congruentes, medindo 0,4m e formando entre si um ângulo α. α Fazendo a escolha apropriada, qual o maior volume, em litros, que a calha pode ter? Resposta: 80 A área da base da calha é 0,4 2 sen α /2 = 0,08sen α, e o volume da calha é 0,08sen α.1 = 0,08 senα (em m 3 ). O volume da calha será máximo quando α = 90 o, e o volume máximo será 0,08 m 3 = 80 dm 3 = 80 litros.

4 07. O preço do produto X é 20% menor que o do produto Y, e este, por sua vez, tem preço 20% maior que o do produto Z. Se os preços dos três produtos somam R$ 237,00, quanto custa, em reais, o produto Z? Resposta: 75 Seja z o preço do produto Z. Então, Y custa 1,2z e X custa 0,8.1,2z = 0,96z. Temos z + 1,2z + 0,96z = 237 e segue que z = 237/3.16 = Admita que o lucro mensal de uma companhia de telefone celular que tem x milhares de assinantes seja de (24x 400) milhares de reais. No momento, o lucro da companhia é de 320 mil reais. Quantas novas dezenas de assinantes são necessárias para que o lucro da companhia passe de 320 mil reais para 332 mil reais? Resposta: 50 O lucro é de 320 mil reais, quando o número de assinantes é ( )/24 = 30 mil e de 332 mil, quando o número de assinantes é ( )/24 = 30,5 mil. Portanto, são necessários mais 0,5 mil = 500 assinantes. 09. Calcule a distância d entre os pontos de interseção das circunferências com equações. x 2 + y 2 2x 2y +1 = 0 e x 2 + y 2 4x 2y + 4 = 0. Indique 4d 2. Resposta: 12 Para calcularmos os pontos de interseção, subtraímos as igualdades, e obtemos 2x 3 = 0 e x = 3/2; substituindo x = 3/2 na primeira equação obtemos y 2 2y + ¼ = 0 e y = (2 ± 3 )/2. A distância entre os pontos de interseção é d = (2 + 3 )/2 - (2-3 )/2 = 3. Portanto, 4d 2 = Um paciente toma diariamente 0,06mg de certa droga. Suponha que o organismo do paciente elimina, diariamente, 15% da quantidade desta droga presente no organismo. Assim, no momento, após ser administrada a droga, permanecem no organismo do paciente, além desta dose, o remanescente das doses dos dias anteriores. Na tabela abaixo, temos a quantidade da droga presente no organismo do paciente, em mg, nos dias depois do início do tratamento, após ser administrada a dose diária: 1º dia 0,06 2º dia 0,06 + 0,85.0,06 3º dia 0,06 + 0,85.0,06 + 0,85 2.0,06 etc. Assim, no n-ésimo dia permanece no organismo do paciente um total de (0,06 + 0,85.0, ,85 n-1. 0,06) miligramas da droga. Determine a quantidade q da droga, em mg, presente no organismo do paciente, após um ano de tratamento e assinale 100q. Dado: use a aproximação 0, Resposta: 40 A quantidade da droga presente no organismo do paciente é q = 0,06 +

5 0,85.0, , ,06 = 0,06(1-0, )/(1 0,85) 0, O número de quatro dígitos 1391 tem a propriedade seguinte: o número formado tomando quaisquer dois de seus dígitos consecutivos é divisível por 13. Existe um número com 100 dígitos, com o primeiro dígito (à esquerda) igual a 3, tendo a mesma propriedade. Indique o número formado pelos dois últimos dígitos (à direita) deste número. Resposta 13 Os múltiplos de 13 com dois dígitos são 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91. Portanto, os dois primeiros dígitos do número com 100 dígitos são 3 e 9, uma vez que 39 é o único múltiplo de 13 entre 30 e 40; analogamente, o dígito seguinte é 1, uma vez que 91 é o único múltiplo de 13 entre 90 e 100. Portanto, o número começa com os dígitos 3, 9 e 1. Repetindo o argumento, concluímos que o número de 100 dígitos contém 33 repetições de 391 e o número formado pelos dois últimos dígitos é Em uma gaveta, estão quatro pares de meias, cada par de uma cor diferente. Escolhendo aleatoriamente duas das meias da gaveta, qual a probabilidade percentual p% de elas serem da mesma cor? Indique o inteiro mais próximo de p. Resposta: 14 O número de maneiras de se escolher duas meias da gaveta é 8.7 / 2 = 28, e o número de maneiras de se obter duas meias da mesma cor é 4; portanto, a probabilidade percentual de se obter um par de meias da mesma cor é 100.4/28 = 14,28%. 13. João e Maria possuem, juntos, R$ 510,00. Se, simultaneamente, João presenteia Maria com 1/8 do que ele possui, e Maria presenteia João com 1/6 do que ela possui, então, os dois ficarão com quantias iguais. Em quantos reais a quantia que Maria possuía inicialmente excede a que João possuía? Resposta: 30 Seja j a quantia, em reais, que João possuía inicialmente; assim, Maria possuía 510 j. Se João presenteia Maria com j/8 reais, lhe restaram 7j/8, e se Maria presenteia João com (510 - j)/ 6, lhe restaram 5(510 j)/6.temos que 7j/8 + (510 - j)/6 = 5(510 j)/6 + j/8. Portanto, simplificando esta igualdade, obtemos 3j/4 = 2(510 j)/3, que equivale a 9j = j, e daí j = 4080/17 = 240 reais. A quantia que Maria possuía inicialmente era de = 270, e a diferença entre as quantias que os dois possuíam era de = 30 reais. 14. Indique a solução da equação 2 x x - 13 = 5/2. Resposta: 06 A equação equivale a 2 x x - 12 = 5, ou a (2 x-6 ) x-6-5 = 0. Daí 2 x - 6 = (- 4± )/2 = (-4 ± 6)/2 e 2 x - 6 = 1, logo x = 6.

6 15. Sabendo que 1+ i é uma das raízes da equação x 3 2x + a = 0, com a real, indique o valor de a. Resposta: 04 Substituindo 1 + i na equação obtemos (1+ i) 3 2(1+ i) + a = 0, que se reduz a 1 + 3i 3 i - 2 2i + a = 0, e a = Na figura abaixo, quatro das cinco circunferências possuem o mesmo raio. Três destas são tangentes à circunferência de maior raio e têm centros em vértices de um triângulo eqüilátero. A quarta circunferência de raio menor é tangente às outras três. Se a e b representam as áreas das regiões de cor cinza indicadas na figura, assinale 100a/b. a b Resposta: 60 Temos a = πr 2 e b = (π (3r) 2 4π r 2 )/3 = 5πr 2 /3. Portanto 100a/b = 100.3/5 = 60.