Matemática 1 INTRODUÇÃO 1 TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS 3 TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS 2 TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS. Exercício Resolvido 2

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1 Matemática Frente II CAPÍTULO 22 EQUAÇÕES POLINOMIAIS 1 INTRODUÇÃO Nos capítulos anteriores, durante o estudo de polinômios, já estudamos alguns teoremas que nos ajudam a encontrar as raízes de polinômios. Como o Teorema de Briot-Ruffini, as Relações de Girard e as propriedades sobre Divisibilade de Polinômios. Munidos dessas propriedades e dos teoremas que veremos a seguir, seremos capazes de encontrar todas as raízes de muitos mas não todos os polinômios de graus maiores que dois. 1 TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS Enunciaremos a seguir um teorema muito importante na resolução de equações polinomiais. Dado um polinômio de coeficientes reais, se é raíz desse polinômio, com, então também é raiz do polinômio. Veja um exercício resolvido abaixo aplicando esse teorema. Exercício Resolvido 1 Seja um polinômio de grau 4 com coeficientes reais. Sabendo que e são raízes de, determine todas as suas raízes. Resolução: Como é de grau 4, segue que ele possui exatamente 4 raízes! Se é raiz, segue que também é Se é raiz, segue que também é Conclusão: As 4 raízes são: e polinômios de COEFICIENTES REAIS. Por exemplo, para o polinômio: coeficientes são reais. 2 TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS Um raciocínio análogo pode ser feito para um polinômio de coeficientes racionais, admitindo uma raiz irracional: Dado um polinômio de coeficientes racionais, se é raíz desse polinômio, com, então também é raiz do polinômio. Veja um exercício resolvido abaixo aplicando esse teorema. Exercício Resolvido 2 O polinômio possui como duas de suas raízes os número e. Determine as demais raízes desse polinômio. Resolução: Dos teoremas que acabamos de ver, temos outras duas raízes do polinômio: Já conhecemos, então, 4 das 5 raízes dos polinômios. Sendo a raiz que falta, aplicando as relações de Girard, temos: Assim, as raízes do polinômio são: polinômios de COEFICIENTES RACIONAIS. Por exemplo, para o polinômio: coeficientes são racionais. 3 TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS O teorema das raízes racionais enuncia o seguinte: Seja. Se a fração irredutível p/q é raíz de, então: p divide e q divide. Ou seja, se quisermos inspecionar as raízes racionais de um polinômio, devemos: Determinar os divisores de Determinar os divisores de Testar as combinações da forma: Vejamos exemplos a seguir: 16 Algebra CASD Vestibulares

2 Exercício Resolvido 4 Ache as soluções de. Resolução Utilizando o teorema das raízes racionais, devemos inicialmente achar os divisores de (que é 21) e de (que vale 1): Testando as divisões possíveis, devemos testar os números e : (1 é raiz) (-2 não é raiz) (3 não é raiz) (-3 é raiz) (-7 é raiz) (-7 não é raiz) Inspecionando então, encontramos que 3, -1 e 7 são raízes. Como o polinômio é de grau 3, essas são suas únicas raízes. Exercício Resolvido 5 Determine as raízes de Resolução Vamos novamente utilizar o teorema das raízes racionais: Assim, as divisões possíveis são e. Vamos testar cada uma delas então: (1 não é raiz) (-1 não é raiz) (2 é raiz) (-2 não é raiz) polinômios de COEFICIENTES INTEIROS. Por exemplo, para o polinômio: coeficientes são inteiros. Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. (UFC-CE) O polinômio, em que e são números reais, possui o número complexo como uma de suas raízes. Então o produto é igual a: -2-1 c) 0 d) 1 e) (UFF-2010) Considere o polinômio Verifique se o número complexo é raiz de Calcule todas as raízes complexas de 03. (UECE-2010) Os números são as soluções da equação polinomial, as quais são todas simples. Se o polinômio é tal que ( ), então o valor de ( ) é igual a: c) d) 04. (PUC- 2010) O polinômio é divisível por Determine Calcule as raízes de 05. (UFRGS-2008) O polinômio tem: apenas duas raízes reais distintas apenas duas raízes positivas c) todas as raízes positivas d) quatro raízes iguais e) quatro raízes distintas Assim a única raiz real é polinômio é divisível por método de Briot-Ruffini:. Sendo assim, o. Dividamos pelo 06. (PUC-SP-2007) Sabe-se que a equação admite raízes inteiras. Se é a maior das raízes não inteiras da equação, então o valor de é: -6-3 c) 0 d) e) Assim o quociente é e o resto é 0. Sendo assim as outras raízes são raízes de : { 07. (UECE) O polinômio P(x) de 3º grau, com coeficientes reais, em que o termo de mais alto grau tem coeficientes 1 e que admite 0 e 1 + 2i como raízes é: P(x) = x 3 + 2x 2 + 5x P(x) = x 3 + 2x 2 + 5x c) P(x) = x 3 2x 2 + 5x d) P(x) = x 3 2x 2 5x 20 Algebra CASD Vestibulares

3 Nível II GABARITO 08. (UEL-2009) A equação Tem uma raiz inteira e duas raízes complexas imaginárias puras. Sua quarta raiz é: -2/3-1/3 c) 1/3 d) 2/3 e) 4/3 09. (FUVEST) Suponha que o polinômio do 3º grau onde e são números reais, seja divisível por Determine em função de Determine para que admita raiz dupla diferente de c) Que condições deve satisfazer para que admita três raízes reais e distintas? 10. (FUVEST) A equação tem uma raiz inteira e duas imaginárias e. Determine as raízes, e Escreva a equação cujas raízes são e c) Determine a equação cujas raízes são, e 11. (UFC-2010) Considere a expressão encontrar o valor numérico da expressão para obter todas as raízes complexas do polinômio 12. (UFJF-2007) Sobre o polinômio podemos dizer que: possui uma raiz real e duas raízes complexas que não são reais a soma de suas raízes é igual a 15 c) o produto de suas raízes é igual a 12 d) uma das suas raízes é positiva de multiplicidade 1 e) nenhuma de suas raízes é um número natural 01. A 02. Basta verificar que e 03. A 04., 05. D 06. B 07. C 08. D 09. c) e 10. e { } { } c) E 13. Gabarito com o Professor 14. E Nível III 13. (FUVEST-2013) Considere o polinômio Ache todas as raízes complexas de Escreva como produto de dois polinômios do segundo grau, com coeficientes reais. 14. (ITA-2011) Com respeito à equação polinomial É correto afirmar que: Todas as suas raízes estão em Uma única raiz está em e as demais estão em c) Duas raízes estão em e as demais tem parte imaginária não nula. d) não é divisível por e) uma única raiz está em e pelo menos uma das demais está em 20 Algebra CASD Vestibulares

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