Ministério da Educação UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Curitiba Professor Gilmar Bornatto

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1 Ministério da Educação UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Curitiba 1. Para fazer uma caixa sem tampa com um único pedaço de papelão, utilizou-se um retângulo de 16 cm de largura por 30 cm de comprimento. De cada um dos quatro cantos desse retângulo foram retirados quadrados de área idêntica e, depois, foram dobradas para cima as abas resultantes. Determine a medida do lado do maior quadrado a ser cortado do pedaço de papelão, para que a caixa formada tenha: a) área lateral de 204 cm ; b) volume de 600 cm. 2. A expressão V(x) = x(16-2 x)(24-2 x) representa o volume em cm de uma caixa na forma de um paralelepípedo retângulo reto, em que x é a altura e os lados da base são 16-2x e 24-2x. a) Se nenhuma das arestas da caixa pode ser menor que 1 cm, determine os valores possíveis da variável x. b) Quando x = 5 cm, o volume da caixa é 420 cm. Investigue se existem outros valores de x para os quais o volume é 420 cm. Em caso afirmativo, dê esses valores. 3. Dada a equação polinomial x - 5x + 8x - m = 0, onde m é um parâmetro real: a) Mostre que tal equação tem ao menos uma raiz real. b) Obtenha m de modo que 3 seja raiz, e encontre as outras raízes. 4. O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = 2x - mx + 4x + 3 é igual a -1. Determinar a) o valor de m. b) as raízes de p. 5. Determine o valor de k para que os polinômios f = x - x - 5x - 3 e g = x + 2x + kx admitam em comum uma raiz inteira de multiplicidade Qual a maior raiz inteira da equação x - 20x + 90x + 20x - 91 = 0? 7. Considere a equação algébrica - x + kx - kx + kx - 4 = 0, na variável x, com k Æ C. a) Determine k = a + bi, com a e b reais, para que o número complexo 2i seja uma das raízes da equação. b) Determine todas as raízes da equação quando k = Ache todas as raízes (reais e complexas) da equação x -7x -8=0. 9. As três raízes da equação x - 3x + 12x - q = 0, onde q é um parâmetro real, formam uma progressão aritmética. a) Determine q. b) Utilizando o valor de q determinado no item (a), encontre as raízes (reais e complexas) da equação. TEXTO PARA A P RÓXIMA QUESTÃO Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se for falsa.

2 10. Considerando-se a função polinomial p:irëir definida por p(x)=x +x+21 podemos afirmar que: ( ) A equação p(x)=0 não tem solução inteira. ( ) O gráfico da função p(x) intercepta o eixo ox em um ponto de abcissa inteira. ( ) A equação p(x) =0 possui uma solução real. ( ) O gráfico da função p(x) intercepta o eixo ox num ponto de abcissa negativa. ( ) A equação p(x) -21 =0 possui exatamente três soluções reais. 11. Se x - 2x + 5x - 4 = 0 tem uma raiz x = 1, então as outras duas raízes da equação são: a) complexas não reais. b) ra ciona is. c) positiva s. d) negativas. e) reais de sinais opostos. 12. Sobre as raízes da equação 2x - x - 2x + 1 = 0, é verdade que a) nenhuma delas é real. b) exatamente duas delas são negativas. c) somente uma delas é irracional. d) as três são números inteiros. e) pertencem ao intervalo [-1, 1]. 13. As três raízes de 9x -31x-10=0 são p, q e 2. O valor de p +q é: a) 5/9 b) 10/9 c) 20/9 d) 26/9 e) 31/9 14. Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x -x +kx+4=0 é igual a 1. Então o valor de k é: a) - 8. b) - 4. c) 0. d) 4. e) O produto dos valores reais de x que tornam verdadeira a igualdade 2x + x - 8x - 4 = 0 é a) - 4 b) - 1/2 c) 3/2 d) 2 pag.2

3 16. Seja S o conjunto de todas as raízes da equação 2x -4x +4x-2=0. Sobre os elementos de S podemos afirmar que a) todos são números reais. b) 4 são números reais positivos. c) 4 não são números reais. d) 3 são números reais positivos e 2 não são reais. e) 3 são números reais negativos. 17. Sobre o polinômio p(x) = x - 5x + 4x - 3x - 2 podemos afirmar que a) x = 2 não é raiz de p b) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais c) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira d) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras e) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais 18. Se i é raiz da equação x + ax + b = 0 com a e b números reais, então a + b vale: a) 7 b) - 4 c) - 6 d) 19 e) Considere a equação 3x - 2x + 12x - 8 = 0, que admite uma raiz igual a 2i, em que i é a unidade imaginária. Então, podemos afirmar que a equação dada admite: a) uma raiz racional no intervalo [1/2, 3/4]. b) duas raízes reais no intervalo [1/2, 3/4]. c) uma raiz real irracional no intervalo [1/2, 3/4]. d) duas raízes reais irracionais no intervalo [1/2, 3/4]. e) uma raiz real irracional no intervalo [3/4, 1]. 20. A soma das raízes da equação ax + bx + cx = 0, onde a, b, c Æ IR e a 0, tendo 4i como raiz é a) 0 b) 1 c) 2 d) 8i e) -8i 21. O polinômio p(x) = kx + x + kx + 1 não possui raízes reais. Então, o valor de "k" é a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 pag.3

4 22. Sabe-se que -1 é raiz do polinômio f=x +x -2x-2. As demais raízes desse polinômio são números. a ) irra cionais. b) não reais. c) racionais não inteiros. d) inteiros positivos. e) inteiros e opostos entre si. 23. Os zeros do polinômio a seguir formam uma P.A. p(x) = x - 12x + 44x - 48 O conjunto solução da equação p(x) = 0 pode ser descrito por: a) {0, 4, 8} b) {2, 4, 6} c) {-1, 4, 9} d) {-2,- 4,- 6} 24. As medidas, em centímetros, dos lados de um triângulo retângulo são dadas pelos números que são raízes da equação 4x -24x +47x-30=0. Então, a área desse triângulo, em cm, é: a) 1,5. b) 0,5. c) 7,5. d) 6. e) Considere o polinômio P(x) = x - 1 e julgue os itens abaixo: ( ) O número - 1 é raiz de P(x). ( ) As raízes complexas do polinômio Q(x) = x + x + 1 são também raízes de P(x). ( ) A soma de todas as raízes (reais e complexas) de P(x) é igual a zero. ( ) P(x) > 0 para todo número real x, com x < Os números -1 e 1 são duas raízes do polinômio P(x) = cx + ax + bx + 2c. A terceira raiz de P(x) é a) - 3 b) - 2 c) 0 d) 1/2 e) 2 pag.4

5 27. Sejam p(x) = ax + (a - 15)x + 1 e q(x) = 2x - 3x + (1/b) polinômios com coeficientes reais. Sabe-se que esses polinômios possuem as mesmas raízes. Então, é correto afirmar que o valor de a + b é a) 3. b) 6. c) 9. d) Considerando as raízes do polinômio p(x) = x + 16, pode-se afirmar que p(x) a) não tem raízes no conjunto dos números complexos. b) tem uma raiz de multiplicidade 4. c) tem quatro raízes complexas distintas. d) tem duas raízes duplas. e) tem por gráfico uma curva que troca de concavidade. 29. Sendo z e z as raízes não reais da equação algébrica x + 5x + 2x + 10 = 0, o produto zz resulta em um número a) natural. b) inteiro negativo. c) racional não inteiro. d) irracional. e) complexo não real. 30. Se m, p, mp são as três raízes reais não nulas da equação x + mx + mpx + p = 0, a soma das raízes dessa equação será a) 3. b) 2. c) 1. d) 0. e) -1. pag.5

6 GABARITO 1. a) 3 cm b) 5 cm 2. a) 1 x 7,5 b) [15 - Ë(141)]/2 3. a) Como m é um número real, trata-se de uma equação polinomial de coeficientes todos reais. Sendo assim, pode-se afirmar, pelo teorema das raízes imaginárias, que o número de raízes imaginárias é PAR. Como a equação admite, ao todo, três raízes, porque ela é de grau 3, conclui-se que o número de raízes reais é ÍMP AR. Portanto a equação admite pelo menos uma raiz real. b) m = 6 As outras raízes são 1 + i e 1 - i. 4. a) m = 7 b) 3/2; 1 - Ë2 e 1 + Ë2 5. k = a) (20/13) + (30/13)i b) {1, 4, -i, i} 8. V = {2, -1 ië3, -1, 1/2 ië3/2} 9. a) q = 10 b) 1, 1-3i e 1 + 3i 10. V F V V F 11. [A] 12. [E] 13. [D] 14. [A] 15. [D] 16. [D] 17. [E] 18. [A] 19. [A] 20. [A] 21. [C] 22. [A] 23. [B] 24. [A] 25. V V V F 26. [E] 27. [C] 28. [C] 29. [A] 30. [E] pag.6

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2. (Ita 2002) Com base no gráfico da função polinomial y = f(x) esboçado a seguir, responda qual é o resto da divisão de f(x) por (x - 1/2) (x 1). 1 Projeto Jovem Nota 10 Polinômios Lista B Professor Marco Costa 1. (Fuvest 2002) As raízes do polinômio p(x) = x - 3x + m, onde m é um número real, estão em progressão aritmética. Determine a) o valor

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