Função Quadrática e Proporcionalidade Inversa ( )

Transcrição

1 Função Quadrática e ( ) F. Quadrática e Matemática e Estatística 2007/2008

2 Função Quadrática Chama-se função quadrática a qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax 2 + bx + c, com a,b,c R,a 0 O gráfico da função quadrática é uma curva chamada parábola que se situa sempre com o eixo na posição vertical. a > 0 a < 0 concavidade voltada para cima concavidade voltada para baixo o ponto de menor ordenada o ponto de maior ordenada chama-se vértice chama-se vértice (é um ponto de mínimo) (é um ponto de máximo) F. Quadrática e Matemática e Estatística 2007/2008

3 Exemplo O gráfico da função quadrática f(x) = x 2 4x + 3 tem concavidade voltada para cima (o vértice é um ponto de mínimo) F. Quadrática e Matemática e Estatística 2007/2008

4 Exemplo O gráfico da função quadrática f(x) = 2x 2 + 4x + 1 tem concavidade voltada para baixo (o vértice é um ponto de máximo) F. Quadrática e Matemática e Estatística 2007/2008

5 A abcissa do vértice é dada por A ordenada do vértice é dada por x V = b 2a y V = f(x V ) = f( b 2a ) Exemplo O vértice da função quadrática f(x) = x 2 4x + 3 é o ponto (x V,y V ) onde x V = b 2a = ( 4) 2 1 = 2 y V = f(x V ) = f(2) = = = 1 Logo, o vértice é (2, 1). F. Quadrática e Matemática e Estatística 2007/2008

6 Exercício Determine o vértice de cada uma das seguintes funções e diga se ele é um ponto de máximo ou um ponto de mínimo. 1 f(x) = 1 2 x2 + x 2 f(x) = x 2 + 2x + 8 F. Quadrática e Matemática e Estatística 2007/2008

7 Os pontos de cruzamento do gráfico com o eixo das abcissas têm ordenada nula, ou seja, são os pontos (x,0) onde x satisfaz f(x) = 0. Estes x s designam-se por zeros ou raízes da função. Para os determinar basta resolver a equação quadrática cuja solução é dada por ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a F. Quadrática e Matemática e Estatística 2007/2008

8 Exemplo Determinar dos pontos de cruzamento do gráfico de f(x) = x 2 4x + 3 com o eixo das abcissas. f(x) = 0 x 2 4x + 3 = 0 x = 4 ± ( 4) x = 4 ± x = 4 ± 4 2 x = 4 ± 2 2 x = 1 x = 3 Os pontos são (1,0) e (3,0). F. Quadrática e Matemática e Estatística 2007/2008

9 O gráfico da função quadrática f(x) = a(x x V ) 2 + y V i.e, (fazendo y = f(x)) tem vértice (x V,y V ). Exemplo y y V = a(x x V ) 2 O gráfico da função y = 3(x 1) tem vértice no ponto (1,2) (de facto, y = 3(x 1) y 2 = 3(x 1) 2 ). F. Quadrática e Matemática e Estatística 2007/2008

10 Exercícios 1 Determine o vértice do gráfico de y = 4(x 3) Determine a expressão anaĺıtica da função quadrática cujo gráfico contém o ponto (1,0) e tem vértice ( 1,2). F. Quadrática e Matemática e Estatística 2007/2008

11 Resolução dos Exercícios 1 Como y = 4(x 3) y 5 = 4(x 3) 2 então o vértice é (3,5). 2 Como a parábola tem vértice ( 1,2) então a expressão anaĺıtica da função será y 2 = a(x ( 1)) 2 i.e, y = a(x + 1) Como (1,0) pertence à parábola então 0 = a(1 + 1) = 4a + 2 a = 1 2 Logo y = 1 2 (x + 1)2 + 2 F. Quadrática e Matemática e Estatística 2007/2008

12 Suponha que tem 144 bombons e pretende colocá-los em caixas. Então n o de bombons por caixa (x) n o de caixas (y) xy O número de bombons por caixa e o número de caixas são inversamente proporcionais. F. Quadrática e Matemática e Estatística 2007/2008

13 Funções em que é constante o produto do número que exprime o objecto (x) pelo que exprime a respectiva imagem (f(x)) dizem-se funções de proporcionalidade inversa. O produto constante (k) é a constante de proporcionalidade. Assim, x.f(x) = k f(x) = k x, k R F. Quadrática e Matemática e Estatística 2007/2008

14 Exemplos 1 A tabela x y não define uma função de proporcionalidade inversa. 2 A tabela x 0, y define uma função de proporcionalidade inversa. F. Quadrática e Matemática e Estatística 2007/2008

15 Exercício Na tabela seguinte estão indicados valores correspondentes às medidas, em centímetros, das bases b e alturas h de diversos paralelogramos com a mesma área. b h Verifique que b e h são inversamente proporcionais. Qual é o valor e o significado da constante de proporcionalidade? 2 Qual deve ser a altura de um paralelogramo com a mesma área dos anteriores e cuja base tenha 32 cm? 3 Se a base de um desses paralelogramos for dupla da base de outro, que relação haverá entre as respectivas alturas? 4 Escreva uma expressão anaĺıtica da função que relaciona b com h. F. Quadrática e Matemática e Estatística 2007/2008