CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Função do 2º grau. Lucas Araújo Engenharia de Produção Rafael Carvalho Engenharia Civil

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1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Função do 2º grau Lucas Araújo Engenharia de Produção Rafael Carvalho Engenharia Civil

2 Roteiro Função do Segundo Grau; Gráfico da Função Quadrática; Concavidade da Parábola; Raízes da Função; Técnica da Soma e Produto; Vértice da Parábola; Conjunto Imagem; Equação Biquadrada.

3 Função do Segundo Grau Chama-se função do segundo grau ou função quadrática a função f: R R que associa, a cada número real x, o número real ax² + bx + c, com a, b e c reais e a diferente de zero. Exemplos: F(x) = 2x² + 5x + 6, onde a = 2, b = 5, c = 6 F(x) = -x² + x 1, onde a = -1, b = 1, c = -1 3/67

4 Gráfico da Função Quadrática Em um sistema cartesiano ortogonal, o gráfico de uma função quadrática é representado por uma curva, à qual damos o nome de parábola. Exemplo: 4/67

5 Gráfico da Função Quadrática 5/67

6 Concavidade da Parábola A concavidade de parábola está relacionada com o coeficiente a. De modo que: 6/67

7 Gráfico de uma Função Quadrática Posteriormente veremos que pode-se obter o gráfico de uma equação quadrática através da obtenção das raízes, das coordenadas do vértice, a classificação de Y do vértice e a interseção da curva com o eixo Y. 7/67

8 Raízes da Função Quadrática Quando fazemos ax² + bx + c = 0, isto é, y = f(x) = 0, podemos encontrar valores de x Є R, aos quais denominamos raízes ou zeros da função. Para isto, usaremos a seguinte equação: 8/67

9 A Importância do Delta (Δ) Como já visto anteriormente o delta(δ) é definido por: Δ = b² - 4ac Descobrindo-se o Δ é possível saber quantas raízes reais a equação terá. Vejamos algumas situações: (I) Para Δ < 0, a equação não tem raiz real; (II) Para Δ = 0, a equação tem uma raiz real; (III) Para Δ > 0, a equação tem duas raízes reais; 9/67

10 Raízes da Função Quadrática Exemplo 1: Determinar os zeros das funções quadráticas abaixo: a) y = -x² + 2x + 3 b) y = -x² + x 1 Exemplo 2 : O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás é igual a Quantos anos eu tenho agora? 10/67

11 Exercícios Exemplo 3: Determinar os zeros das funções quadráticas abaixo: a) y = x² + 2x 15 b) f(t) = t² /67

12 Soma e Produto Podemos utilizar o método da soma e produto para resolver uma equação do segundo grau e, assim, determinar as raízes de uma função quadrática. Soma das raízes Produto das raízes x + x = -b/a x. x = c/a Sendo ax² + bx + c = 0, dividindo-se tudo por a, obtemos: x² + (b/a)x + (c/a) = 0. Logo: x² - Sx + P = 0 12/67

13 Técnica da soma e produto: Soma e Produto Considerar: Soma: - b Produto: ac No final, dividir os dois valores encontrados pelo a. 13/67

14 Exercícios Exemplo: Determinar as raízes da equação 12x 2 10x 8 = 0. Determine as raízes das equações abaixo através do método soma e produto. a) x² + x 2 = 0 b) x² - 7x + 10 = 0 c) x² - ( 1 a + a)x + 1 = 0 14/67

15 Exercícios Determine o valor de k para que a equação tenha duas raízes x 2 + (k 1).x 2 = 0, cuja soma seja igual a 1. A soma de suas raízes é dada pela seguinte razão: x 1 +x 2 = b a x 1 +x 2 = (k 1) 1 Mas nós temos definido que a soma das raízes é 1 1= (k 1) 1 k+1= 1 k= 1 1 (--1). k= 2.(--1) k = 2 Portanto, para que a soma das raízes dessa equação seja 1, o valor de k deve ser 2. 15/67

16 Vértice da Parábola O vértice V é representado pelo ponto de intersecção do eixo de simetria com a própria parábola. Assim sendo, as coordenadas do vértice V são: 16/67

17 Conjunto Imagem da Função Quadrática O conjunto imagem da função quadrática y = ax² + bx + c é determinado a partir da ordenada(yv) da parábola. Consideramos dois casos: Se a > 0 Se a < 0 Apresenta um ponto de mínimo, em Yv. Assim: Apresenta um ponto de máximo em Yv. Assim: 17/67

18 Vértice da Parábola Exemplo 5: Encontre as coordenadas do vértice para cada função quadrática e classifique o Yv em máximo ou mínimo. a) y = x² - 4x + 3 b) y = -x² - 10x /67

19 Gráfico da Função Quadrática Podemos esboçar o gráfico de uma função quadrática através dos seguintes passos: 1. Encontrar as raízes; 2. Encontrar as coordenadas do vértice; 3. Classificar o Yv; 4. Encontrar a intersecção da curva com o eixo Y. 19/67

20 Gráfico da Função Quadrática Exemplo 6: Esboce o gráfico das funções abaixo. a) y = 2x² - 3x + 1 b) y = -x² + x /67

21 Tópico Complementar Esta seção visa abordar as equações biquadradas, posto que estão intimamente relacionadas com as equações do segundo grau. Equação Biquadrada Considere a equação: ax 4 + bx 2 + c = 0, se x² = y, temos ay² + by + c = 0, onde: 21/67

22 Equação Biquadrada A resolução de uma equação biquadrada pode ser obtida da seguinte maneira: 1. Substituir x 4 por y² e x² por y; 2. Resolver a equação ay² + by + c = 0 3. Determinar as raízes quadradas de cada uma das raízes da equação ay² + by + c = 0, após isso, substituir e. Obs: Cada raiz positiva da equação dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada. Raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz para a biquadrada. 22/67

23 Equação Biquadrada Composição da equação biquadrada: Toda equação biquadrada de raízes x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela seguinte fórmula: 23/67

24 Equação Biquadrada Propriedades: 1. A soma das raízes da equação biquadrada é nula: 2. A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a: 3. O produto das raízes reais e não-nulas de uma equação biquadrada é igual a: 24/67

25 Equação Biquadrada Exemplos: Resolva as equações biquadradas abaixo: a) x 4 13x = 0 b) x 4 5x /67

26 Obrigado pela atenção! /67

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