TEORIA CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 812EE 1 INTRODUÇÃO

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1 CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 81EE 1 TEORIA 1 INTRODUÇÃO Os assuntos tratados a seguir são de importância fundamental não somente na Matemática, mas também na Física, Química, Geografia, Estatística e outras disciplinas. A linguagem Matemática é importante para representar algebricamente ou graficamente o estudo, por exemplo, do movimento uniforme e outros fenômenos. PAR ORDENADO Consideremos os conjuntos A = {x, y} e B = {y, x}. Lembrando que dois conjuntos que diferem apenas pela ordem de seus elementos são iguais, então, A = B. Em alguns casos, a ordem dos elementos é importante, então não podemos colocá los como elementos de um conjunto, e sim como elementos de pares ordenados, ou seja, (x, y) e (y, x). Assim sendo: (x, y) (y, x). Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se, e somente se, a = c e b = d. Por exemplo: numa escola, ficou estabelecido que, no final de cada bimestre do ano letivo seria publicada uma tabela com pares ordenados de números onde o primeiro seria o número de chamada do aluno, e o segundo, a nota correspondente. Desta maneira, o par (, 8) quer dizer que o aluno de número obteve nota 8 e o par (8, ) quer dizer que o aluno de número 8 obteve nota. PRODUTO CARTESIANO Dados dois conjuntos A e B, chama se produto cartesiano de A por B e será indicado por A x B, que se lê A cartesiano B ao conjunto formado por todos os pares ordenados possíveis, tendo o primeiro elemento pertencente ao conjunto A e o segundo elemento pertencente ao conjunto B. Exemplificando: consideremos os conjuntos A = {1,, } e B = {, 6} e vamos formar os produtos A x B e B x A. A x B = { (1, ), (1, 6), (, ), (, 6), (, ), (, 6) } B x A = { (, 1), (, ), (, ), (6, 1), (6, ), (6, ) } Observe que: 1º) A x B B x A º) Se n (A x B) é o número de elementos de A x B, n (A) é o número de elementos do conjunto A,

2 CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 81EE n (B) é o número de elementos do conjunto B, então, n (A x B) = n (A) x n (B). 4 SISTEMA CARTESIANO DE EIXOS ORTOGONAIS Os elementos de um conjunto numérico podem ser representados por pontos de uma reta orientada. Os pares ordenados (x, y) de números reais são representados por pontos do plano. Consideremos no plano duas retas perpendiculares, orientadas, que dividem o plano em quatro regiões denominadas de quadrantes, que são numerados da seguinte forma: SISTEMA CARTESIANO DE EIXOS ORTOGONAIS Figura 1 O ponto de interseção dos eixos é o ponto O, denominado origem do sistema cartesiano de eixos ortogonais. Consideremos o ponto P(x, y). O primeiro elemento x recebe o nome de abscissa e o segundo elemento recebe o nome de ordenada. As abscissas são positivas à direita do eixo das ordenadas e negativas à esquerda. As ordenadas são positivas acima do eixo das abscissas e negativas abaixo. Exemplificando: Vamos determinar as coordenadas dos pontos dados no sistema abaixo.

3 CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 81EE B 4 A D 1 G E C F -4 A (,4), B ( 1,), C (, 1), D (, 1), E (,0), F (0, 4) e G (,0) COORDENADA DOS PONTOS Figura CONSTRUINDO GRÁFICOS A PARTIR DE DADOS EXPERIMENTAIS Tanto na pesquisa quanto no ensino é comum surgir a necessidade de se construir um gráfico, a partir de dados obtidos experimentalmente. A seguir, alguns exemplos serão mostrados para ilustrar o procedimento de construção de um gráfico, a partir de dados experimentais..1 GRÁFICO DA POSIÇÃO EM FUNÇÃO DO TEMPO REFERENTE AO MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA O gráfico de uma Função Polinomial do Primeiro Grau é uma reta, portanto, y = ax + b é a equação de uma reta. O coeficiente a recebe o nome de coeficiente angular ou declive da reta que é a tangente do ângulo θ que a reta forma com o sentido positivo do eixo das abscissas. O ângulo θ é chamado de inclinação da reta. O coeficiente b é chamado coeficiente linear da reta.

4 CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 81EE 4 Na Física a equação do movimento uniforme é s = s 0 + vt onde s é o espaço percorrido pelo móvel no tempo t, s 0 é o espaço inicial percorrido pelo móvel e v a velocidade escalar. Vamos construir o gráfico de S = 6 +t, com as posições S em metros e os instantes t medidos em segundos. Como o gráfico é uma reta bastam dois pontos para representá la no plano. Escolheremos dois valores quaisquer para t e teremos os correspondentes para S. t = 1 S = 4 e para t = 4 S =. Temos assim os ponto P (1, 4) e Q (4, ). S(m) t(s) Figura 6. GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO POLINOMIAL O gráfico cartesiano da função polinomial do segundo grau é uma curva denominada parábola. Para construção do gráfico escolhemos alguns valores para x e obtemos os correspondentes valores de y. Exemplos. Vamos construir os gráficos das funções:

5 CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 81EE 1) y = x + x Tabela 1 x y Figura 4 ) y = x + x + Tabela x y Figura Os dois gráficos mostram que: 1) se a > 0 a concavidade da parábola é voltada para cima. ) se a < 0 a concavidade da parábola é voltada para baixo. No primeiro caso existe um ponto V da parábola que tem a menor ordenada e é chamado de ponto de mínimo da função. No segundo caso o ponto V é o ponto que tem a maior ordenada e é chamado de ponto de máximo da função. O ponto V de mínimo ou máximo da função é o vértice da parábola e tem como abscissa x b = e como ordenada y = a Δ b Δ, isto é, V =,. a

6 CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 81EE Voltando aos exemplos anteriores, o vértice da primeira parábola é V, e da segunda é V (1, 4). 4 A reta que passa por V e é paralela ao eixo das ordenadas recebe o nome de eixo de simetria da parábola. Para cada ponto P da parábola existe um ponto P da mesma, tal que P e P estão numa mesma perpendicular a este eixo e à mesma distância do mesmo. Podemos agora estabelecer o conjunto imagem Im da função f( x ) = ax + bx +c, onde a 0, que tem como domínio D = R e como contradomínio C = R, já que sabemos como obter os pontos de máximo ou mínimo da mesma. Se a > 0 a função tem um mínimo dado por y = Δ, portanto, Im = y R Δ y Δ Δ Se a < 0 a função tem um máximo dado por y =, portanto, Im = y R y Já vimos que o procedimento para se fazer o gráfico de uma função polinomial do segundo grau é: 1)Escolher alguns valores para x e através do critério da função obter os correspondentes valores de y. ) Marcar no sistema cartesiano os pontos de coordenadas ( x, y ). ) Unir os pontos. Uma outra maneira para se construir o gráfico é: 1) Verificar, inicialmente, através do coeficiente a, a concavidade da parábola. Se a > 0 a concavidade é voltada para cima, se a < 0 a concavidade é voltada para baixo. b Δ ) Determinar o vértice V, da parábola. a ) Determinar as raízes. Se Δ > 0 a parábola intercepta o eixo das abscissas nos pontos ( x 1, 0) e (x, 0). Se Δ = 0 a parábola tangencia o eixo das abscissas no ponto (x 1, 0). Se Δ < 0 a parábola não tem ponto em comum com o eixo das abscissas. 4) Traçar o eixo de simetria da parábola. ) Determinar o ponto ( 0, c ) de interseção da parábola com o eixo das ordenadas. 6) Se os pontos obtidos não forem suficientes porque quando Δ < 0 não temos os pontos de interseção ou tangência da parábola com o eixo das abscissas, então, determinamos mais alguns pontos como foi feito nos dois exemplos iniciais. 7) Unindo se os pontos assinalados temos a parábola. 6.1 SINAIS DA FUNÇÃO Vamos verificar para que valores reais de x a função y = ax + bx + c e a 0 é positiva ou negativa.

7 CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 81EE 7 1) Δ > 0 a função tem duas raízes reais e distintas, isto é, x 1 x A função tem o sinal de a para valores externos ao intervalo das raízes e sinal contrário ao de a para valores internos. Na reta orientada temos: Figura 6 Figura 7 Lembrar que para x = x 1 ou x = x f(x) = 0 ) Δ = 0 a função tem duas raízes reais e iguais, isto é, x 1 = x A função tem o sinal de a para todo x diferente da raiz. Na reta orientada temos: Figura 8 Figura 9 Lembrar que para x = x 1 ou x = x f(x) = 0

8 CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 81EE 8 ) Δ < 0 a função não tem raízes reais A função tem o sinal de a para qualquer valor real de x. Na reta orientada temos: Figura 10 Figura 11 Exemplos. Para que valores reais de x a função f( x ) é, respectivamente, a) positiva, b) negativa, c)nula. 1) f( x ) = x 11x + Calculando as raízes de x 11x + 8. Δ = ( 11 ) 4x1x8 Δ = = 9 11 ± 9 11± x = = 1 7 x1 x = e x = 4 Na reta orientada temos os sinais de f( x ): a) a função f( x ) é positiva para x < 4 ou x > 7. b) a função f( x ) é negativa para 4 < x < 7. c) a função f( x ) é nula para x = 4 e x = 7. ) f( x ) = x + x Vamos calcular as raízes de x + x = 0 empregando a fatoração: x( x + ) = 0 Podemos concluir que x = 0 ou x + = 0 e x = Poderíamos ter resolvido a equação através da fórmula de Bhaskara. Na reta orientada temos os sinais de f( x ):

9 CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 81EE 9 a) a função f( x ) é positiva para 0 < x < b) a função f( x ) é negativa para x < 0 ou x > c) a função f( x ) é nula para x = 0 e x = )f( x ) = x x + 1 Calculando as raízes de x x + 1 Δ = ( 1 ) 4xx1 = 1 1 = 11 A função não tem raízes reais porque o discriminante é negativo Na reta orientada temos os sinais de f( x ): a) a função f( x ) é positiva para qualquer valor real de x. b) não existe x real para que a função f( x ) seja negativa. c) não existe x real para que a função f( x ) seja igual a zero. 7. INEQUAÇÕES Resolver em R as inequações: 1) x 0 Para estudar os sinais de y = x devemos, inicialmente, calcular as raízes. x = 0 x = ou x = ±. Temos, então, x = ou x = 1 Indicando na reta orientada os sinais de y: O exercício pede y 0. Resposta: x ) ( x + x + 8 )( x 11x + ) > 0 Vamos verificar os sinais de y 1 = x + x + 8 e y = x 11x + As raízes de x + x + 8 são x 1 = e x = 4 Indicando na reta orientada os sinais de y 1 :

10 CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 81EE 10 As raízes de x 11x +8 são x 1 = 1 e x = Indicando na reta orientada os sinais de y : Para estudarmos os sinais de y 1 y vamos organizar uma tabela dispondo os valores de x em ordem crescente e os sinais de y 1 e y. Tabela O exercício pede y 1 y > 0. Resposta: < x < 1/ ou 4 < x < ( x + 4x)(x + x ) ) 0 x + Condição de existência da fração: x. O denominador não pode ser igual a zero. Vamos estudar os sinais de y 1 = x + 4x, y = x + x e y = x +. Precisamos, portanto, das raízes. As raízes de y 1 são x 1 = 0 e x = 4 Sinais de y 1 : As raízes de y são x 1 = e x = 1 Sinais de y : A raiz de y é x = Sinal de y :

11 CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 81EE 11 Tabela 4 y1 y O exercício pede 0. Resposta: y x < ou 0 x 1 ou x 4 Para saber mais: Os exemplos apresentados procuram ilustrar a importância que os gráficos apresentam quando se está precisando correlacionar dados que foram obtidos a partir de um experimento. As informações oferecidas pelo gráfico podem ser utilizadas para se tirar conclusões ou se fazer novas perguntas a respeito de uma investigação científica, enriquecendo assim o processo de produção de conhecimento a respeito de um dado assunto. Autores: Abrão Arid Netto. Autoria Especializada em Física (conteúdos: Laboratório Virtual, Teoria, Mapa Interativo, Avaliação e Guia do Professor): Formação Acadêmica*Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia Ciências e Letras da Universidade Mackenzie. Cursos de aperfeiçoamento* Grupo de Estudos do Ensino da Matemática.* Centro de Treinamento para Professores de Ciências (CECISP).* Curso de Lógica Matemática na Faculdade de Filosofia Ciência e Letras "Sedes Sapientiae".* Curso Teórico Prático de Física Experimental do Museu de Ciências São Paulo.Atividades de magistério * Professor de Matemática da

12 CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 81EE 1 Faculdade de Filosofia Ciência e Letras "Tibiriçá".* Professor de Matemática da Faculdade de Administração e Ciências Contábeis "Tibiriçá".* Professor de Matemática do Colégio de São Bento São Paulo.* Professor de Matemática por concurso do Ensino Oficial do Estado de São Paulo. Noriyasu Omote. Autoria Especializada em Física (conteúdos: Laboratório Virtual, Teoria, Mapa Interativo, Avaliação e Guia do Professor). Graduação em Ciências Exatas pelo Instituto de Física da USP. Especialização em Tecnologia de Ensino de Física. Autor e docente de cursos ministrados de Ciências do Ensino Fundamental e Física do Ensino Médio, Pesquisa e Desenvolvimento em Física Experimental de baixo custo (IFCE). Diretor Executivo do Instituto Galileo Galilei para a Educação (IGGE).