GEOMETRIA ANALÍTICA 2017

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1 GEOMETRIA ANALÍTICA 2017

2 Tópicos a serem estudados 1) O ponto (Noções iniciais - Reta orientada ou eixo Razão de segmentos Noções Simetria Plano Cartesiano Abcissas e Ordenadas Ponto Médio Baricentro - Cálculo de Determinantes Condição de Alinhamento de Três Pontos) 2) A reta (Equações Coeficiente Angular Posições entre retas Perpendicularidade Projeções Ângulos entre retas* - Inequações do 1º grau* - Distâncias entre Ponto e Reta - Bissetrizes*) 3) Circunferências (Equações Posições relativas entre Ponto e Circunferência Posições relativas entre Reta e Circunferência Posições relativas entre duas Circunferências Problemas de Tangência - Inequações do 2º grau*) 4) Cônicas* (Elipses Hipérboles Parábolas Posições Relativas) * EsPCEx

3 1) O ponto Distância entre dois pontos na reta orientada Segmento orientado:

4 1) O ponto Razão de Segmentos Orientados Razão de secção de um segmento orientado Exemplo resolvido:

5 1) O ponto - Plano Cartesiano Sistema Cartesiano Ortogonal É constituído de dois eixos, chamados Ox e Oy, perpendiculares entre si.

6 1) O ponto - Plano Cartesiano Sistema Cartesiano Ortogonal Pares Ordenados (coordenadas)

7 1) O ponto - Plano Cartesiano Sistema Cartesiano Ortogonal Se P pertence ao eixo das abcissas, suas coordenadas são (a,0) Se P pertence ao eixo das ordenadas, suas coordenadas são (0,b)

8 1) O ponto Plano Cartesiano Sistema Cartesiano Ortogonal Se P pertence à bissetriz dos 1º e 3º quadrantes, suas coordenadas são iguais. Se P pertence à bissetriz dos 2º e 4º quadrantes, suas coordenadas são simétricas.

9 1) O ponto Distância entre dois pontos Distância entre dois pontos no plano cartesiano Logo, a distância entre os pontos A e B será dada por:

10 1) O ponto Exercícios 01) Determine os valores reais de x para que o ponto A(x + 1, 2x 5) pertença ao quarto quadrante. 02) Dê as coordenadas dos pontos simétricos dos pontos A(3, 4) e B( 2, 5) em relação: a) ao eixo x b) ao eixo y c) à origem 03) Determine x para que o ponto P(x 2 + 2x, 15) pertença à bissetriz do: a) 2º e 4º quadrantes b) 1º e 3º quadrantes 04) Calcule a distância entre os pontos A( 1, 4) e B(3, 2). 05) Sabe-se que o ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcule a abcissa do ponto P: 06) Que tipo de triângulo temos, se seus vértices são os pontos A(2, 2), B( 3, 1) e C(1, 6): 07) Determine os valores de m para os quais a distância entre A(m 1, 3) e B(2, m) é 6.

11 1) O ponto Ponto Médio Ponto Médio de um Segmento Considere o seguinte segmento AB: A coordenada do ponto médio M será dada por:

12 1) O ponto Baricentro Coordenadas do Baricentro de um triângulo Considere o seguinte triângulo ABC: As coordenadas do Baricentro serão dadas por:

13 1) O ponto Ponto Médio - Exercícios 08) Determine as coordenadas do ponto médio M de um segmento AB, sendo dados A( 1, 4) e B(5, 2). 09) Ache o valor de x de modo que M(2, 3) seja o ponto médio entre A(x, 5) e B(3, x). 10) Os vértices de um triângulo são os pontos A(0, 4), B(2, 6) e C( 4, 2). Calcule a medida da mediana AM, do triângulo ABC 11) Determine as coordenadas do baricentro do triângulo indicado na Figura ao lado:

14 1) O ponto Cálculo de Determinantes Cálculo do Determinante de uma matriz 3X3 Para cálculo de determinantes desse tipo de matriz, podemos utilizar a regra de SARRUS. Exemplo: Det(B)= ( 2).8.( 1) ( 2) ( 1) Det(B) = ( 24) 0 80 Det(B) = Det(B) = 34

15 1) O ponto Condição de Alinhamento de três ponto X Área de um triângulo Condição de Alinhamento de Três Pontos Consideramos inicialmente três pontos contidos na mesma reta no plano: O que vai resultar em: Logo, para constatar a colinearidade de três pontos, basta verificar se o determinante de terceira ordem, contendo as abcissas e ordenadas dos pontos, seja nulo. OBS: a terceira coluna mantém sempre o número 1.

16 1) O ponto Condição de Alinhamento de três ponto X Área de um triângulo Área do triângulo Caso o determinante da matriz com os pontos seja diferente de zero (D 0), podemos calcular a área do triângulo formado por esses pontos da seguinte forma: A = D 2 ÁREA= MÓDULO DO DETERMINANTE DIVIDIDO POR 2

17 1) O ponto Condição de Alinhamento x Triângulos - Exercícios 12) Determine o valor de x para que os pontos A(2, 3), B(x, 7) e C(x, 1) sejam colineares 13) Determine o valor de a para que os pontos A(2, 1), B(a + 1, 2) e C( 3, 1) sejam os vértices de um triângulo 14) Calcule a área do triângulo de vértices A(1, 3), B(2, 5) e C( 2, 4). 15) Se (m + 2n, m 4) e (2 m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então m n é igual a:

18 1) O ponto Exercícios de provas anteriores (ESA 2011). Um quadrado ABCD está contido completamente no 1º quadrante do sistema cartesiano. Os pontos A(5,1) e B(8,3) são vértices consecutivos desse quadrado. A distância entre o ponto A e o vértice C, oposto a ele, é: (A) 13 (B) 2 13 (C) 26 (D) 13 (E) 26 (ESA 2011). Seja AB um dos catetos de um triângulo retângulo e isósceles ABC, retângulo em A, com A(1,1) e B(5,1). Quais as coordenadas cartesianas do vértice C, sabendo que este vértice pertence ao primeiro quadrante? (A) (5,5) (B) (1,5) (C) (4,4) (D) (1,4) (E) (4,5) (ESA 2012). Os pontos M( 3, 1) e P(1, 1) são equidistantes do ponto S(2, b). Desta forma, pode-se afirmar que b é um número: (A) primo. (B) múltiplo de 3. (C) divisor de 10. (D) irracional. (E) maior que 7. (ESA 2015). Dados três pontos colineares A(x, 8), B( 3, y) e M(3, 5), determine o valor de x + y, sabendo que M é ponto médio de AB: (A) 3 (B) 11 (C) 9 (D) - 2,5 (E) 5

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