PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA

Transcrição

1 E.E. Dona Antônia Valadares MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - 1º ANO Função Quadrática PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA

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3 FUNÇÃO QUADRÁTICA Seja a, b e c números reais e a 0. A função f :R R f(x) ax² bx c tal que para todo x Є R, é chamada função polinomial do 2º grau ou função quadrática. a) y = x² + 3x + 2 ( a=1; b=3; c=2 ) b) y = x² ( a=1; b=0; c=0 ) c) y = x² - 4 ( a=1; b=0; c=-4 )

4 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

5 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.

6 Função Quadrática Há várias situações do dia-a-dia em que a função quadrática está presente. Engenharia Arquitetura Física Biologia Esporte Indústria/ comércio Comunicações

7 Natureza

8 Esporte

9 Nas Comunicações Antena de Satélite

10 Na Arquitetura Forno Solar França Murphy Center at Asphalt Green - EUA Ponte 25 de Abril - Portugal Ponte em concreto armado

11 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA - CONSTRUÇÃO y = x 2. y x y = x y = x x Im = [0, + [ Mínimo = 0

12 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA - CONSTRUÇÃO y = x 2. y x y = x y = x 2 x Im = ], 0] Máximo = 0

13 Exemplo: f(x) = x 2 2x 3 X Y

14 A análise dos gráficos anteriores nos sugere um caso geral em relação a todas as funções quadráticas do tipo y = f(x) = ax 2 + bx + c. Os gráficos de funções quadráticas são curvas chamadas parábolas. O ponto mais alto ou mais baixo da parábola é chamado de vértice. A reta vertical que passa pelo vértice é chamada de eixo da parábola. O gráfico intercepta o eixo y no ponto (0, c) O gráfico intercepta o eixo x nas raízes da função Se a > 0 a concavidade da parábola é voltada para cima. Se a < 0 a concavidade da parábola é voltada para baixo.

15 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA f(x)= a.x 2 + b.x + c y Eixo de simetria c x =0 f(0) = c TERMO INDEPENDENTE x v x 1 x 2 x y =0 y v RAÍZES VÉRTICE (x v ; y v )

16 Concavidade da parábola Quando a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima. Quando a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

17 Raízes da função quadrática Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f ( x) ax² bx c, a 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função as soluções da equação do 2º grau, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara: sendo: b Δ x 2a Δ b 2 4.a.c S = x 1 +x 2 = -b a P = x 1.x 2 = c a

18 Observação A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando, chamado discriminante, a saber: quando quando quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; é zero, há só uma raiz real; é negativo, não há raiz real.

19 Δ=0 Δ>0 Δ<0 a>0 a<0 Δ=0 Δ>0 Δ<0

20 Vértice da parábola O vértice é um ponto muito importante na parábola, pois por meio dele obtemos informações significativas. A ordenada y v do vértice admite valor mínimo ou valor máximo. Se a > 0, concavidade voltada para cima, então a função admite valor MÍNIMO,. y Se a < 0, concavidade voltada para baixo, então a função admite valor MÁXIMO,. y Valor máximo. y v 0 x y v. 0 x Valor mínimo

21 Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são a>0 b ( 2a 4a, y ) 4a. Veja os gráficos: a<0 b 2a x y b 2a 4a x

22 Exemplo: y x 6x 5 2 O vértice da parábola de equação é dado por V X, Y, V V em que: x v e y v Portanto, o vértice da parábola é o ponto v(3, -4)

23 Função Quadrática f(x)= x 2 8 x + 12 x =0 f(0) = 12 y 12 a > 0 RAÍZES VÉRTICE x

24 Função Quadrática f(x)= -2x 2-8x + 24 x =0 f(0) = 24 y a < x RAÍZES VÉRTICE

25 f(x) = x 2 6x + 8 Termo independente Raízes da função Vértice

26 Máximo e mínimo da função quadrática

27 Questões como essas, em que se procura determinar o valor máximo ou o valor mínimo, são estudadas em matemática pela aplicação dos conceitos de máximo e mínimo de funções. Daremos início ao estudo desses conceitos, tratando, por enquanto, apenas de funções quadráticas. É bom saber também que cálculos de máximos e mínimos, em geral, têm várias aplicações. Como você pode perceber, o pai de Calvin não sabia desse fato.

28 Nas questões em que é pedido ou se faz referência ao valor máximo ou mínimo de uma função do 2º grau, temos que descobrir O que a questão está pedindo é Xv ou Yv? O valor de Yv = -Δ/4a, é o próprio valor máximo, se a<0, ou mínimo da função, se a>0. Já o valor de Xv = -b/2a, é o que torna o valor de Yv máximo ou mínimo.

29 Exemplo Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = t 5t 2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. A função h(t) = 5t t + 80 é quadrática, com a = 5, b = 30 e c = 80. Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um valor máximo.

30 Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = t 5t 2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. A) O instante em que o objeto atinge a altura máxima é a abscissa do vértice: t = b 2a = (30) 2.( 5) = 3 s

31 Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = t 5t 2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. B) A altura máxima é o valor da função em t = 3 s. h(3) = = 125 m

32 Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = t 5t 2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. C) No instante em que o objeto atinge o solo, deve ser h(t) = 0. h(t) = 0 5t t + 80 = 0 t 2 + 6t 16 = 0 t = 2 ou t = 8 t = 8 s

33 Veja o gráfico da função h(t) = 5t 2 30t + 80 h (m) t (s)

34 Vejamos em dois exemplos: 1. Uma pedra é atirada para cima, com velocidade inicial de 40 m/s, do alto de um edifício de 100m de altura. A altura (h) atingida pela pedra em relação ao solo, em função do tempo (t) é dada pela expressão:. Qual a altura máxima alcançada pela bola? Como é pedido o valor máximo de h, que representa y na função dada, calculamos Yv. Perceba que a pergunta é direta: qual a altura máxima. R. 180m h( t) 5t 40t O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado por: C = n + n 2. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo? Como é pedido o que torna o valor da função mínimo, calculamos Xv. Perceba também que a pergunta é mais explicada e longa: Quantas unidades deverão ser produzidas para... R. 50 unidades 2

35 A representação cartesiana da função é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que: a) a<0, b<0 e c>0 b) a>0, b>0 e c<0 c) a>0, b>0 e c>0 d) a<0, b>0 e c<0 e) a<0, b>0 e c>0

36 A função y = x 2 + 4x + k, tem duas raízes reais iguais. Calcular a constante k, obter a raiz dupla e esboçar o gráfico da função.

37 Estudo da Variação do Sinal de uma Função Quadrática Para estudar a variação do sinal de uma função quadrática precisamos conhecer as suas raízes e também se a parábola tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo. 2 Vamos analisar o gráfico da função : f ( x) x 4x 3

38 { x R /1 x 3} f ( x) 0 { x R / x 1 ou x 3} f ( x) 0 { x R / x 1 ou x 3} f ( x) 0 Para x < 1 ou x > 3, vemos no gráfico que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima do eixo das abscissas. Para x = 1 ou x = 3 temos que a função é nula, isto é, f(x) = 0. Para 1 < x < 3 vemos no gráfico que f(x) < 0, visto que estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas.

39 Inequações polinomiais do 2º grau Uma inequação do 2 grau pode ser escrita numa das seguintes formas: ax² + bx + c > 0; ax² + bx + c < 0; ax² + bx + c 0; ax² + bx + c 0. Para resolvermos uma inequação do Segundo Grau devemos estudar o sinal da função correspondente a equação: 1. Igualar a sentença do 2 grau a zero; 2. Localizar (se existir) as raízes da equação no eixo x. 3. Estudar o sinal da função correspondente. A resolução de uma inequação polinomial de 2º grau é fundamentada no estudo da variação de sinal de uma função quadrática, conforme mostra os exercícios resolvidos a seguir:

40 1. Resolva a inequação -x² Solução: -x² + 4 = 0. x² 4 = 0. x = 2 x = x - S { x R 2 x 2}

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