FUNÇÃO DE 2º GRAU. O grau de um polinômio é determinado pelo maior expoente dentre todos os termos. Assim uma equação de 2º grua tem sempre a forma:

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1 FUNÇÃO DE º GRAU O grau de um polinômio é determinado pelo maior expoente dentre todos os termos. Assim uma equação de º grua tem sempre a forma: y = ax + bx + c O gráfico da função é sempre uma parábola. Somente olhando para a equação que determina a função é possível fazer um esboço do gráfico. As informações que podemos inferir, uma vez identificados os valores de a, b e c são: Quando a >, a concavidade da parábola é para cima. Quando a < a concavidade é para baixo. c fornece o ponto de cruzamento da função com o eixo y. O vértice, que é o ponto de máximo ou de mínimo da parábola tem as suas coordenadas dadas por: y v = 4a x v = b a sendo = b 4ac As raízes da função x 1 e x (dadas pela equação de Báskara) são os pontos de cruzamento da função com o eixo x. x 1, = b ± a Nesse caso, cabem algumas observações relevantes. Quando < significa que a parábola NÃO corta o eixo x. Isso não quer dizer que a equação é inválida, somente que a parábola existe, mas não passa pelo eixo x. Quando =, temos que as duas raízes x 1 e x possuem o mesmo valor. Isso significa que a parábola toca o eixo x em apenas um ponto, que é exatamente no vértice. EXCEL: AJUSTE POLINOMIAL DE º GRAU Para uma relação polinomial de º grau, temos um procedimento análogo ao que já fizemos para um gráfico de uma equação de 1º grau: 1. Selecione a tabela e insira um gráfico de dispersão.. Clique com o botão direito do mouse sobre um dos pontos no gráfico. 3. Selecione Adicionar Linha de Tendência. 4. Selecione: Polinomial. Ordem:. Selecione o a caixa de Exibir Equação no Gráfico.

2 EXEMPLOS 1. Identifique na função representada pelo gráfico abaixo o vértice da função, as raízes x 1 e x e o valor de c Solução: Os parâmetros solicitados neste exercícios podem ser inferidos visualmente, apenas analisando o gráfico corretamente. O valor de c é dado quando x=, ou seja, é o ponto em que a curva da função corta o eixo y. Neste caso, c = O vértice é sempre o ponto onde a curva muda o seu sentido. Será o ponto máximo ou ponto mínimo da parábola. Neste caso o vértice está no ponto x= e y=1 As raízes de uma função, também chamadas de zeros da função, são os pontos de cruzamento da função com o eixo x, ou seja, quando y=. Repare que a parábola corta o eixo x em dois pontos, em x1=, e x=3,8. Assim: Vértice: V(,1) Raízes: x 1 =, e x = 3,8 Valor de c: c =. Determine o esboço do gráfico da equação: y = x + x + 4. Solução: Para fazer o esboço do gráfico, precisamos antes calcular alguns pontos chave da parábola que são: o vértice V(x,y), as raízes da função x 1 e x, e o ponto da parábola com o eixo y. Para determinar cada um desses pontos chave, primeiro identificamos os valores de a, b, e c na equação dada: a = 1 (valor que acompanha o termo quadrático) b = (valor que acompanha o termo linear) c = 4 (valor que está isolado)

3 A identificação desses valores já nos fornece duas informações: a >, ou seja, a concavidade é para cima. c = 4, ou seja, a parábola cruza o eixo y no ponto y=4. Agora calcularemos o vértice V(x v,y v). Relembrando as fórmulas: x v = b a Assim: y v = 4a sendo = b 4ac Para calcular o y v, calculamos antes o. x v =.1 =, E aplicamos na fórmula de y v: = = 16 = 9 y v = =, Por fim, calculamos as raízes da função, usando Báskara: x 1 = x = = = 1 = 8 = 4 Com o vértice, o valor de c e os valores das raízes da função, podemos esboçar o gráfico: , ,

4 3. Um projétil é lançado obliquamente do alto de uma torre. Toda a trajetória é registrada, gerando o seguinte gráfico de alcance (x) por altura (h): y (m) x (m) Qual o alcance do projétil quando ele atinge o solo? Qual a altura máxima atingida pelo projétil? Qual é a altura da torre? Solução: Esse problema requer somente a interpretação correta do gráfico: A altura da torre pode ser determinada quando o alcance do projétil é x=. Ou seja, ele ainda não foi lançado. Assim, a altura da torre pode ser determinada como sendo igual a y no ponto de cruzamento da parábola com o eixo y. y (m) x (m) O vértice fornece o valor máximo em y que o projétil alcança. Assim, a altura máxima atingida será ym=17 m. Note que o valor de x, que é o alcance, não está sendo questionado neste caso. Considerando que o solo está em y=, o alcance máximo se dará quando o projétil encontrar o chão. Assim, o alcance é uma das raízes da função. Neste caso x~4,4 (não é exatamente 4,4, mas a precisão do gráfico não nos permite determinar uma precisão maior do que uma casa decimal, então tomamos o valor mais próximo que podemos determinar com certeza). O importante neste exercício é compreender que existe uma relação entre o gráfico, inferido matematicamente, com interpretações reais do mundo físico. Considere, por exemplo, que ao invés de fornecer um gráfico, o exercício fornecesse uma equação. Os mesmos parâmetros poderiam ser determinados, porém, por um caminho análogo ao tomado no exemplo.

5 Para entregar: 4 ou mais estrelas. EXERCÍCIOS FUNÇÃO DE º GRAU 1. ( ) Para os gráficos abaixo, identifique o vértice da função, as raízes x 1 e x e o valor de c. a) b) c) d) , -1, 1 1,. ( ) Para as equações dadas, faça o esboço do gráfico. a) y = x + 4x b) y = x + x + 3. ( ) Para as equações dadas, faça o esboço do gráfico. a) y = x 8 b) y = 4x 4x ( ) Um objeto é lançado verticalmente, de acordo com a seguinte equação: Determine: h = t + 8t + 4 a) A altura inicial em que o objeto foi lançado. b) O ponto máximo atingido o objeto. c) O instante de tempo em que o objeto atingiu a altura máxima. d) O instante de tempo em que o objeto atingiu o solo.

6 . ( ) Considere uma função de º grau do tipo f(x) = ax + bx + c. Complete a planilha abaixo, com as fórmulas a serem inseridas nas células E1, E, E3, E4 e E. Cuidado com a colocação dos parêntesis e lembre-se de usar a função SE quando necessário. 6. ( ) Dada a seguinte tabela de dados obtida em um lançamento vertical de um projétil: t (s) h (m) 6,1 1,4 9 Sabendo que a altura é dada pela função h(t) = h + v t + 1 at. Usando o ajuste polinomial do Excel, determine: a) A velocidade inicial v de lançamento. b) A altura inicial h do projétil. c) A aceleração a do projétil. 7. ( ) O preço de lançamento de um produto eletrônico está sujeito à seguinte lógica: se o preço for mais alto, o lucro por produto é maior, porém, a quantidade vendida é menor. Do contrário, se o preço for mais baixo, maior será a quantidade vendida, embora o lucro por produto seja menor. Após um estudo a empresa extraiu as seguintes equações: Q(p) = p L(p, Q) = Q(p 18) onde Q é a estimativa da quantidade de produtos vendidos (em mil unidades), p é o preço de venda (em reais) e L é o lucro total (em mil reais). Sendo assim: a) Determine L como uma função somente de p. b) Determine qual seria o preço de venda que maximizaria os lucros. c) Qual seria o lucro máximo obtido pela empresa no lançamento do produto? d) Qual seria o preço mínimo a ser cobrado para que a empresa não tivesse prejuízo? 8. ( ) A figura a seguir é formada por um retângulo com um corte na forma de um semicírculo de raio R. A altura (h) dessa figura tem tamanho fixo igual a 6 metros, enquanto a largura da base é igual ao diâmetro do semicírculo que determina o corte no retângulo. a) Determine a equação da área cinza da figura em função do raio, lembrando que: A semicírculo = π.r e A retângulo = b. h b) Se a área cinza corresponde à área construída em um terreno, qual seria o valor de R que forneceria o valor máximo dessa área?