Hewlett-Packard FUNÇÃO QUADRÁTICA. Aulas 01 a 07 + EXTRA. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

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1 Hewlett-Packard FUNÇÃO QUADRÁTICA Aulas 01 a 07 + EXTRA Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ano: 2016

2 Sumário O CONCEITO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA... 2 (Função polinomial do 2 grau)... 2 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 2 RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA NÚMERO de RAÍZES de uma FUNÇÃO QUADRÁTICA... 2 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 2 RELAÇÕES DE GIRARD... 2 Soma das raízes... 2 Produto das raízes FORMA FATORADA do trinômio ax² + bx + c REPRESENTAÇÃO GRÁFICA... 3 ELEMENTOS IMPORTANTES... 3 I. CONCAVIDADE... 3 II. INTERSECÇÃO com o eixo Ox... 3 III. INTERSECÇÃO com o eixo Oy... 4 IV. COORDENADAS do VÉRTICE: V(xV; yv)... 5 FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DAS COORDENADAS DO VÉRTICE CONJUNTO-IMAGEM... 6 ESBOÇO/ CONSTRUÇÃO DO ARCO DE UMA PARÁBOLA ESTUDO DO SINAL... 6 PARA REFLETIR... 6 ESTUDO DO SINAL ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA INEQUAÇÃO PRODUTO e QUOCIENTE CAIU NO SIGMA... Erro! Indicador não definido. CAIU NO VEST... 9

3 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

4 AULA 01 O CONCEITO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA (Função polinomial do 2 grau) Uma função f: R R é denominada função quadrática se existem constantes reais a, b e c, com a 0, tais que f(x) pode ser escrita como f(x) = ax² + bx + c, para todo x R. Obs.1: Note que b e c podem ser nulos, portanto a função cuja lei é f(x) = ax² é, também, um exemplo de função quadrática. Obs.2: Note que, segundo a definição, a condição necessária para a existência de uma função quadrática, é que o coeficiente a deve ser diferente de zero (a 0). EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 1.1. Praticando em sala 1(a, d, f), 2(a, c,e), 3(b, c, d). RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Se um número α R é raiz de uma função quadrática f, então f(α) = 0. Ou seja, aα² + bα + c = 0 Para determinarmos os valores de α, geralmente fazemos uso da fórmula α = x = b ± 2a, onde = b² 4ac. Obs.3: Observe que, em geral, quando um exercício nos fornece uma equação, suponha na incógnita x, e o valor de uma das suas raízes, podemos substituir o x da expressão dada pela raiz fornecida Determine os valores do parâmetro real k, para os quais a equação x² + 3(k 2)x 2k² + 8 = 0 admita uma raiz nula Determine, em R, as raízes da função f: R R com f(x) = (3x + 9) (1 x). TAREFA 1 LER os exercícios resolvidos 2, 3, 5 e 6 e FAZER os PSA 4(a,c,d,f), 5(a,c,d,e), 7, 8 e 11. NÚMERO de RAÍZES de uma FUNÇÃO QUADRÁTICA ESTUDO DO DISCRIMINANTE ( ) I. Para que f tenha duas raízes reais e distintas, precisa-se ter > 0. II. Para que f tenha duas raízes reais e iguais (ou uma raíz de multiplicidade 2 ou uma raiz dupla), precisa-se ter = 0. III. Para que f não tenha raízes reais, precisa-se ter < 0. EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 1.4. Determine em função de p a quantidade de raízes reais da função f, de R em R, com f(x) = x 2 + 4x + ( 2p + 2). RELAÇÕES DE GIRARD As relações de Girard nos mostram as relações existentes entre os coeficientes reais (a, b e c) e as raízes (x 1 e x 2 ), de uma equação do 2 grau. Soma das raízes S = x 1 + x 2 = b a Produto das raízes P = x 1 x 2 = c a 1.5. Considere a equação x² 6x + 12 = 0. Se x 1 e x 2 são as raízes dessa equação, calcule o valor de cada expressão a seguir. 1 a) + 1 x 1 x 2 b) (x 1 ) 2 + (x 2 ) Obtenha uma equação do segundo grau de raízes: 2 e 5. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 2

5 TAREFA 2 Fazer os PSA. 9, 10, 13(a, b, c, d) e 20. EXTRA: PSA. 18. AULA 02 FORMA FATORADA do trinômio ax² + bx + c Considere a um número real não-nulo e uma função f: R R, tal que f(x) = ax² + bx + c. É possível mostrar que se conhecermos as raízes de f, x 1 e x 2, poderemos escrever o trinômio ax 2 + bx + c na forma fatorada: a(x x 1 )(x x 2 ). REPRESENTAÇÃO GRÁFICA A representação cartesiana de uma função quadrática f: R R, tal que f(x) = ax² + bx + c, com a 0, é uma curva denominada PARÁBOLA. A = (x 1 ; 0) B = (x 2 ; 0) C = (0; c) V = (x V ; y V ) Obs.4: A forma fatorada é uma ferramenta muito útil na obtenção da lei y = f(x), em especial, nos exercícios que fornecem as duas raízes da função quadrática e mais um de seus pares ordenados Obtenha uma equação do segundo grau de raízes: 2 e Dado que 1 e 5 são as raízes de uma função quadrática de lei y = f(x) e que f(2) = 6, determine f(0). TAREFA 3 Fazer os PSA 15(a, b, d), 23(a, b, c), 24 e 42. ELEMENTOS IMPORTANTES Para fazermos a representação gráfica de uma função quadrática, devemos buscar identificar/analisar quatro de seus elementos importantes. São eles: I. Concavidade II. Intersecção com o eixo Ox III. Intersecção com o eixo Oy IV. Coordenadas do Vértice I. CONCAVIDADE Considere a expressão f(x) = ax² + bx + c. Se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima. Se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo. II. INTERSECÇÃO com o eixo Ox Considere a expressão f(x) = ax² + bx + c. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 3

6 as raízes de f, digamos x 1 e x 2, são os valores de x que fazem f(x) = 0. os pontos de intersecção da parábola com o eixo Ox, (x 1 ; 0) e (x 2 ; 0), têm as suas abscissas iguais aos zeros da função. Obs.5: Lembre-se que já estudamos as RAÍZES DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA na AULA 01. III. INTERSECÇÃO com o eixo Oy Considere a expressão f(x) = ax² + bx + c. O ponto (0; c) pertence ao gráfico de f. Isto é, a parábola intersecta o eixo Oy no valor de c. Observe que se x = 0, tem-se f(0) = a b. 0 + c f(0) = c Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 4

7 AULA 03 IV. COORDENADAS do VÉRTICE: V(x V ; y V ) Primeiramente, o vértice de uma parábola é um de seus infinitos pontos. Mas, o que ele tem de especial? Se a > 0 Se a > 0, o vértice será um ponto de mínimo da parábola (ponto mais baixo ). E suas coordenadas nos dizem o valor MÍNIMO que essa função assume (y V ). Isto é, a menor de todas as imagens geradas por f. o elemento do domínio (x V ) que, quando substituído na lei f(x), gera o valor MÍNIMO de f. Se a < 0, o vértice será um ponto de máximo da parábola (ponto mais alto ). E suas coordenadas nos dizem o valor MÁXIMO que essa função assume (y V ). Isto é, a maior de todas as imagens geradas por f. o elemento do domínio (x V ) que, quando substituído na lei f(x), gera o valor MÁXIMO de f. Se a < 0 FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DAS COORDENADAS DO VÉRTICE Obs.6: O eixo de simetria da parábola passa por x V. Assim: É possível demonstrar que: x V = x 1 + x 2 2 x V = b 2a y v = Δ 4a ou y v = f(x v ) Obs.7: Forma canônica de uma função quadrática: y = f(x) = a(x x V ) 2 + y V 3.1. Exercícios PROPOSTOS 26 e Exercício COMPLEMENTAR 12. TAREFA 4 Fazer os PSA. 25, 29, 30, 31, 32, 33 e 37. CONHECENDO AVALIAÇÕES: 4 e 19. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 5

8 AULA 04 CONJUNTO-IMAGEM Podemos dizer que os elementos do conjunto-imagem de uma função são todos os valores reais de y, obtidos a partir de f(x). Se a > 0, a função terá um valor mínimo em y V e, portanto Im(f) = {y R y y V } Como construir uma parábola em poucas etapas? 1) Calcular as coordenadas do Vértice. 2) Escolher um valor para x (próximo ao x v) e substituí-lo na função para achar o seu y correspondente. Assim, você tem um novo ponto. 3) Espelhar o ponto encontrado em relação ao eixo de simetria (que passa pelo x v). 4) Traçar o arco de parábola unindo os pontos marcados. Se a < 0, a função terá um valor máximo em y V e, portanto Im(f) = {y R y y V } Obs.: As etapas 2 e 3 podem ser repetidas até que você se sinta confiante o bastante para fazer a etapa 4. TAREFA 5 Fazer os PSA 34, 38, 39. E o CONHECENDO AVALIAÇÕES 25. ESBOÇO/ CONSTRUÇÃO DO ARCO DE UMA PARÁBOLA O que pode ser considerado como o mínimo necessário para se esboçar um arco de parábola? O mínimo necessário são 3 pontos que, quando marcados no plano cartesiano, tenham a disposição de um V de cabeça pra cima (quando a > 0) ou de cabeça pra baixo (quando a < 0) com o ponto do meio sendo, necessariamente, o vértice. No entanto, sempre que possível, buscamos destacar: I. As intersecções com o eixo Ox II. A intersecção com o eixo Oy III. As coordenadas do Vértice 4.1. Construa, em um plano cartesiano, o gráfico de cada função f: R R, tal que a) f(x) = x² + 2x b) f(x) = x² 3 TAREFA 6 Fazer os PSA 40, 41 e 42. AULA 05 ESTUDO DO SINAL PARA REFLETIR Observe a representação cartesiana de uma função polinomial f: R R, a seguir. 1) Ele toca o eixo Ox? Onde? Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 6

9 2) Todos os seus pontos estão de um mesmo lado (acima ou abaixo) do eixo Ox? 3) É possível dividir o eixo Ox em pedaços de tal forma que, em cada um deles, os pontos do trecho do gráfico associado a esses pedaços tenham uma característica comum? Que característica é essa? ESTUDO DO SINAL Fazer o estudo do sinal de uma função é buscar determinar para quais intervalos do domínio a função admite imagem (y) positiva e para quais intervalos do domínio a função admite imagem (y) negativa Isto é, responder à pergunta: Quais são todas as abscissas dos pontos que tem ordenada y, com y positivo e quais são todas as abscissas dos pontos que tem ordenada y, com y negativo? 5.1. Faça o estudo do sinal da função apresentada no tópico PARA REFLETIR Para resolver uma inequação do 2 grau, basta reduzíla à forma ax² + bx + c e, então, fazer o estudo do sinal da expressão encontrada. > < 5.2. Propostos 46 (b) e 50. TAREFA 7 Fazer os PSA. 45, 46(a,c,e), 47, 48(a,d,e) e 49.. AULA 06 INEQUAÇÃO PRODUTO e QUOCIENTE Sejam f e g funções definidas de Reais em Reais. 0 ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Para estudar o sinal de uma função quadrática, basta seguir os procedimentos à seguir (os mesmos de uma função afim). 1. Análise do sinal de a 2. Raízes de f Chamaremos de inequação produto uma inequação que pode ser escrita na forma f(x) g(x) > < 0. Chamaremos de inequação quociente uma inequação que, respeitando-se as condições de existência, pode ser escrita na forma 3. Dispositivo prático 4. Estudo do sinal No entanto, note que, o dispositivo prático acabará se encaixando em um dos 6 modelos a seguir: f(x) g(x) > < 0. INEQUAÇÃO DO 2 GRAU Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 7

10 Como resolver uma inequação produto ou quociente? 1) Nomeie cada uma das funções envolvidas como y 1, y 2, 2) Faça o estudo do sinal de cada uma das funções envolvidas, somente até o dispositivo prático. 3) Faça o quadro de sinais. 4) Marque, na última reta do quadro, o intervalo que representa os valores de x que satisfazem à inequação. 4) O figura a seguir é uma representação cartesiana da função f: R R, em que f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c constantes reais e a 0. Obs.8: SOBRE AS BOLINHAS : Se a questão está com um dos símbolos > ou <, as bolinhas sempre ficam vazias, pois as raízes das funções não fazem parte do conjuntosolução. Se a questão está com um dos símbolos ou, as bolinhas, a princípio, ficam cheias, exceto nas raízes das funções que fazem parte do denominador de uma inequação quociente, pois esses números geram uma divisão por zero, o que não é definido. Dado que P(5;-7) é um ponto dessa parábola, determine f(x) Leia os exercícios resolvidos 28 e 29. 5) No quadrado ABCD a seguir, P, N e M são pontos tais que P DC, N CB e M. AB TAREFA 8 Fazer os PSA. 55, 56(c), 57 e 58(a,b). EXTRA Questões extras 1) Determine a soma de todos os números naturais que satisfazem a inequação quociente 2x+1 5 x 0. 2) O gráfico da função f: R R com f(x) = x² + 3x 10 intersecta o eixo das abscissas nos pontos A e B. Determine a distância entre A a B. 3) Um terreno retangular tem dimensões 6 m por 10 m. Aumentando-se cada dimensão em x metros, obtém-se um novo terreno retangular de área 117 m². Determine o valor de x. Dado que AB = 6 e que PC = CN = AM = x, determine o valor de x, para que a área da região sombreada seja máxima. 6) Construa, em um sistema de eixos perpendiculares xoy, em que O = (0; 0), um esboço do gráfico da função f: R R, tal que f(x) = x 2 4x. Em seguida, determine o conjunto-imagem dessa função. 7) Resolvendo, em R, a equação (2x 2 7x + 6) (2x + 1) = 0, tem-se que a soma de suas raízes é igual a Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 8

11 a) 7 b) 4 c) 0 d) 1 e) 3 8) As raízes da equação 2x 2 6x + 3 = 0 são x 1 e x 2. O valor de x x 2 2 é igual a a) 36 b) 30 c) 9 d) 6 e) 12 9) Em um mercado de pescados, o gerente sabe que, quando o quilograma de peixe de primeira qualidade é anunciado, no início do dia, por um preço de p reais, o mercado vende uma quantidade n = 400 5p quilogramas nesse dia. O preço do quilograma, em reias, para que o gerente tenha uma arrecadação máxima é a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 10) Seja a função g: R R, tal que g(x) = x 2 + (m 2)x + m 2. Dado que S é o conjunto de todos os valores reais de m para os quais g possui duas raízes reais iguais, tem-se que a soma de todos os elementos de S é igual a a) 2. b) 4. c) 6. d) 8. e) ) Uma empresa de turismo cobra, por um passeio, R$ 30,00 por uma pessoa para um grupo de 50 pessoas. Para cada pessoa acrescida nesse grupo o preço por pessoa é reduzido em R$ 0,50. Desse modo, determine o número de pessoas que devem compor um grupo para que a empresa obtenha a receita máxima em um passeio. CAIU NO VEST.1) (UnB 2014) A curva na figura acima representa o acúmulo de CO 2 na atmosfera da Biosfera II, durante alguns dias, como resultado de falha no sistema de purificação de ar. Níveis de CO 2 inferiores a 2000 ppm são considerados normais. Acima desse valor, o acúmulo de CO 2 afeta o ser humano, conforme mostrado na figura. A referida curva pode ser representada por parte do gráfico da função C(t) = (196t t ), em que C(t) é dado em 10 3 ppm, e o valor de t em dias. 1. Se os níveis de CO 2, na atmosfera fossem determinados pela função C(t) = (3tj t ), em que j é um número natural maior ou igual a 3, toda a população humana presente na Biosfera II estaria morta no 18º dia. 2. O nível mais alto de CO 2 ocorreu após 97 dia de observação. 3. Considerando-se que o gráfico de C(t) - para todo t em que C(t) 0 - represente a curva de acúmulo de CO 2 na Biosfera II, infere-se que os níveis de CO 2 voltaram à normalidade somente 8 meses após o início da falha no sistema de purificação de ar. 4. A função C(t) pode ser reescrita como C(t) = k(a t)(b t), em que k é um valor positivo e a, b (0,190). 5. O período, em dias, durante o qual o valor de CO 2 permaneceu nos níveis da faixa I foi a) inferior a 20. b) superior a 21 e inferior a 28. c) superior a 28 e inferior a 33. d) superior a 33. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 9

12 2) (UnB 2013) A umidade relativa do ar em Brasília, em agosto, normalmente atinge índices muito baixos. Considerando que, em Brasília, a variação da umidade relativa do ar durante certo dia de agosto, dia X, está descrita, em porcentagem, pela função f(t) = 0,4t 2 11t + 92, com 4 t 24, em que t é o tempo, em horas, julgue os itens a seguir: 1. Entre 9h e 17h do dia X, a umidade do ar em Brasília ficou abaixo de 22%. 2. Às seis horas do dia X, a umidade relativa do ar em Brasília foi superior a 40%. 3. No dia X, a umidade relativa do ar em Brasília atingiu valores inferiores a 15%. 3) (ENEM ) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura 4) (UNICAMP º fase) Se a e b são reais. Considere as funções quadráticas da forma f(x) = x 2 + ax + b, definidas para todo x real. a) Sabendo que o gráfico de y = f(x) intercepta o eixo y no ponto (0; 1) e é tangente ao eixo x, determine os possíveis valores de a e b. b) Quando a + b = 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto. GABARITO: FUNDAMENTAIS 1.1. Livro 1.2. k e 1 p 3 duas raízes reais iguais 1.4. p 3 duas raízes reais distintas p 3 não tem raízes reais 1.5. a) 1 2 b) 12 A função que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) = 3 2 x2 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é a) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) x 2 3x x 2 3x 10 0 f x 2x 12x Livro 3.2. Livro 4.1. Gráficos f x 0 x 2, x 1 ou x f x 0 2 x 1 ou x 3 f x 0 x 2 ou 1 x Livro 6.1. Livro QUESTÕES EXTRAS 1 1) x x 5 2 2) 7 3) 3 2 4) f x x 4x 12 5) 3 6) Gráfico e Im f 4, 7) E Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 10

13 8) D 9) B 10) D 11) 55 CAIU NO VEST 1) C C E E C 2) C C E 3) E 4) a) b1 e a 2 1, 2 b) Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 11