CURSO ALCANCE UFPR Matemática 13/08/2016 Página 1 de 6

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1 CURSO ALCANCE UFPR Matemática 13/08/2016 Página 1 de 6 Introdução à funções Uma função é determinada por dois conjuntos e uma regra de associação entre os elementos destes conjuntos. Os conjuntos são chamados de domínio e contradomínio. A regra, também chamada de lei de formação, é definida como a seguinte relação: para cada valor de do domínio, associa-se um valor de () no contradomínio. Chamamos de imagem o conjunto dos valores Imagem () (ou ) do contradomínio que estão associados a algum do domínio. A imagem sempre será subconjunto do contradomínio. Assim sendo, cada elemento do conjunto é levado a um único elemento do conjunto. Essa associação é determinada por uma lei de formação. Denomina-se como variável Domínio - Contradomínio - independente e variável dependente pois o valor de, é calculado pelo valor de (depende do valor ). Condição para ser função: Todo elemento do domínio precisa estar associado a um e apenas um elemento do contradomínio Quais os principais tipos de função? As funções podem ser classificadas em três tipos: injetora, sobrejetora ou bijetora (ou respectivamente injetiva, sobrejetiva ou bijetiva) Função injetora ou injetiva Nessa função, cada elemento () da imagem é associado a um único elemento do domínio. Todavia, podem existir elementos do contradomínio que não estão imagem, caso em que o contradomínio e imagem são diferentes. Veja um exemplo: Conjunto dos elementos do domínio da função: () = { 1, 5; +2; +8} Conjunto dos elementos da imagem da função: = {,, } Conjunto dos elementos do contradomínio da função: = {,,, } Função Sobrejetora ou sobrejetiva Na função sobrejetiva, todos os elementos do contradomínio estão na imagem. Pode acontecer de dois elementos distintos do domínio possuírem a mesma imagem. Nesse caso, imagem e contradomínio possuem a mesma quantidade de elementos. Conjunto dos elementos do domínio da função: () = { 10, 2, 8, 25} Conjunto dos elementos da imagem da função: = {,, } Conjunto dos elementos do contradomínio da função: = {,, } Função bijetora ou bijetiva Essa função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, pois, cada elemento de x relaciona-se a um único elemento de f(x). Nessa função, não acontece de dois números distintos possuírem a mesma imagem, e o contradomínio e a imagem possuem a mesma quantidade de elementos. Conjunto dos elementos do domínio da função: () = { 12, 0,1, 5} Conjunto dos elementos da imagem da função: = {,,, } Conjunto dos elementos do contradomínio da função: = {,,, }

2 CURSO ALCANCE UFPR Matemática 13/08/2016 Página 2 de 6 Representação Gráfica As funções podem ser representadas graficamente. Para que isso seja feito, utilizamos dois eixos perpendiculares nos quais são definidas as coordenadas e.. A coordenada, distância horizontal, é chamada de abscissa e a, distância vertical, de ordenada. Cada ponto do plano é representado pelo par (, ).. Por ter sido idealizado por René Descartes, é chamado de Plano Cartesiano. O gráfico de uma função no plano cartesiano será o conjunto de pontos, (). Paridade de uma função Uma função é dita par se ( ) = (). Exemplo () = ; ( ) = ( ) = = (). Uma função é dita ímpar se ( ) = (). Exemplo () = 3; ( ) = 3( ) = 3 = (). O fato de uma função não ser par não significa que ela será ímpar. Exemplo () = + 3; ( ) = 3, que é diferente tanto de ( ) quanto de (). Não é nem par nem ímpar. Crescimento de uma função Uma função é dita crescente se para < tem-se () < (), ou seja, a medida que o valor no domínio cresce, o valor na imagem aumenta. Uma função é dita decrescente se para < tem-se () > (), ou seja, a medida que o valor no domínio cresce, o valor na imagem diminui. Funções geralmente estudadas no último ano do Ensino Fundamental e ao longo do Ensino Médio: Função afim ou Função quadrática ou Função logarítmica; polinomial do primeiro grau; polinomial do segundo grau; Funções trigonométricas; Função constante; Função modular; Função raiz. Função Linear; Função exponencial; Mostraremos agora o gráfico e a fórmula geral de algumas das funções listadas acima: 1 - Função constante Na função constante, todo valor do domínio tem a mesma imagem. Fórmula geral da função constante: () = Exemplo de gráfico da função = Domínio constante: () = () = Imagem = constante, que pode ser qualquer número do conjunto dos reais. 2 - Função afim ou polinomial do primeiro grau Para saber se uma função é polinomial do primeiro grau, devemos observar se o maior grau da variável (termo desconhecido), é igual a 1. Nessa função, o gráfico será uma reta. Além disso, ela possui: domínio x, imagem f(x) e coeficientes a e b. Fórmula geral da função afim ou b = coeficiente linear polinomial do primeiro grau (determina altura) () = + Exemplo de gráfico da = domínio função polinomial do () = imagem primeiro grau: () = a = coeficiente angular (determina + inclinação)

3 CURSO ALCANCE UFPR Matemática 13/08/2016 Página 3 de 6 3 Função Linear A função linear tem sua origem na função do primeiro grau como um caso particular (() = + ). Neste caso, sempre será igual a zero. Fórmula geral da função linear () = = domínio () = imagem a = coeficiente Exemplo de gráfico da função linear: () = A função polinomial do primeiro grau será crescente quando o coeficiente for maior do que zero ( > ). Exemplo de gráfico da função crescente: () = De modo semelhante, a função polinomial do primeiro grau será decrescente quando o coeficiente for menor do que zero ( < 0). Exemplo de gráfico da função decrescente: () = Função quadrática ou polinomial do segundo grau Identificamos que uma função é do segundo grau quando o maior expoente que acompanha a variável (termo desconhecido) é 2. O gráfico da função polinomial do segundo grau sempre será uma parábola. A sua concavidade muda de acordo com o valor do coeficiente a: se a é positivo, a concavidade é para cima e, se for negativo, é para baixo. Fórmula geral da função quadrática ou polinomial do segundo grau () = + + = domínio () = imagem = coeficiente que determina a concavidade da parábola, obrigatoriamente diferente de zero. b e c= coeficientes. Exemplo de gráfico da função polinomial do segundo grau: () = Função logarítmica Na função logarítmica, o domínio é o conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio é o conjunto dos números reais. Fórmula geral da função logarítmica () = = base do logaritmo ( > 0, 1) () = Imagem/ logaritmando = Domínio/logaritmo Exemplo de gráfico da função logarítmica: () = ( + )

4 CURSO ALCANCE UFPR Matemática 13/08/2016 Página 4 de 6 Exercícios Função do 1 Grau Uma função do 1 grau ou função afim é do tipo () = +, com e, sendo que R é o coeficiente de e R, o termo constante. O zero ou a raiz da equação é o valor de para o qual temos () = 0. Então, se () = + e queremos encontrar () = 0, faremos: () = 0 + = 0 = = Podemos dizer que a raiz de uma equação do 1 grau é dada por = O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ ,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ ,00, enquanto a segunda cobrou R$ ,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ ,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? a) 100n = 120n b) 100n = 120n c) 100(n + 350) = 120(n + 150) d) 100(n ) = 120(n ) e) 350(n ) = 150(n ) Resolução: Vamos identificar a primeira empresa descrita como Empresa A e a segunda como Empresa B. Podemos utilizar funções do 1 grau para descrever o preço cobrado por cada empresa. A empresa A tem um custo fixo de R$ ,00 e cobra R$ ,00 por km construído (n), então é o termo constante e é o coeficiente da variável n. A função que representa a empresa A é: = + = + Para a empresa B, podemos afirmar que o custo fixo de R$ ,00 é o termo constante e o valor de R$ ,00 por km construído (n) é o coeficiente da variável n. Portanto, a função do preço cobrado pela empresa B é: = + = + O valor cobrado pelas duas empresas será o mesmo quando =, então, temos: = + = + Dividindo ambos os membros da equação por 1000, teremos: + = + A alternativa que apresenta a equação correta é a letra a. Função do 2 Grau Uma função do tipo () = ² + +, com, e R, é uma função do 2 grau ou função quadrática. Os termos, e são ditos coeficientes, e deve ser necessariamente diferente de zero ( 0) para que se tenha uma função do 2º grau. Ela pode ter até duas raízes ou zeros da equação. Para determinar quais são os valores de, tais que () = 0, nós utilizamos a fórmula quadrática, conhecida no Brasil (e apenas no Brasil) como fórmula de Bhaskara : = ±, Δ = 4

5 CURSO ALCANCE UFPR Matemática 13/08/2016 Página 5 de 6 O gráfico de uma função do 2 grau é uma parábola. A partir de algumas fórmulas simples, podemos identificar os pontos notáveis da parábola. As coordenadas do vértice da parábola podem ser encontradas através de: = e = 1 - (Enem 2013) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei () = 6 +, onde é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é a) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) 6. RESOLUÇÃO Conhecendo a função do 2 grau 6 +, seus coeficientes são =, = e =. Vamos então identificar as coordenadas do vértice V da parábola: = Mas o vértice está localizado no = () eixo, logo =, portanto, temos: = = = = = () = ( ) = = + = + = + = 2 - Dada a função de domínio = { 3, 2, 0, 5 }, definida pela fórmula () = 2² + 1. Determine a sua imagem: Resolução: Neste exercício, o domínio é dado, = { 3, 2, 0, 5 } e o contradomínio são todos números reais. Como já estudamos, a imagem de um número é o elemento pertencente ao contradomínio que está relacionado à este número, e para achar estes número devemos aplicar sua lei de formaçào: - a imagem do -3 é também representada por f(-3), e f(-3)=2.(-3)² +1, então f(-3)=19 - f(2)=2.(2)²+1, então f(2)=9 - f(0)=2.(0)²+1, então f(0)=1 - f( )=2.( )²+1, então f( )=11 Agora que já achamos as imagens de todos pontos do domínio, podemos dizer que o conjunto imagem desta função é = {19, 9, 1, 11} 3 - (UFRGS) Para que a parábola da equação = + 1 contenha os pontos ( 2; 1) e (3; 1), os valores de a e b são, respectivamente, (A) e Resolução (B) e (C) e (D) e (E) e - os pontos dados são coordenadas (X, Y) então o que devemos fazer é substituir cada um deles em uma equação 1 = ( 2)² + ( 2) 1 1 = = 2 1 = (3)² + (3) 1 1 = = 2

6 CURSO ALCANCE UFPR Matemática 13/08/2016 Página 6 de 6 achamos duas equações com duas incógnitas. Agora devemos resolver o sistema formado pelas duas: 4 2 = = 2 - substituímos o valor de a na primeira equação e substituímos na segunda: 4 2 = 2 4 = = = Agora substituindo a expressão de na segunda equação: = = = = 4 15 = = 5 Voltamos para a primeira equação e substituímos o valor de para achar o valor de : 1 = = 3 = = = 1 3 Resposta certa letra "B". Função exponencial = 5 15 = Seja R R uma função definida por () = 3, em que a e b são constantes reais. Dado que (0) = 900 e (10) = 300, calcule tal que () = 100. Resolução f(0) = 900 f(x) = a * 3 bx f(0) = a * 3 b*0 900 = a * = a a = 900 f(10) = 300 f(x) = 900 * 3 bx f(10) = 900 * 3 10b 300 = 900 * 3 10b 300/900 = 3 10b 1/3 = 3 10b 3 1 = 3 10b 10b = 1 b = 1/10 b = 0,1 f(k) = 100 f(x) = a * 3 bx f(k) = 900 * 3 0,1k 100 = 900 * 3 0,1k 100/900 = 3 0,1k 1/9 = 3 0,1k 9 1 = 3 0,1k 3 2 = 3 0,1k 0,1k = 2 0,1k = 2 k = 20 O valor de na função exponencial de acordo com as condições fornecidas é 20.