Funções elementares com o Winplot

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - RS GRUPO PET MATEMÁTICA DA UFSM Funções elementares com o Winplot Antonio Carlos Lyrio Bidel Débora Dalmolin Fabricio Fernando Halberstadt Fernanda Somavilla 2011

2 Sumário 1 Funções Produto Cartesiano Relação entre dois conjuntos Função Domínio, Imagem, Contradomínio Domínio de Funções com quociente e radicais Identificação pelo gráfico do domínio e imagem de uma função Teste da reta vertical Função Bijetora, Injetora, Sobrejetora Injetividade Sobrejetividade Bijetividade Crescimento e Decrescimento de uma função Funções pares e ímpares Propriedades Funções elementares Funções de 1 grau Função Afim Função Linear Função constante Função Modular ou Valor Absoluto Gráficos Propriedades de módulo Equação Modular Função Inversa Método para determinar a inversa de uma função Função Composta Inequações do 1 o grau Inequação-produto

3 2.5.2 Inequação-quociente Inequação-potência Função Quadrática Raízes da função do 2 o grau Resolução de equações de 2 grau Gráficos Concavidade Vértice da parábola Eixo de Simetria Estudo do sinal da função Translações Inequações do 2 o grau Função Exponencial Gráficos Equações exponenciais Inequações Exponenciais Função Logarítmica Logaritmos Propriedades dos logaritmos Propriedades operatórias dos logaritmos Logaritmos Decimais e Neperianos Função Logarítmica Condição de existência Gráficos Equações Logarítmicas Funções Trigonométricas Seno e Co-seno de um arco trigonométrico Tangente de um arco trigonométrico Variação do sinal da tangente Identidades Trigonométricas As Funções Seno, Co-seno e Tangente Gráfico da Função y = sin x Gráfico da Função y = cos x Gráfico da Função y = tan x Funções Trigonométricas Inversas Função inversa do seno Função inversa do cosseno

4 Função inversa da tangente Funções Hiperbólicas Funções Polinomiais Gráficos Resolução de equações polinomiais de grau n O algoritmo de Briot-Ruffini Exercícios Propostos 68

5 Capítulo 1 Funções 1.1 Produto Cartesiano Considere os conjuntos A = {0, 4, 6} e B = {1, 3}. Ao conjunto C = {(0, 1), (0, 3), (4, 1), (4, 3), (6, 1), (6, 3)} formado por todos os pares ordenados onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo a B chamamos de produto cartesiano de A por B e indica-se por A B. 1.2 Relação entre dois conjuntos Para dois conjuntos A e B não-vazios denominamos relação de A em B todo subconjunto R de A B. No exemplo anterior, a relação R 1 = {(x, y) A B y = x 2 } é o subconjunto de A B formado pelos pares ordenados em que o segundo elemento (y) é a metade do primeiro (x). Assim: R 1 = {(6, 3)}. 1.3 Função Estudar-se-á um tipo particular de relação entre conjuntos denominada função. f : A B, representada pelo diagrama abaixo. Observe a relação 5

6 PET Matemática - UFSM 6 Note que todo elemento de A está associado através de f a um único elemento de B. Esta propriedade caracteriza uma função. Portanto: Definição 1 Dados dois conjuntos A e B, denominamos função toda relação f : A B na qual, para todo elemento de A, existe um único correspondente em B. (NOTAÇÃO: x A,! y B (x, y) f). Toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. Uma função f : A B pode também ser representada por: f = {(x, y) A B lei de formação }. A lei de formação de uma função é o critério utilizado para a obtenção dos pares ordenados (x, y) e é representada por y = f(x) onde x é denominado variável independente e y, variável dependente. Assim,uma função f é uma lei que associa um elemento x de um conjunto A não-vazio a um único elemento f(x) de um conjunto B também não vazio. Notação: f : A B ou y = f(x) tal que x A e f(x) B Exemplo 1 São dados A = {0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e f : A B, definida por: f = {(x, y) A B y = 2x + 1}. Para se obter os pares ordenados de f, substitui-se cada elemento x de A na lei de formação y = 2x + 1, obtendo o valor de y = f(x) correspondente ao valor de cada elemento x.

7 PET Matemática - UFSM 7 x A y = 2x y = = 1 1 y = = 3 2 y = = 5 Assim, a função f é representada pelos pares f = {(0, 1), (1, 3), (2, 5)}. Exercício 1 Dados os conjuntos A = {0, 1, 1, 3, 3} e B = {0, 3, 27, 3, 9, 1}, quais das relações seguintes são funções de A em B? a) f = {(x, y) A B y = 3x 2 } b) f = {(x, y) A B y = x} c) f = {(x, y) A B x > y + 3} d) f = {(x, y) A B y = 3} 1.4 Domínio, Imagem, Contradomínio Definição 2 O conjunto A é chamado domínio da função e denota-se por D(f) = A. O contradomínio da função é o conjunto B = CD(f) que contém todos os números que podem, eventualmente, ser relacionados aos elementos do domínio via f(x). A imagem da função é o conjunto de valores f(x) quando x varia no domínio de f. Denotamos a imagem da função por Im(f). Exemplo 2 Este diagrama representa f : A B: Nesse caso, temos: D(f) = A = { 1, 2, 3, 5} CD(f) = B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} Im(f) = {4, 5, 6} Desta maneira, dada uma função qualquer y = f(x), onde x A, o número a pertence ao conjunto Im(f) se a equação f(x) = a tem pelo menos uma solução em A. Além disso, observa-se uma estreita relação entre o contradominio e a imagem de f. Em particular, Im(f) CD(f) Domínio de Funções com quociente e radicais Caso 1 Quando a variável aparece do denominador de uma fração, a condição é de que o denominador da fração deve ser diferente de zero.

8 PET Matemática - UFSM 8 Caso 2 Quando a variável aparece no radicando de um radical de índice par, a condição é de que este radicando deve ser um número maior ou igual a zero. Caso 3 Quando a variável aparece no radicando de um radical de índice par e este se encontra no denominador de uma fração, a condição exigida é que este radicando deve ser maior que zero. Exemplo 3 Determinar o domínio da função f(x) = 1 x 8. O domínio de f é o conjunto de todos os números x, reais, de modo que que 1 também seja real. Tem-se x 8 1 R x R e x 8 0, ou seja, x 8. Portanto, D(f) = {x R x 8}. x 8 Exemplo 4 Determinar o domínio da função g(x) = x 4 x x 4 x 2 49 O domínio de g é o conjunto de todos os números x, reais, tais que também seja real. Assim: x 4 x 2 49 R x 4 0 e x2 49 0, ou seja, x 4 e x 7 e x 7. Fazendo a intersecção, temos: Portanto, D(f) = {x R x 7 e x 7}. Exercício 2 Determinar o domínio de cada uma das funções: a) f(x) = x 2 b) g(x) = x c) h(x) = x d) i(y) = 3 y + 5 y y Identificação pelo gráfico do domínio e imagem de uma função Quando temos o gráfico de uma função f podemos ler nos eixos coordenados o domínio e a imagem de f. Note que:

9 PET Matemática - UFSM 9 O domínio é constituído pelas abscissas x dos pontos do gráfico. A imagem é formada pelas ordenadas y dos pontos do gráfico. Exemplo 5 Analise graficamente o domínio e a imagem das seguintes funções: a) f(x) = xsen (x) b) g(x) = e x + x 2 a) Tomando o gráfico de f(x) = xsen (x) temos que Dom(f) = R e Im(f) = [, 2). b) Observando o gráfico da função g(x) = e x + x 2 temos que Dom(f) = Im(f) = R. Exercício 3 Analise graficamente o domínio e a imagem das seguintes funções: a) f(x) = 3 x + 1 b) g(x) = 1 xln (x) 1 c) h(x) = x4 + x d) b(x) = 1 + x

10 PET Matemática - UFSM Teste da reta vertical Uma curva no plano xy será uma função y = f(x) se, e somente se, nenhuma reta vertical intercepta a curva mais do que uma vez. A validade deste teste está diretamente ligada a definição de função pois, se tivermos uma reta vertical interceptando a curva em mais de um ponto, teremos dois valores distintos para y associados a um valor único de x. E, isto não caracteriza uma função. Por exemplo: x 2 + y 2 = 4 não representa uma função do plano xy, pois temos dois valores de y para um valor de x. Observe que qualquer reta vertical intercepta o círculo em dois pontos distintos. Porém, se tomarmos y = 4 x 2 e y = 4 x 2 e as considerarmos separadamente teremos que ambas são funções, pois são interceptadas apenas uma vez por qualquer reta vertical. Observe: 1.6 Função Bijetora, Injetora, Sobrejetora Injetividade Para quaisquer dois elementos x y pertencentes ao domínio de f(x) correspondem dois elementos f(x) f(y) na imagem de f. Teste da função injetora Se ao traçar retas paralelas ao eixo das abscissas (x), e elas interceptarem o gráfico da função uma só vez, então a função é injetora Sobrejetividade Para cada elemento y pertencente ao contradomínio da função existe um elemento x no domínio da função de tal maneira que f(x) = y. Ou seja, o contradomínio de f(x) é exatamente igual a imagem.

11 PET Matemática - UFSM Bijetividade Uma função f : A B é bijetora quando cada elemento do contradomínio B é a imagem de um único elemento do conjunto A. Ou seja, a função apresenta as propriedades injetiva e sobrejetiva. Observando os diagramas de flechas podemos ter uma visão mais geral de cada caso: Exercício 4 Quais das funções abaixo são injetora, sobrejetora ou bijetora? Exemplo 6 Considere a função g : R R definida por g(x) = 2x + 3. Esta função é injetora? E sobrejetora? É bijetiva? Injetividade: Noção intuitiva

12 PET Matemática - UFSM 12 Caso particular Para provar se uma função é injetora, deve-se mostrar que dados dois números a e b distintos do domínio suas imagens também são distintas. Por exemplo, como o domínio de g é o conjunto dos números reais podemos tomar a = 2 e b = 3. Assim, g(2) = = 7 e g(3) = = 9. Note, g(2) g(3) e, portanto, a função é injetora para estes valores. Teste da função injetora Observe que as retas paralelas ao eixo x traçadas interceptam o gráfico da função em apenas um ponto. Logo, g(x) é injetora. Demonstração Tome a, b R, a b. Para provar que a função é injetora é preciso mostrar que g(a) g(b). Suponha o contrário, ou seja, g(a) = g(b). Assim, g(a) = 2a + 3 = 2b + 3 = g(b) a = b, o que contradiz a hipótese inicial de a b. Logo, g(a) g(b) e, portanto, a função é injetora. Sobrejetividade: Noção intuitiva Caso particular Para provar se uma função é sobrejetora, deve-se mostrar que para cada elemento y do contradomínio existe um elemento x no domínio tal que g(x) = y. Por exemplo, como o contradomínio de g é o conjunto dos números reais podemos tomar y = 5. Para que função seja sobrejetora devemos encontrar um valor de x real tal que g(x) = 2x + 3 = 5 x = 1. Como 1 R, a função é sobrejetora.

13 PET Matemática - UFSM 13 Demonstração Seja y R. Para mostrarmos que a função é sobrejetora é necessário encontrar um valor de x R de modo que y = g(x). Como, g(x) = 2x+3, tem-se que y = 2x+3 x = y 3 2 que pertence ao domínio da função. Portanto, a função é sobrejetora. Bijetividade: Pelo fato da função ser injetora e sobrejetora, por definição, a função é bijetora. Exercício 5 Verifique se as funções são bijetoras. a) g : R R definida por g(x) = x 2 b) h : R + R definida por h(x) = x 2 c) f : R R definida por f(x) = x 3 d) j : R + R definida por j(x) = x e) c : R R definida por c(x) = 2 x Crescimento e Decrescimento de uma função Definição 3 Uma função é dita crescente sempre que dados x > y, ambos pertencentes ao domínio de f, teremos f(x) f(y). As funções f(x) = x e g(x) = x 3 são exemplos de funções crescentes. Definição 4 Uma função é dita decrescente sempre que dados x < y, ambos pertencentes ao domínio de f, teremos f(x) f(y). As funções f(x) = 5x + 3 e g(x) = x 3 são exemplos de funções decrescentes. Existem muitas funções que possuem intervalos de crescimento e decrescimento, como por exemplo a função h(x) = x 2. Observe: Esta função é decrescente no intervalo (, 0] e crescente no intervalo [0, + ). Exercício 6 Determine o intervalo de crescimento e decrescimento das funções abaixo: a) g : R R definida por g(x) = x 2 + 4

14 PET Matemática - UFSM 14 b) h : R R definida por h(x) = 2x c) g : R R definida por g(x) = 1 x d) g : R R definida por g(x) = x 1 2x Funções pares e ímpares Definição 5 Uma função f é dita par se, para todo x Dom(f), então x Dom(f), e: f( x) = f(x) Definição 6 Uma função f é dita ímpar se, para todo x Dom(f), então x Dom(f), e: f( x) = f(x) Tomando por base as definições acima de função par e ímpar, podemos, facilmente, observar que: A função par é simétrica em relação ao eixo y. LEMBRETE: Toda função par não é injetora A função ímpar é simétrica em relação a origem do sistema de coordenadas.

15 PET Matemática - UFSM 15 Exemplo 7 Verifique se a função h(x) = x 3 + x é par ou ímpar? Graficamente podemos ver que esta é uma função ímpar. Analiticamente temos que: h(x) = x 3 + x e assim h( x) = ( x) 3 + ( x) = x 3 x = (x 3 + x) = h(x). Como h( x) = h(x) a função é ímpar. Exercício 7 Verifique gráfica e analiticamente sobre a paridade das seguintes funções: a) h(x) = 2x b) k(x) = 3 x c) j(x) = x 4 + x Propriedades Sejam f(x) e g(x) duas funções. Define-se: Adição e Subtração de funções (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) Multiplicação de funções (f g)(x) = f(x) g(x) Em particular, tomando k R, teremos: (k g)(x) = k g(x) Divisão de funções ( ) f (x) = f(x) g g(x) com g(x) 0.

16 PET Matemática - UFSM 16 Os respectivos domínios destas novas funções são: Dom(f ± g) = Dom(f g) = Dom(f) Dom(g). ( ) f Dom = (Dom(f) Dom(g)) {x Dom(g) g(x) = 0}. g Geometricamente, o gráfico da soma, diferença, produto ou quociente de f e g tem, em cada ponto, uma ordenada que é respectivamente, a soma, a diferença, produto ou o quociente das ordenadas de f e g nos pontos correspondentes. Observe os gráficos da soma e do produto de funções:

17 Capítulo 2 Funções elementares 2.1 Funções de 1 grau A figura mostra um retângulo ABCD de lados 12cm e 18cm. Sobre AB marcou-se um ponto M a x cm de B. Através de M traçou-se M N // BC, obtendo desta forma dois retângulos. O perímetro y do retângulo MNCB é y = 2x + 24, que é uma função de x. Assim, para cada valor de x teremos um perímetro diferente para o retângulo. A área z do mesmo retângulo em cm 2, também é uma função de x e é definida por z = 12x. Novamente, para cada valor de x teremos um único valor de área associado a ele. Cada uma destas duas funções é um exemplo de função de 1 o grau Função Afim Também conhecida com função de primeiro grau, uma função f : R R chama-se afim quando existem constantes a e b reais, (a 0), tais que f(x) = ax + b para todo x R. O coeficiente a é chamado de coeficiente angular e b é chamado coeficiente linear. Exercício 8 Dada a função f(x) = 5x 2, determine: a) f( 3) 17

18 PET Matemática - UFSM 18 b) f(0) c) f( 2) d) f(x) = 13 e) f(x) = 12 Zero da função Chama-se zero ou raiz da função de 1 grau f(x) = ax + b o valor de x para o qual f(x) = 0. Assim: f(x) = 0 ax + b = 0 ax = b x = b a. Além disso, o gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox e que intercepta este eixo exatamente no ponto x = b. Portanto, a raiz da função f(x) = ax + b é a abscissa do ponto a ( b, 0) em que o gráfico corta o eixo dos x. a Exemplo 8 Determinar a raiz de f(x) = 2x + 1. Temos: 2x + 1 = 0 2x = 1 x = 1 2. Portanto, a raiz é x = 1 2 e o gráfico corta o eixo x exatamente no ponto ( 1, 0). Observe: 2 Existem diversas maneiras de determinar a lei da função tendo apenas o gráfico e dois pontos da mesma. A seguir, uma das maneiras mais comumente utilizadas: Exemplo 9 Na figura, é indicado o preço pago por uma corrida de táxi, em função da distância percorrida. Nestas condições, o valor a ser pago num trajeto de 5 Km é, em reais:

19 PET Matemática - UFSM 19 Como o gráfico é uma reta, a função é do 1 grau, cuja lei é y = ax + b. Para determinar a e b, substitui-se nesta lei os pontos (3, 6.25) e (6, 10). Veja: 6.25 = 3a + b 10 = 6a + b A resolução deste sistema fornece a = 1.25 e b = 2.5. Logo, a lei da função é y = 1.25x Para calcular o valor a ser pago num trajeto de 5 Km toma-se x = 5 e, assim, y = = Exercício 9 Um grupo de estudantes dedicado a confecção de produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em material, por unidade produzida e, além disso, tem-se um gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. Quantas unidades terão de vender para obterem um lucro de R$ 800,00? a) 7 b) 10 c) 12 d) 18 e) 20 Crescimento e decrescimento da função Observa-se uma relação entre o sinal do coeficiente angular e o crescimento/decrescimento da função. Se o sinal de a for positivo então a função será crescente e seu gráfico será do tipo:

20 PET Matemática - UFSM 20 Mas se o sinal de a for negativo então a função será decrescente e seu gráfico será do tipo: Análise do sinal da função A análise do sinal da função depende inicialmente do sinal que acompanha o coeficiente angular, ou seja, o valor de a. Assim, tome inicialmente o caso de a > 0: Note que: Temos a função f(x) > 0 sempre que x > b a Temos a função f(x) = 0 sempre que x = b a Temos a função f(x) < 0 sempre que x < b a

21 PET Matemática - UFSM 21 ou seja: Tomando o caso em que a < 0: Note que: Temos a função f(x) > 0 sempre que x < b a Temos a função f(x) = 0 sempre que x = b a Temos a função f(x) < 0 sempre que x > b a ou seja:

22 PET Matemática - UFSM 22 Exercício 10 Determine para que valores de p as funções reais abaixo são crescentes. a) f(x) = (p + 2)x + 3 b) f(x) = (5 3p)x + 1 c) f(x) = 2x + 2p d) f(x) = 2 p x Função Linear Uma função de primeiro grau é dita linear sempre que b = 0, ou seja, quando f : R R é definida como f(x) = ax O crescimento ou decrescimento da função é determinado pelo sinal do coeficiente angular da função. Assim: (a) a > 0 (b) a < 0

23 PET Matemática - UFSM 23 Observe que: Por ser uma função cujo coeficiente linear é nulo, o gráfico deste tipo de função é sempre uma reta que passa pela origem do plano cartesiano. Para todo x 1, x 2 R temos que f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ). f(1) = a, f(2) = f(1) + f(1) = 2a e, em geral, f(nx) = nf(x) para x R e n Z. Um caso particular de função linear é a função identidade, ou seja, uma função f : R R tal que f(x) = x. Neste caso, temos a = 1 e Dom(f) = Im(f). Exercício 11 Determine k e m reais, para que cada função abaixo seja linear. a) y = kx + m b) y = (2k 4)x 2m + 3 c) y = m 5 (4k 1)x d) y = (3k 9)x + (m 2 1) Função constante Uma função f é dita constante sempre que f : R R for definida por f(x) = b Ou seja, quando o coeficiente angular for nulo (a = 0). O gráfico de uma função constante é sempre uma reta paralela a um dos eixos coordenados. Assim, os gráficos de y = 2 e x = 3 são, respectivamente:

24 PET Matemática - UFSM Função Modular ou Valor Absoluto Esta função é definida por f : R R + tal que f(x) = x Relembremos a definição de módulo de um número qualquer: a, se a 0 a = a, se a < 0 Observe que sendo o valor absoluto de um número qualquer sempre positivo, temos Dom(f) = R e Im(f) = (0, + ) Gráficos O gráfico de uma função modular é formado por duas semi-retas de coeficientes angulares 1 e 1, respectivamente, que se interceptam em (0, 0). Desta forma, o gráfico de f coincide com a reta y = x nos pontos de abscissas x 0 e com a reta y = x nos pontos de abscissas x < Propriedades de módulo Dado um número real positivo a, tem-se que: x = a x = ±a

25 PET Matemática - UFSM 25 x < a a < x < a x > a x > a ou x < a Exercício 12 Sabendo que f(x) = x + 1, construir o gráfico, identificar o domínio, e o conjunto imagem de f. Animação 1 Execute as seguintes animações e verifique o que acontece no gráfico: a) f(x) = x + a b) g(x) = x + a c) h(x) = ( x ) 2 d) m(x) = a( x ) Equação Modular Exemplo 10 Resolver a equação f(x) = 2x + x 1 = 2. x 1, se x 1 Como x 1 = vamos resolver em dois casos: (x 1), se x < 1

26 PET Matemática - UFSM 26 Caso x 1 Neste caso temos a equação 2x + (x 1) = 2, cuja raiz é x = 1. Mas esta raiz não satisfaz a 3 condição x 1; portanto, não pertence ao conjunto solução. Caso x < 1 Neste caso temos a equação 2x + [ (x 1)] = 2, cuja raiz é x = 3. Esta raiz satisfaz a condição x < 1; logo, pertence ao conjunto solução. Portanto, S = { 3}. Exercício 13 Resolver a equação x 2 2x 5 = Função Inversa Definição 7 Considerando a função f : A B bijetora, chamamos de função inversa de f a função g : B A tal que f(m) = n se, e somente se, g(n) = m para todo m A e n B. Observe que Im(f) = Dom(g) e Im(g) = Dom(f). Se f for uma função invertível denotamos a sua inversa por f 1 (x). Além disto, o gráfico de f 1 (x) é simétrico ao gráfico de f(x) em relação a reta y = x. Observe: Método para determinar a inversa de uma função Para funções mais simples, convém fazer o teste da função injetora para avaliar a existência ou não de uma função inversa. Caso alguma reta intercepte o gráfico de f em mais de um ponto, então esta função não é injetora e, consequentemente, não será bijetora, contrariando a condição inicial. A função inversa pode ser determinada através dos seguintes passos:

27 PET Matemática - UFSM 27 Escrever a função y = f(x) que define a função. Permutar y com x. Obter, novamente, uma função de x, ou seja, isolando a variável y no primeiro membro da equação. Exemplo 11 Dados A = { 2, 1, 0, 1, 2} e B = { 3, 1, 1, 3, 5}, consideremos a função f : A B definida por f(x) = 2x + 1. f = {( 2, 3); ( 1, 1); (0, 1); (1, 3); (2, 5)}. Como f é uma função bijetora, podemos associar a todo elemento y de B um único elemento x de A, tal que y = f(x). A essa nova função de B em A chamaremos função inversa da função f e indicaremos por f 1 (x). Portanto: f 1 (x) = {( 3, 2); ( 1, 1); (1, 0); (3, 1); (5, 2)}. Observe que se o par (a, b) f, então o par (b, a) f 1 (x). Determinemos então a lei que define f 1 (x), no caso em que f(x) = 2x + 1. Permutando x por y na equação obtemos x = 2y + 1. Isolando a variável y no primeiro membro da equação temos y = x 1, que é a função inversa de f(x). 2 Exercício 14 Algumas das figuras abaixo representam gráficos de funções. a) Quais dos gráficos representam funções? b) Quais representam funções que admitem função inversa? c) Usando a simetria em relação à reta y = x construa o gráfico daquelas que admitem função inversa.

28 PET Matemática - UFSM 28 Exercício 15 Dada f(x) = x 3 3 4, obtenha f 1 (x) e calcule: a) f(f 1 (10)) b) f 1 (f(10)) c) f(f 1 (x)) d) f 1 (f(x)) 2.4 Função Composta Definição 8 Considerando as funções f : A B e g : B C temos que a função composta de g com f é a função g f : A C sendo

29 PET Matemática - UFSM 29 (g f)(x) = g[f(x)] Note que Im(f) Dom(g) e, por isso, a definição (g f)(x) = g[f(x)] tem sentido. OBS: Em geral, (f g)(x) (g f)(x). Exemplo 12 Sendo f(x) = 5x e g(x) = x 3, obter: a) (g f)(2) b) (f g)(2) a) Primeiramente, calcula-se f(2). Temos que f(2) = 5 2 = 10. Então g(f(2)) = g(10) = 10 3 = Assim, (g f)(2) = b) Primeiramente, calcula-se g(2). Temos que g(2) = 2 3 = 8. Então f(g(2)) = f(8) = 5 8 = 40. Assim, (f g)(2) = 40 Exercício 16 Considere as funções f(x) = x 2, g(x) = 2x + 1 e h(x) = x 1, de R R, determine as 2 leis de definição: a) (g f)(x) b) (h f)(x) c) (g g)(x) d) (f h) (h g) Exercício 17 Dadas f(x) = x e (f g)(x) = 2x 2 + 1, determine a função g(x). 2.5 Inequações do 1 o grau Chama-se inequação do 1 o grau na variável x toda inequação que se reduz a uma das formas: ax + b 0, ax + b > 0, ax + b 0, ax + b < 0 em que a e b são números reais quaisquer, com a 0. Resolve-se uma inequação do 1 o grau aplicando-se as propriedades de desigualdade.

30 PET Matemática - UFSM 30 Exemplo 13 Resolver a inequação 5x em U = R. Temos: 5x x 10 5x 10 x 2. Logo, S = {x R x 2} Inequação-produto Dadas as funções f(x) e g(x), chama-se inequação-produto toda inequação do tipo: f(x) g(x) 0, f(x) g(x) > 0, f(x) g(x) 0 ou f(x) g(x) < 0. Para obter o conjunto solução da inequação, determina-se o sinal do produto f(x) g(x) analisando-se o sinal de f(x) e g(x). Exemplo 14 Resolver a inequação (x + 2) ( 2x + 3) 0 em U = R. Dados f(x) = (x + 2) e g(x) = ( 2x + 3), estudaremos o sinal de cada função: Zero de f(x) Zero de g(x) x + 2 = 0 x = 2. 2x + 3 = 0 x = 3 2 Como a = 1 > 0, a função é crescente. Como a = 2 < 0, a função é decrescente. Analisando o sinal de cada função e determinando o sinal do produto, temos: Assim, a solução é S = {x R 2 x 3 2 }. Exercício 18 Dê o conjunto solução das inequações-produto: a) ( x + 8) ( 2x + 6) ( 4 + 3x) 0 b) (2 x) (1 x) (3 x) < 0 c) ( 2x + 4) (3 2x) ( x) > 0

31 PET Matemática - UFSM Inequação-quociente Dadas as funções f(x) e g(x), chama-se inequação-quociente toda inequação do tipo: f(x) f(x) f(x) f(x) 0, > 0, 0 ou g(x) g(x) g(x) g(x) < 0 Para obter o conjunto solução da inequação, determina-se o sinal do quociente f(x) analisando-se o sinal g(x) de f(x) e g(x). Exemplo 15 Resolver a inequação 3x 4 x 2 > 0. Dados f(x) = 3x 4 e g(x) = x 2, estudaremos o sinal de cada função: Zero de f(x) Zero de g(x) 3x 4 = 0 x = 4 3. x 2 = 0 x = 2 Como a = 3 > 0, a função é crescente. Como a = 1 > 0, a função é crescente. Analisando o sinal de cada função e determinando o sinal do quociente, temos: Assim, a solução é S = {x R x < 4 3 ou x > 2}. Exercício 19 O conjunto solução da inequação 2x 3 1 é o seguinte intervalo: 3x 2 a) ], 1] b) c) ], 2 ] 3 [ 1, 2 [ 3 d) [ 1, + [ e) [ ] 2 3, 1

32 PET Matemática - UFSM Inequação-potência Dada a função f(x) e o número natural n (n 2), chama-se inequação-potência toda inequação do tipo: [f(x)] n 0, [f(x)] n > 0, [f(x)] n 0 ou [f(x)] n < 0 Observe que: Se n for par, então a potência nunca será negativa, será positiva para f(x) 0 e nula se f(x) = 0. Se n for ímpar, o sinal que a potência assumirá dependerá do sinal da base. Ou seja, será negativa se f(x) < 0, será positiva se f(x) > 0 e será nula se f(x) = 0. Exemplo 16 Resolver as inequações abaixo: a) (2x 6) 4 0 b) (2x 6) 4 < 0 c) (2x 6) 4 > 0 d) (2x 6) 4 0 Como n = 4(par), então a potência (2x 6) 4 nunca será negativa. Ela será positiva se (2x 6) 0 e será nula se (2x 6) = 0. Assim, temos: a) (2x 6) 4 0 S = R. b) (2x 6) 4 < 0 S =. c) (2x 6) 4 > 0 (2x 6) 0 x 3. Logo, S = {x R x 3}. d) (2x 6) 4 0 2x 6 = 0 x = 3. Logo, S = {3}. Exercício 20 Dada a inequação (x 2) 7 (x 10) 4 (x + 5) 3 < 0, o conjunto solução é: a) {x R x < 5} b) {x R 2 < x < 10} c) {x R 5 < x < 2} d)

33 Capítulo 3 Função Quadrática A figura mostra um quadrado com 20cm de lado. Dele foram retirados: de cada canto superior, um quadrado cujo lado mede x cm. de cada canto inferior um retângulo de 12cm por x cm. A área y do polígono em forma de cruz é uma função de x, definida por y = 400 2(12x) 2(x 2 ), onde 400 corresponde a área do quadrado, 2(12x) corresponde a área dos retângulos dos cantos inferiores, 2(x 2 ) corresponde a área dos quadrados dos cantos superiores. A função y definida acima é um exemplo de função do 2 o grau. Definição 9 Uma função f : R R é dita função quadrática ou de 2 o constantes a, b e c reais, (a 0), tais que grau quando existem f(x) = ax 2 + bx + c para todo x R. 3.1 Raízes da função do 2 o grau Dada a função f(x) = ax 2 + bx + c, os valores de x para os quais f(x) = 0 são chamados raízes ou zeros da função. 33

34 PET Matemática - UFSM Resolução de equações de 2 grau Equações incompletas As equações do 2 o grau que têm b = 0 ou c = 0 são chamadas de equações incompletas e tem forma de resolução distinta. Caso c = 0 Exemplo 17 Resolver a equação x 2 2x = 0. Coloca-se a variável x em evidência: x (x 2) = 0. Lembrando que um produto é igual a zero somente se pelo menos um dos fatores for zero, assim tem-se: x = 0 ou x 2 = 0 Logo o conjunto solução será S = {0; 2}. Caso b = 0 Exemplo 18 Resolver a equação 4x 2 1 = 0. Temos: 4x 1 = 0 x 2 = x = ± 4 = ±1 2. O conjunto solução é S = { 1 2 ; 1 2 }. Equações completas Para equações completas da forma f(x) = ax 2 + bx + c = 0 resolvemos da seguinte maneira: Dividimos ambos os membros por a: x 2 + b a x + c a = 0 x2 + b a x = c a Somando b2 a ambos os membros, temos: 4a2 x 2 + b a x + b2 4a 2 = c a + b2 4a 2 ( x + b ) 2 = b2 4ac 2a 4a 2 Caso b 2 4ac 0, vem que: ( x + b ) b2 4ac = ± 2a 2a x = b ± b 2 4ac 2a x = b 2a ± b2 4ac 2a Esta fórmula que permite obter raízes de equação do 2 o grau, é conhecida como fórmula de Bháskara. Denominamos de discriminante de uma equação do 2 o grau, ao número b 2 4ac, que se representa pela letra grega (lê-se: delta). Assim, através da fórmula de Bháskara calcula-se as raízes e infere-se que:

35 PET Matemática - UFSM Gráficos > 0 as duas raízes são números reais e distintos. = 0 as duas raízes são números reais iguais. < 0 não existem raízes reais. O gráfico de uma função quadrática é uma curva aberta chamada parábola Concavidade A concavidade da parábola está diretamente relacionada com o sinal que acompanha o coeficiente a do termo x 2. Ou seja, se o coeficiente a for positivo, então a concavidade da parábola será voltada para cima. Caso o coeficiente a for negativo, então a concavidade será voltada para baixo. Animação 2 Faça a animação das seguintes funções e observe o que ocorre com o gráfico das mesmas: a) f(x) = a(x 2 ) + 2x + 1 b) g(x) = x 2 + ax + 1 c) h(x) = x 2 + 2x + a Vértice da parábola Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou mínima. A esse ponto dá-se o nome de vértice da parábola e será representado por V (x v ; y v ). Cálculo da abscissa do vértice Dada a função do 2 o grau y = ax 2 + bx + c, sendo x v a abscissa do vértice da parábola correspondente, os pontos de abscissas x v p e x v + p possuem ordenadas iguais, observe:

36 PET Matemática - UFSM 36 Assim: a(x v p) 2 + b(x v p) + c = a(x v + p) 2 + b(x v + p) + c ax 2 v 2ax v p+ ap 2 + bx v bp = ax 2 v +2ax v p+ ap 2 + bx v +bp 2ax v p 2ax v p = bp + bp 4ax v p = 2bp 2ax v p = bp x v = b 2a Cálculo da ordenada do vértice Substituindo x por x v = b 2a na função y = ax2 + bx + c, temos: ( ) 2 ( ) b b y v = a + b + c = ab2 2a 2a 4a 2 b2 2a + c = b2 + 4ac 4a Lembre que na equação do 2 o grau = b 2 4ac, dessa forma podemos escrever y v = 4a Portanto o vértice V da parábola da função y = ax 2 + bx + c é o ponto: ( b 2a ; f ( )) ( b ou b 2a 2a ; ) 4a onde a função tem seu valor máximo ou mínimo, dependendo da concavidade da parábola Eixo de Simetria Para melhor entendimento do eixo de simetria da parábola, observe novamente a figura:

37 PET Matemática - UFSM 37 Os pontos que possuem abscissas simétricas em relação a abscissa do vértice possuem ordenadas iguais e os pontos da parábola que têm a mesma ordenada possuem abscissas simétricas em relação a abscissa do vértice. Ou seja, f(x v + p) = f(x v p), para qualquer valor de p. Em razão disto, pode-se dizer que a parábola é simétrica em relação a reta que passa por x v, paralelamente ao eixo y. A esta reta dá-se o nome de eixo de simetria. 3.3 Estudo do sinal da função O estudo do sinal da função do 2 o grau é feito determinando-se as suas raízes (se existirem) e analisando o esboço do gráfico. Caso > 0 há duas raízes reais e distintas. Neste caso, a parábola corta o eixo x nos pontos de abscissas x e x. Caso = 0 há duas raízes reais e iguais. Neste caso, a parábola tangencia o eixo x no ponto de abscissa x. Caso < 0 não há raízes reais. Neste caso, a parábola não tem nenhum ponto comum com o eixo x.

38 PET Matemática - UFSM Translações Translações horizontais Dada uma função f(x) = ax 2 + bx + c, uma função g(x) = f(x ± k), k R, possui um gráfico transladado horizontalmente em relação a função f. Observe:

39 PET Matemática - UFSM 39 Translações verticais Dada uma função f(x) = ax 2 + bx + c, uma função g(x) = f(x) ± k, k R, possui um gráfico transladado verticalmente em relação a função f. Observe: Animação 3 Execute as seguintes animações e observe as translações dos gráficos: a) f(x) = (x + a) 2 b) f(x) = x 2 + a Exercício 21 De forma semelhante a função quadrática, verifique se ocorre translação horizontal e/ou vertical nos gráficos das seguintes funções: a) x b) 4 x 2 c) x 2 + 6x d) 3 x + 5

40 PET Matemática - UFSM Inequações do 2 o grau Chama-se inequação do 2 o grau na variável x toda inequação que se reduz a uma das formas: ax 2 + bx + c 0, ax 2 + bx + c > 0, ax 2 + bx + c 0, ax 2 + bx + c < 0 em que a, b e c são números reais quaisquer, com a 0. Resolve-se uma inequação do 2 o grau aplicando-se as propriedades de desigualdade, de forma análoga as inequações do 1 o grau. Exercício 22 Resolva as inequações: a) x 2 + 7x < x 8 b) x 2 + 7x x 8 c) x 2 + 7x > x 8 d) x 2 + 7x x 8 Exercício 23 Resolva a inequação (2x 3) (x 2 3x 10) (1 x 2 ) > 0.

41 Capítulo 4 Função Exponencial Numa certa cultura de bactérias, observou-se que o número de indivíduos duplicava a cada hora. Considerando uma população inicial de 4 bactérias, teremos: Após a 1 a hora, o número de bactérias será de: y 1 = 4 2 = 8 bactérias; Após a 2 a hora, o número de bactérias será de: y 2 = (4 2) 2 = = 16 bactérias; Após a 3 a hora, o número de bactérias será de: y 3 = (4 2 2 ) 2 = = 32 bactérias; A lei que expressa o número de bactérias y em função do tempo em horas x é definida por y = 4 2 x. Outro acontecimento que pode ser expressado de forma semelhante a esta é o cálculo do montante de dinheiro existente numa caderneta de poupança que rende 5 % ao mês M = C ( ) x, onde C corresponde ao capital empregado e x o número de meses da aplicação. Cada uma destas duas funções é um exemplo de função exponencial. 41

42 PET Matemática - UFSM 42 Definição Propriedades Sendo a R +, m Z e n Z +, temos se m > 1 então a m = a a a...a; se m = 1 então a m = a; Sendo a e b números reais e positivos, com m e n números racionais, são válidas as seguintes propriedades: se m = 0 então a m = 1; a m a n = a m+n ; se m = 1 então a m = 1 a ; am : a n = a m n ; ( ) m 1 se m < 1 então a m = ; (a b) m = a m b m ; a a m n = n ( a ) m a m a m ; = b b m (a m ) n = a m n Definição 10 Dado um número real a, (a R +, a 1), chama-se função exponencial de base a a função f : R R + definida por f(x) = a x 4.1 Gráficos Observe os gráficos das funções f(x) = (2) x e g(x) = ( ) x 1 3 (c) f(x) = 2 x (d) g(x) = ( ) 1 x 3 Observe que no gráfico de f(x), quanto menor o valor de x mais os pontos do gráfico se aproximam do eixo x, sem atingi-lo. Isto ocorre pelo fato de não existir nenhum valor de x real tal que f(x) = 2 x = 0. No gráfico de g(x), no entanto, quanto maior o valor de x mais os pontos do gráfico se aproximam ( ) do eixo x 1 x, sem atingi-lo. Isto ocorre pelo fato de não existir nenhum valor de x real tal que f(x) = = 0. 3 Quando isto ocorre, a reta O x é chamada assíntota à curva. Além disso, pode-se examinar que:

43 PET Matemática - UFSM 43 Quando a > 1, como em f(x), a função é crescente, ou seja, quanto maior o expoente x, maior é a potência a x. Quando 0 < a < 1, como em g(x) a função é dita decrescente, ou seja, quanto maior o expoente x, menor é a potência a x. Para uma função f(x) = a x : O domínio de uma função exponencial é R, ou seja, Dom(f) = R. A imagem de uma função exponencial é R +, ou seja, Im(f) = R +. Como x R, temos a x > 0 e por isso o gráfico da função fica todo acima do eixo x. A função é injetora, pois se x 1 x 2, então a x1 a x2. A função é sobrejetora, pois y R + existe x R tal que y = a x. No caso de a > 1, a função é crescente, pois se x 1 > x 2, então a x1 > a x2. No caso de 0 < a < 1, a função é decrescente, pois se x 1 > x 2, então a x1 < a x Equações exponenciais Denominamos equação exponencial a sentença a x = b em que a eb são números reais conhecidos (a > 0 e a 1) e x é a incógnita. Se conseguimos expressar o número b como uma potência de base a, b = a α, então recaímos em cuja única solução é x = α. Exemplo 19 Resolver a equação 9 x = 3. Como 3 = e 9 x = (3 2 ) x = 3 2x, temos: 9 x = 3 3 2x = x = 1 2 Exercício 24 Resolver as equações: a) 6 x2 2x+1 = 1 a x = a α x = 1 4. Logo S = { 1 4 }. b) 2 4 x 3 9 x = 0 c) 9x+1 3 x+2 27 x 3 x 5 = 1 d) 2 x+1 = 4 2

44 PET Matemática - UFSM 44 Exemplo 20 Determine o conjunto solução da equação (3 2 x+1 ) (4 2 x 2 ) (6 2 x ) = 4. Como 2 x+1 = 2 x 2 e 2 x 2 = 2x 2 = 2x 4, então: (3 2 x 2) (4 2x 4 ) (6 2x ) = 4. Fazendo 2 x = y, obtemos: (6 y) y (6 y) = 4 y = 4 y = 4. Como y = 2 x 2 x = 4 x = 2. O conjunto solução é S = {2}. Exercício 25 Determine o conjunto solução das equações: a) 9 x (4 3 x ) + 3 = 0 b) 4 x + (6 2 x ) = 16 c) 2x + 2 x 2 x 2 x = 3 2 x+y 2 = 30 Exemplo 21 Sejam x e y os números reais que tornam verdadeiras as sentenças 2 x y 2 = 0 Observe que 2 x+y = = 32 2 x+y = 2 5 x + y = 5. x + y = 5 Além disso, 2 x y = 2 x y = 1. Assim, temos x y = 1 Resolvendo o sistema, obteremos x = 3 e y = 2. Exercício 26 Encontre a solução dos seguintes sistemas propostos: 2 x+y = 16 a) 3 x y = 9 2 x 2 y = 2 b) x + y = 3 3 x = 81y c) 9 x+1 = 9y 4.3 Inequações Exponenciais Denominamos inequações exponenciais às sentenças a x > b, a x < b, a x b, a x b em que a e b são números reais conhecidos (a > 0 e a 1) e x é a incógnita. Se conseguimos expressar o número b como uma potência de base a, b = a α, então recaímos respectivamente em : a x > a α, a x < a α, a x a α, a x a α. A resolução destas inequações e, em geral, de inequações do tipo a f(x) > a g(x), a f(x) < a g(x), a f(x) a g(x), a f(x) a g(x) baseia-se na propriedade do crescimento ou decrescimento da função exponencial de base a.

45 PET Matemática - UFSM 45 Caso a > 1: a f(x) > a g(x) f(x) > g(x) conserva-se Caso 0 < a < 1: a f(x) > a g(x) f(x) < g(x) ( ) 4x+4 1 Exemplo 22 Obter o conjunto-solução da inequação < 2 ( ) [ 4x+4 (1 ) ] 3 x+3 ( ) 4x+4 ( ) 3x Como < < Pelo fato da base a da potência ser 0 < a < 1, temos: ( ) 4x+4 1 < 2 ( ) 3x+9 1 4x + 4 > 3x + 9 x > 5. 2 inverte-se ( ) x Assim, o conjunto solução S = {x R x > 5}. Exercício 27 Obtenha o conjunto solução de: a) 2 x x+2 48 b) 3 2x 12(3 x ) c) ( ) x+1 5 < d) x < 9 x+1 (Dica: Resolva a primeira com a segunda inequação, após faça a segunda com a terceira e interseccione os intervalos).

46 Capítulo 5 Função Logarítmica Considere o seguinte problema: O número de indivíduos de uma população de bactérias no instante t é definido pela função f(t) = 30 3 t, em que t é o tempo em minutos. Deseja-se saber após quantos minutos esta população chegará a bactérias. Do problema temos: = 30 3 t = 3 t = 370. Veja que não é possível obter potências de bases iguais nos dois membros. Para resolver o problema faremos o uso de logaritmos. O número t que é solução da equação 3 t = 370 é denominado logaritmo de 370 na base 3. Representamos: t = log (leia-se: log de 370 na base 3) 5.1 Logaritmos Definição 11 Seja a R +, (a 1). Se b > 0, o número x que é solução da equação a x = b é denominado logaritmo de b na base a. Exemplo 23 Calcule log log a b = x a x = b log = x 5x = x = 5 2 x = Propriedades dos logaritmos Propriedades de logaritmo log a 1 = 0 log a a = 1 log a a m = m(log a a) = m a log a b = b 46

47 PET Matemática - UFSM Propriedades operatórias dos logaritmos Logaritmo de um produto log a (m n) = log a m + log a n ; m > 0, n > 0, a > 0 e a 1 Aplicando a definição de logaritmos, temos: log a m = x a x = m (1) log a n = Y a y = n (2) log a (m n) = z a z = m n (3) Substituindo (1) e (2) em (3), temos: a z = a x a y a z = a x+y z = x + y Logo, log a (m n) = log a m + log a n Essa propriedade vale também para n fatores reais positivos: log a (m 1 m 2...m n ) = log a m 1 + log a m log a m n Logaritmo de um quociente log a ( m n ) = log a m log a n, onde n 0 ; m > 0, n > 0, a > 0 e a 1 Aplicando a definção de logaritmo: log a m = x a x = m (1) log a n = Y a y = n (2) log a ( m n ) = z az = m n (3) Substituindo (1) e (2) em (3), temos: a z = ax a y a z = a x y z = x y Logo, log a ( m n ) = log a m log a n Cologaritmo O logaritmo do inverso de um número m > 0, ou ainda, o oposto do logaritmo de m é denominado cologaritmo de m na base a. colog a m = log a ( 1 m ) = log a m, a > 0 e a 1 Observe que: log a ( 1 m ) = log a 1 log a m = log a m Logaritmo de uma potência log a (m) n = n log a m, m R +, n R +, a R + e a 1 Observe a demostração dessa propriedade: log a m = x a x = m (1) log a (m) n = Y a y = (m) n (2) Substituindo (1) em (2), temos:

48 PET Matemática - UFSM 48 a y = (a x ) n a y = a x n y = n x Logo, log a (m) n = n log a m Mudança de base log a m = log b m, m > 0, n > 0, a > 0, a 1, b > 0 e b 1 log b a Vamos demostrar essa propriedade: log a m = x a x = m (1) Aplicando logaritmo de base b nos dois membros da igualdade (1): log b (a) x = log b m x log b a = log b m x = log b m log b a Logo, x = log b m log b a Exercício 28 Sabendo que log a b = 5, determine o valor de x, solução de a x+1 = b a. Exercício 29 O número real x que satisfaz a equação log 2 (12 2 x ) = 2x é: a) log 3 2 b) log 2 3 c) log 3 4 d) log x y = 16 Exercício 30 Sendo U = {(x, y) R R}, o conjunto solução do sistema log 2 (x 1) + log 2 y = 1 é: a) {(4, 2), (1, 1)} b) {(1, 3)} c) {(3, 1)} d) {(0, 2), (3, 1)} Exercício 31 Dadas as afirmações: 1. Se log a = x e log b = y, então log(a + b) = x + y. 2. Se x e y são números reais positivos e diferentes de 1, então log x y log y x = log x log y + log z = log As afirmações verdadeiras são: a) 1, 2 e 3 b) 1 e 2 c) 2 e 3 d) Somente a afirmação 2 e) Somente a afirmação 3 x y z.

49 PET Matemática - UFSM Logaritmos Decimais e Neperianos Os logaritmos na base 10 são também chamados logaritmos decimais. logaritmo sem indicar o valor da base Costuma-se representar o log b = log 10 b Os logaritmos na base e são também chamados logaritmos naturais ou logaritmos neperianos, em homenagem a John Napier ( ), um escocês que foi um dos iniciadores da teoria dos logaritmos. Representa-se pelo símbolo ln não escrevendo a base ln b = log e b 5.2 Função Logarítmica Definição 12 Dado um número a, a > 0 e a 1, chamamos função logarítmica de base a a função f(x) = log a x definida para todo x > 0. Note que a função logarítmica y = log a x é a inversa da função exponencial y = a x. Observe graficamente que estas são simétricas independente do valor da base a Condição de existência Quando definimos o número log a b, colocamos algumas restrições sobre os números a e b: tomando b > 0, a > 0 e a 1. As condições a > 0 e a 1 resultam da função exponencial f(x) = a x, enquanto que b > 0 é a condição para que a equação a x = b tenha solução. Assim, log a b existe, se e somente se, b > 0, a > 0 e a 1 Desta forma, o domínio de f(x) = log a x é definido de tal forma que x > 0. Assim, satisfeitas estas condições, na comparação de dois logaritmos de mesma base log a x e log a α, temos:

50 PET Matemática - UFSM 50 Caso a > 0 Caso 0 < a < 1 log a x = log a α x = α > 0 log a x = log a α x = α > 0 log a x > log a α x > α > 0 log a x > log a α 0 < x < α log a x < log a α 0 < x < α log a x < log a α x > α > 0 conserva-se inverte-se Exemplo 24 Estabelecer o domínio da função f(x) = log(2x 4). Notemos que f é a função composta da função logarítmica (de base 10) com a função g(x) = 2x 4: f(x) = log(g(x)) Para estabelecer o domínio devemos impor a condição de existência do logaritmo: log(g(x)) existe se, e somente se, g(x) > 0 Então devemos ter 2x 4 > 0, isto é, x > 2. O domínio é, portanto, D = {x R x > 2}. Exercício 32 Dê o domínio de cada uma das funções: a) f(x) = log 8 ( x ) b) g(x) = log(x 2 6x + 9) c) h(x) = log 3x+5 3 d) j(x) = log x 1 (16 x 2 ) e) m(x) = log x2 9(x 2 3x 10) Exercício 33 Determine os valores reais de a tais que: a) y = log a 3 x é crescente. b) y = log 2 a x é crescente. c) y = log 1 a 2 x é decrescente. 5.3 Gráficos Observe os gráficos das funções f(x) = log 2 x e g(x) = log 1 3 x

51 PET Matemática - UFSM 51 Tanto no gráfico de f(x), quanto no gráfico de g(x), quanto menor o valor de x mais os pontos do gráfico se aproximam do eixo y, no entanto, sem atingi-lo. Isto ocorre pelo fato do domínio de f(x) estar definido nos valores de x > 0. A reta O y é chamada assíntota à curva. Além disso, pode-se examinar que: Quando a > 1, como em f(x), a função é crescente, ou seja, quanto maior o logaritmando x, maior é o valor de log 2 x. Quando 0 < a < 1, como em g(x), a função é dita decrescente, ou seja, quanto maior o logaritmando x, menor é o valor de log 1 3 x. Para uma função f(x) = log a x: O domínio de uma função logarítmica é R +, ou seja, somente os números positivos. A imagem de uma função logarítmica é R, ou seja, qualquer número real é logaritmo de algum número real positivo, em uma certa base. Como x > 0, temos log a x o gráfico da função fica todo à direita do eixo y. A função é injetora, pois se x 1 x 2, então log a x 1 log a x 2. A função é sobrejetora, pois y R existe x R + tal que y = log a x. No caso de a > 1, a função é crescente, pois se x 1 > x 2, então log a x 1 > log a x 2. No caso de 0 < a < 1, a função é decrescente, pois se x 1 > x 2, então log a x 1 < log a x Equações Logarítmicas Usando as seguintes equivalências, válidas para a > 0 e a log a f(x) = k f(x) = a k (k R) 2. log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x) > 0 Resolve-se equações envolvendo funções compostas com a função logarítmica. Exemplo 25 Resolver a equação log 2 (x 2 2x + 1) = 2. Da condição 1, temos: 2 2 = x 2 2x + 1 x 2 2x 3 = 0 x = 2 ou x = 1.

52 Capítulo 6 Funções Trigonométricas 6.1 Seno e Co-seno de um arco trigonométrico Considere na circunferência trigonométrica (raio r = 1) um arco ÂM de medida α, com 0 < α < 90. No triângulo retângulo tem-se: cos α = cateto adjacente hipotenusa = OP 1 = OP sin α = cateto oposto hipotenusa = MP 1 = MP Verifica-se que as medidas OP e MP são abscissas e ordenadas do ponto M, respectivamente. Definição 13 Dado um arco trigonométrico ÂM de medida α, denominam-se seno e cosseno de α a abscissa e ordenada do ponto M, respectivamente. 52

53 PET Matemática - UFSM 53 Da definição de seno e co-seno teremos: cos α = abcissade M = x m sin α = ordenada M = y m cos 0 = 1 sin 0 = 0 cos 90 = 0 sin 90 = 1 cos 180 = 1 sin 180 = 0 cos 270 = 0 sin 270 = 1 cos 360 = 1 sin 360 = 0 Podemos para cada valor de α associar um ponto (x, y), com x = cos α e y = sin α, no plano cartesiano da circunferência trigonométrica. Assim, tem-se a seguinte distribuição de sinais nos quadrantes para os pares ordenados (x, y).

54 PET Matemática - UFSM Tangente de um arco trigonométrico Considere na circunferência trigonométrica um arco ÂM de medida β. Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A. O prolongamento do raio OM intercepta a reta t no ponto T. No triângulo retângulo temos: Como OA = 1, obtemos: tan β = AT OA tan β = AT 1 = tan β = AT Considere como eixo das tangentes o eixo real t, perpendicular ao eixo das abscissas, com origem A e a mesma orientação das ordenadas. Definição 14 Dado um arco trigonométrico ÂM, M B e M (onde B e B estão na figura B 6.1 na página 53), de medida α, chama-se tangente de α (tan α) a ordenada do ponto T obtido pela intersecção do prolongamento do raio OM com o eixo das tangentes. Observe que o ponto M não pode coincidir com B nem com B, pois os prolongamentos dos raios OB e OB não interceptam o eixo das tangentes. Portanto, não existem x, y R tais que tan 90 = x e tan 270 = y Variação do sinal da tangente 1. Se um arco ÂM tiver extremidade no 1o ou no 3 o quadrante, então o valor da tangente do arco será positiva.

55 PET Matemática - UFSM Se um arco ÂM tiver extremidade no 2o ou no 4 o quadrante, então o valor da tangente do arco será negativo. Em resumo, tem-se a seguinte distribuição de sinais: 6.3 Identidades Trigonométricas Abaixo, quadro resumo das principais identidades trigonométricas.

56 PET Matemática - UFSM 56 Alguma Identidades Trigonométricas tan α = sin α, com cos α 0 cos α sin 2 α + cos 2 α = 1 cot α = 1 tan α = cos α sin α, sin α 0 sec α = 1 cos α, cos α 0 csc α = 1 sin α, sin α 0 Lembre-se também que: Seno, Co-seno e Tangente da soma e da diferença sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a b) = sin a cos b sin b cos a cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b tan(a + b) = tan(a b) = tan a + tan b 1 tan a tan b tan a tan b 1 + tan a tan b Observadas as condições de existência