UNIVERSIDADE GAMA FILHO

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1 UNIVERSIDADE GAMA FILHO Pró-Reitoria de Ciências Exatas e Tecnologia CÁLCULO BÁSICO Notas de Aula Simone Dutra Ramos

2 Resumo Estas notas de aula têm por finalidade apresentar de forma clara e didática todo o conteúdo inerente à disciplina Cálculo Básico. Todo este material foi elaborado tendo como referência bibliográfica alguns dos principais livros clássicos de 1 o e 2 o graus encontrados na literatura. Finalmente, convém ressaltar que a maioria dos exercícios propostos aqui foi retirada dos principais concursos públicos.

3 Conteúdo 1 Conjuntos numéricos Introdução A reta numérica (ou real) Intervalos Valor absoluto (ou módulo) Conceitos Básicos de Geometria Áreas de superfícies planas Retângulo Quadrado Paralelogramo Triângulo Losango Trapézio Círculo Coroa Circular Exercícios Respostas Volume de Sólidos

4 4 Cálculo Básico Paralelepípedo retângulo Cubo Cilindro circular reto (ou de revolução) Cone circular reto (ou de revolução) Esfera Exercícios Respostas Expressões algébricas Introdução Função polinomial (ou polinômio ) Definição Valor numérico Operações Exercícios Fatoração de expressões polinomiais Exercício Exercícios Simplificação de expressões racionais Exercícios Divisão de polinômios Método da chave (algoritmo da divisão) Dispositivo prático de Briot-Ruffini Exercícios Funções Reais de uma variável real 51

5 Simone D. Ramos Introdução Função Polinomial Função Constante Função Linear Função do 1 o grau (ou Afim) Exercícios Função do 2 o grau (ou Quadrática) Exercícios Exercícios Complementares Função Exponencial Função Logarítmica Funções Trigonométricas Círculo Trigonométrico Relações Fundamentais Relações Derivadas Sinais nos Quadrantes Gráficos Exercícios Limite Introdução Limite Limites Infinitos Limites no infinito

6 6 Cálculo Básico 8 Continuidade Introdução Definições Teoremas Exercícios

7 Capítulo 1 Conjuntos numéricos 1.1 Introdução Os principais conjuntos numéricos são: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Reais e Complexos. Números Naturais: IN = {0, 1, 2, 3, 4,...} Números Naturais Positivos ou não-nulos: IN = {1, 2, 3, 4,...} Números Inteiros: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Números Inteiros não-nulos: Z = {..., 3, 2, 1, 1, 2, 3,...} Números Inteiros não-negativos: Z + = {0, 1, 2, 3,...} Números Inteiros não-positivos: Z = {..., 3, 2, 1, 0} Números Inteiros positivos: Z+ = {1, 2, 3,...} Números Inteiros negativos: Z = {..., 3, 2, 1} Números Racionais (Q): todos os números que podem ser escritos como uma fração, ou seja, que podem ser representados na forma p q com p Z e q Z. Números Irracionais (I): são aqueles que não são racionais. Números Reais (IR): IR = Q I Números Complexos (IC): são aqueles escritos na forma a + bi, onde a, b IR e 7

8 8 Cálculo Básico o número i é definido por i := 1. Exemplo(s) : 2 + 3i é um número complexo. Observação : IN Z Q IR IC e I IR. Diagrama de Venn C I R Q Z N Execício(s) : Classifique cada uma das afirmativas a seguir em Verdadeira (V) ou Falsa (F). 1) 3 é natural ( ); 2) 0 é natural ( ); 3) -4 é natural ( ); 4) -4 é inteiro ( ); 5) 7 é inteiro ( ); 6) 8/4 é inteiro ( ); 7) 1/3 é inteiro ( ); 8) 1/3 é racional ( );

9 Simone D. Ramos 9 9) 8/4 é racional ( ); 10) -5 é racional ( ); 11) 0,37 é racional ( ); 12) 0, é racional ( ); 13) 0, é racional ( ); 14) 1, é racional ( ); 15) 2 = 1, é racional ( ); 16) π = 3, é irracional ( ); 17) e = 2, é irracional ( ); 18) 3 7 é irracional ( ); 19) 3 8 é irracional ( ); 20) 3 7 é real ( ); 21) 6 é real ( ); 22) -8 é real ( ); 23) 2/5 é real ( ); 24) 1,37 é real ( ); 25) 0, é real ( ); 26) 4 é real ( ); 27) Todo natural é inteiro ( );

10 10 Cálculo Básico 28) Todo inteiro é racional ( ); 29) 0, é racional ( ); 30) Todo racional é inteiro ( ); 31) Todo racional é real ( ); 32) Todo irracional é real ( ); 33) Existe um inteiro que é irracional ( ); 34) Existe um natural que não é real ( ); 35) Existe um real que não é racional ( ); 36) A união dos racionais com os irracionais é o conjunto dos reais( ). 1.2 A reta numérica (ou real) Observe a reta numérica: Sobre essa reta, podemos representar números reais. F B E C D A 3 1,9 0,2 0 1,4 2 Por exemplo: o ponto A representa o número +2; o ponto B representa o número 3; o ponto C representa o número 0, 2;

11 Simone D. Ramos 11 o ponto D representa o número +1, 4; o ponto E representa o número 1, 9; o ponto F representa o número 2 1, (devemos usar aproximações). Observação : Em uma reta numérica: a todo número real corresponde um e só um ponto da reta; a todo ponto da reta podemos associar um e só um número real. 1.3 Intervalos Sejam a, b IR, a < b. Podemos definir os seguintes tipos de intervalos: 1. (a, b) =]a, b[= {x IR/a < x < b} (intervalo aberto); a b 2. [a, b] = {x IR/a x b} (intervalo fechado) a b 3. [a, b) = {x IR/a x < b} (não é aberto e não é fechado); a b

12 12 Cálculo Básico 4. (a, b] = {x IR/a < x b} (não é aberto e não é fechado); a b 5. (, a) = {x IR/x < a} (intervalo aberto); a 6. (, a] = {x IR/x a} (intervalo fechado); a 7. (a, + ) = {x IR/x > a} (intervalo aberto); a 8. [a, + ) = {x IR/x a} (intervalo fechado); a 9. (, + ) = IR (intervalo fechado e aberto)

13 Simone D. Ramos 13 Nas definições acima, os números a e b são denominados extremos dos respectivos intervalos. Execício(s) : Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F), cada uma das afirmativas a seguir: a) 3 IN; b) 4 IN; c) 4 Z; d) 8 4 Z; e) 1 3 Z; f) 1 3 Q; g) 5 Q; h) 0, 37 Q; i) 1, Q; j) π = 3, I; k) e = 2, I; l) 6 R; m) 1, 37 R; n) 4 R. Execício(s) : Descreva os seguintes intervalos na forma {x/p(x)}: a) (1, 2); b) (1, 2]; c) [1, 2]; d) [1, 2); e) (1, + ); f) [ 2, + ); g) (, 1]; h) (, 0); i) (, + ). Execício(s) : Se A = [1, + [ e B = [0, 5[, obtenha: (a) A B; (b) A B; (c) A B. 1.4 Valor absoluto (ou módulo) Definição : Seja x IR. O módulo ou valor absoluto de x, representado por x, é definido do seguinte modo: x, se x 0 x = x, se x < 0 Observação : O módulo de um número real é representado geometricamente como a distância desse número à origem na reta numérica.

14 14 Cálculo Básico a) x > 0 b) x < 0 x = x x = x 0 x x 0 Observação : Se x IR, então x 2 = x. De fato, se x > 0, x 2 = x = x e se x < 0, x 2 = x = x. Execício(s) : Resolva, com auxílio da interpretação geométrica de módulo, as equações e inequações a seguir: a) x < 2; h) 3x 5 > 1; b) x 1; i) 3x 1 < 2; c) x = 1; j) 5x + 7 = 1; d) x > 5; k) x 2 5x + 5 = 1; e) x < 1 l) 2x 1 3; f) x 3; m) 3x 1 = 2x + 1; g) 1 x 3; n) x 3 < 0; o) 2x 1 = 4x + 3 Respostas: 1.1.1: Falsas (3), (7), (15), (19), (26), (30), (33) e (34) : Falsas: (b), (e) e (n). (a){x IR \ 1 < x < 2} (f){x IR \ x 2} 1.3.2: (b){x IR \ 1 < x 2} (g){x IR \ x 1} (c){x IR \ 1 x 2} (h){x IR\ < 0} (d){x IR \ 1 x < 2} (e){x IR \ 1 < x < 2} (i)ir ou {x \ x IR}

15 Simone D. Ramos 15 a) S = {x IR/ 2 < x < 2} = ( 2, 2); h) S = IR; b) S = (, 1] [1, + ); i) S = ( 1 3, 1); 1.4.1: c) S = { 1, 1} j) S = = {}; d) S = (, 5) (5, + ); k) S = {1, 2, 3, 4}; e) S = ( 1, 1); l) S = [ 1, 2]; f) S = (, 3] [3, + ); m) S = {0, 2}; g) S = [ 3, 1] [1, 3]; n) S = = {}. o) S = { 2, 1 3 }

16 16 Cálculo Básico

17 Capítulo 2 Conceitos Básicos de Geometria 2.1 Áreas de superfícies planas Retângulo Na figura abaixo, considere as medidas da base e da altura do retângulo denotadas por b e h respectivamente. h A (área)= b h b Quadrado Seja l a medida do lado do quadrado na figura abaixo. 17

18 18 Cálculo Básico l A (área)= l 2 l Paralelogramo Na figura abaixo, sejam b e h as medidas da base e da altura do paralelogramo respectivamente. h A (área)= b h b Triângulo Considere b e h as respectivas medidas da base e da altura do triângulo abaixo. h A (área)= b h 2 b

19 Simone D. Ramos 19 Observação Triângulo equilátero Como h = l 3 2, temos: l h l A (área)= l2 3 4 l l Losango Sejam D e d as respectivas medidas das diagonais maior e menor do losango abaixo. Como a área do losango é quatro vezes a área do triângulo retângulo de catetos D 2 e d 2, temos: d/2 D/2 d A (área)= D d 2 D Trapézio Considere, no trapézio abaixo, as bases maior e menor denotadas por B e b respectivamente e a altura por h.

20 20 Cálculo Básico b h B Como a área do trapézio é igual à soma das áreas de dois triângulos, um de base B e altura h, e outro de base b e altura h, temos: A(área) = (B + b)h Círculo Considere abaixo a circunferência γ de centro O e raio R. O R γ A(área) = π R Coroa Circular Dadas duas circunferências concêntricas de raios r e R, com r < R, chama-se coroa circular ao conjunto dos pontos pertencentes ao círculo de raio R e não-internos ao círculo de raio r. R e r denotam as medidas dos raios externo e interno da coroa circular respectivamente.

21 Simone D. Ramos 21 O R r A(área) = π (R 2 r 2 ) Exercícios 1. Calcule a área de um retângulo cujas dimensões são 3m e 4m. 2. Calcule as dimensões de um retângulo, sabendo que a área é igual a 48 m 2 e a base é igual ao triplo da altura. 3. Calcule a área do retângulo abaixo: Um terreno retangular tem 8, 4 m por 5 m e está sendo gramado. Sabendo que um quilo de semente de grama é suficiente para gramar 3 m 2 de terreno, quantos quilos de semente de grama são necessários para gramar o terreno todo? 5. Qual é a área de um quadrado que tem 2 3 m de lado? 6. Determine a área de um quadrado, cuja a diagonal mede 6 2 m. 7. A área de um quadrado mede 96 cm 2. Quanto mede o seu lado? 8. Na figura abaixo ABCD é um quadrado cujo lado mede 4 cm. Calcule a área assinalada.

22 22 Cálculo Básico A B D C 9. Determine o raio de um círculo, cuja a área mede 25π m Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 cm e um dos catetos mede 12 cm. Calcule a área desse triângulo retângulo. 11. Calcule a área de um triângulo equilátero de lado 12 cm. 12. Qual é a área de um trapézio, cujas bases medem 12 m e 4 m e cuja altura mede 7 m? 13. No trapézio da figura, a área é 26 m 2. Calcule a medida da base DC. A 5 cm B 4 cm D C 14. Calcule a área do trapézio da figura abaixo: 2 m 5 m 6 m

23 Simone D. Ramos Calcule a área do losango abaixo: A 10 m D B 16 m C 16. Calcule a área representada abaixo: 4 m 1 m 1,5 m 3 m 17. Calcule a área assinalada abaixo: 3 cm 3 cm 18. Calcular a área de um triângulo equilátero cujo perímetro é 18 cm.

24 24 Cálculo Básico 19. Calcular a área de um círculo cujo comprimento de sua circunferência é de 20π cm. 20. A área de um trapézio é 600 cm 2 e a base maior mede 30 cm. Calcular a medida da base menor, sabendo que a altura mede 24 cm. 21. Calcular a área da figura sombreada no gráfico abaixo: As dimensões de um terreno retangular estão na razão 5/8. Qual o valor da menor dimensão, sabendo-se que a área do terreno é de 1000 m 2? 23. Calcule a área do quadrado MNPQ abaixo: 1 cm Q A M 7 cm 1 cm B 7 cm 7 cm N 1 cm D 1 cm P 7 cm C 24. Calcule a área assinalada abaixo, sendo ABCD um quadrado de 2 cm de lado.

25 Simone D. Ramos 25 A M B 1 cm 1 cm Q N D 1 cm P 1 cm C 25. Calcule a área de uma coroa circular delimitada por circunferências de raios 6 cm e 10 cm Respostas 1) 12m 2 6) 36 m 2 11) 36 3 cm 2 16) 9 m 2 21) 4, 5 u.m.a. 2) 4 m e 12 m 7) 4 6 cm 12) 56 m 2 17) 9(1 π 4 ) cm2 22) 25 m e 40 m 3) 60 m 2 8) (16 4π) cm 2 13) 8 cm 18) 9 3 cm 2 23) 50 cm 2 4) 14 kg 9) 5 cm 14) 12 m 2 19) 100π cm 2 24) (4 π) cm 2 5) 12 m 2 10) 54 cm 2 15) 96 m 2 20) 20 cm 25) 64π cm 2

26 26 Cálculo Básico 2.2 Volume de Sólidos Paralelepípedo retângulo Na figura abaixo,sejam a,b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo (isto é, as medidas das arestas). c V(volume) = a b c b a Cubo Considere a medida da aresta do cubo ilustrado abaixo denotada por a. a V(volume) = a 3 a a

27 Simone D. Ramos Cilindro circular reto (ou de revolução) Na figura abaixo, sejam r e h as medidas do raio da base e da altura respectivamente. h V(volume) = π r 2 h O r Cone circular reto (ou de revolução) Considere o cone circular reto ilustrado abaixo de raio r e altura h. h V(volume) = 1 3 πr2 h O r Esfera Na esfera ilustrada abaixo, seja R a medida do raio.

28 28 Cálculo Básico R R O V(volume) = 4 3 π R Exercícios 1. Determine o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões 4 cm, 5 cm e 8 cm. 2. Determine o volume de um cubo de aresta 2 cm. 3. Determine o volume de um cubo, sabendo-se que a área de uma das faces é 16 m Determine a aresta de um cubo, cujo volume mede 8 cm Determine o volume de um cilindro circular reto cujo raio da base mede 3 cm e a altura 5 cm. 6. Determine o volume de um cone circular reto sabendo-se que o raio da base é de 4 cm e altura é de 6 cm. 7. Determine a altura de um cilindro circular reto sabendo-se que o raio da base é o dobro da altura e o seu volume é igual a 32π m Determine o volume de uma esfera de raio igual a 3 cm. 9. Determine o raio de uma esfera, cujo volume é igual a 20π m 3.

29 Simone D. Ramos Respostas 1) 160 cm 3 4) 2 cm 7) 2 m 2) 8 cm 3 5) 45π cm 3 8) 36π cm 3 3) 64 m 3 6) 32π cm 3 9) 3 15 m

30 30 Cálculo Básico

31 Capítulo 3 Expressões algébricas 3.1 Introdução As expressões matemáticas que apresentam números e letras são chamadas expressões literais ou algébricas. Exemplo(s) : a) 2x + 7; b) a 5b + 3z; c) 8x a 6b2 y 3 ; d) 5x 3 7x 2 + 5x 3 ab 2. Observe que, no último exemplo acima, os termos algébricos são: 5x 3 com coeficiente (parte numérica) 5 e parte literal x 3 ; 7x 2 com coeficiente -7 e parte literal x 2 ; 5x 3 com coeficiente 5 3 e parte literal x; ab 2 com coeficiente 1 2 e parte literal ab. 31

32 32 Cálculo Básico 3.2 Função polinomial (ou polinômio ) Definição Uma função polinomial é uma função do tipo P : IR IR x P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, onde a 0, a 1,, a n IR com a n 0 (coeficientes) e n IN (grau do polinômio) Valor numérico O valor numérico de um polinômio P (x) para x = a é o número real P (a). Quando P (a) = 0, dizemos que a é uma raíz de P (x). Exemplo(s) a (a) P (x) = 2x 3 x 2 3 = 2, a 2 = 1, a 1 = 3, a 0 = 1 e n = 3 + 3x + 1 P (0) = 1 e P ( 1) = = 5 a 1 = 3, a 0 = 2 e n = 1 (b) P (x) = 3x 2 P (5) = 15 2 = 13 e P (2/3) = 0. a 10 = 5, a 9 = a 8 = a 7 = a 6 = 0, a 5 = 10, a (c) P (x) = x 5 + 5x 10 4 = a 3 = a 2 = a 1 = 0, a 0 = 5 e n = 10. P (0) = 5, P (1) = = 10 e P ( 1) = = 10.

33 Simone D. Ramos Operações Adição (subtração) e multiplicação Exemplo(s) : f(x) = 2x 4 + 3x 2 + x 1, g(x) = 3x 2 + x 3 e h(x) = 2x 3 3x 2 x + 3. Vamos calcular: (i) f(x) + g(x) (ii) h(x) g(x) (iii) g(x) f(x) (i) f(x) + g(x) = 2x 4 + 3x 2 + x 1 + 3x 2 + x 3 = 2x 4 + 3x 2 + 3x 2 + x + x 1 3 = 2x 4 + 6x 2 + 2x 4 (ii) h(x) g(x) = 2x 3 3x 2 x + 3 (3x 2 + x 3) = 2x 3 3x 2 x + 3 3x 2 x + 3 = 2x 3 3x 2 3x 2 x x = 2x 3 6x 2 2x + 6 (iii) g(x) f(x) = (3x 2 + x 3) ( 2x 4 + 3x 2 + x 1) = 6x 6 + 9x 4 + 3x 3 3x 2 2x 5 + 3x 3 + x 2 x + 6x 4 9x 2 3x + 3 = 6x 6 2x 5 + 9x 4 + 6x 4 + 3x 3 + 3x 3 3x 2 + x 2 9x 2 x 3x + 3 = 6x 6 2x x 4 + 6x 3 11x 2 4x Exercícios 1. Dados os polinômios A(x) = 2x 3 x + 2 B(x) = x 2 + x + 1 e C(x) = 3x 1

34 34 Cálculo Básico Calcule: a) A(x) + B(x); e) A(x) B(x); b) A(x) + C(x) B(x); f) [A(x) + B(x)] C(x); c) A(x) C(x); g) [A(x) 2x B(x)] [B(x) + C(x)]. d) B(x) C(x); 2. Sendo P (x) = x 3 + 2x 1, calcule [P (x)] Se A(x) = x 2 3x, determine: a) A(x + 1); b) A(2 x); c) [A(x 1)] Qual é o grau dos polinômios seguintes? (a) f(x) = 5x 3 + 2x (b) g(x) = 9x x 5 (c) h(x) = 10x + 5 (d) i(x) = 52 (e) j(x) = 4x + 10x Dado o polinômio f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 2, calcule o seu valor numérico para: (a) x = 0; (b) x = 1; (c) x = 2; (d) x = 1/2. 6. Determine o valor de k de modo que os polinômios abaixo tenham uma raiz igual a 1. (a) f(x) = (k + 2)x 2 + 5k; (b) h(x) = (2k + 1) kx + (7 + k)x Determine o valor de k de modo que 0 seja raiz do polinômio f(x) = 2k x 3 + x + kx 2.

35 Simone D. Ramos Determine um polinômio cujas raízes são 2, -1 e Dados os polinômios f(x) = x 2 + 1, g(x) = 2x + 3 e h(x) = x 2 + x, calcule: (a) f(x) + g(x) + h(x) (b) f(x) g(x) (c) h(x) f(x) (d) f(x) g(x) + h(x) 10. Efetue os seguintes produtos: (a) ( x 3 + 2x 2 + 1) (2x + 3) (b) (4x 2 + 3x + 5) ( x 4) (c) (x 3 + 7x) ( x 2 2x) Respostas: 1. a) 2x 3 + x 2 + 3; b) 2x 3 x 2 + x; c) 6x 4 2x 3 3x 2 + 7x 2; d) 3x 3 + 2x 2 + 2x 1; e) 2x 5 + 2x 4 + x 3 + x 2 + x + 2; f) 6x 4 + x 3 x 2 + 9x 3; g) 2x 4 11x 3 10x 2 + 8x. 2. x 6 + 4x 4 2x 3 + 4x 2 4x a) x 2 x 2; b) x 2 x 2;

36 36 Cálculo Básico c) x 4 10x x 2 40x (a) 3; (b) 5; (c) 1; (d) 0; (e) (a) 2; (b) 4; (c) 22; (d) 7/4 6. (a) 1/3 (b) 4 7. k = 0 8. f(x) = x 3 4x 2 + x 6 9. (a) 3x + 4; (b) x 2 2x 2; (c) 2x 2 + x 1; (d) x (a) 2x 4 + x 3 + 6x 2 + 2x + 3 (b) 4x 3 19x 2 17x 20 (c) x 5 2x 4 7x 3 14x Fatoração de expressões polinomiais Existem produtos de polinômios que aparecem freqüentemente nos cálculos com expressões algébricas. Tais produtos podem ser obtidos a partir de certas regras e são chamados produtos notáveis: (i) Quadrado da soma de dois termos: (x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2 (ii) Quadrado da diferença de dois termos: (x a) 2 = x 2 2ax + a 2 (iii) Produto da soma de dois termos pela sua diferença: (x + a)(x a) = x 2 a 2 (iv) Cubo da soma de dois termos: (x + a) 3 = x 3 + 3x 2 a + 3xa 2 + a 3 (v) Cubo da diferença: (x a) 3 = x 3 3x 2 a + 3xa 2 a 3

37 Simone D. Ramos Exercício Demonstre os produtos notáveis dados acima. Observação : Devemos notar que, em geral, (x ± a) 2 x 2 ± a 2 (x ± a) 3 x 3 ± a 3 = (x ± a)(x 2 ax + a 2 ). A seguir, definiremos, para expressões algébricas, o conceito de fatoração análogo ao conceito conhecido para números. Definição : Fatorar uma expressão algébrica é escrevê-la como um produto de expressões. Principais casos de fatoração: Caso 1: Fator comum (em evidência) 3x + 3y = 3(x + y) 9a 2 x 12a 2 = 3a 2 (3x 4) parte numérica: M.D.C.(9, 12) = 3 parte literal: a 2 Caso 2: Agrupamento ax + ay +bx + by }{{}}{{} 1 o grupo 2 o grupo = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) fator comum 2x 2 4ax }{{} fator comum:2x 3xy + 6ay = 2x(x 2a) 3y(x 2a) = (x 2a)(2x 3y) }{{} fator comum:-3y Caso 3: Trinômio quadrado perfeito x 2 + 2ax + a 2 = (x + a) 2

38 38 Cálculo Básico x 2 2ax + a 2 = (x a) 2 Caso 4: Diferença de dois quadrados x 2 a 2 = (x + a)(x a) Caso 5: Soma ou diferença de dois cubos x 3 ± a 3 = (x ± a)(x 2 ax + a 2 ) Caso 6: Trinômio do 2 o grau do tipo x 2 + (m + n)x + mn x 2 + (m + n)x + mn = (x + m)(x + n) Caso 7: Casos de fatoração simultâneos. 5x 4 45x 2 = 5x 2 (x 2 9) = 5x 2 (x + 3)(x 3) 4x 4 16x 3 y + 16x 2 y 2 = 4x 2 (x 2 4xy + 4y 2 ) = 4x 2 (x 2y) Exercícios Fatore cada uma das expressões abaixo: a) 9xy + 12ab; b) 7x 3 y 21x 3 z; c) 20a 2 b + 5ab; d) px + py; e) 3x(a + b) 5y(a + b); f) am + na + bm + bn; g) 10ax + 5ay + 6bx + 3by;

39 Simone D. Ramos 39 h) x 4 + x 3 b + ax + ab; i) x 2 2bx 2 5a + 10ab; j) x 2 3ax 3ax + 9a 2 ; k) 9a 2 6a + 1; l) 25x 2 10x + 1; m) 4a 4 + 4a 2 x + x 2 ; n) a 2 x 4 2ab 2 x 2 y + b 4 y 2 ; o) x 2 + 6xy + 9y 2 ; p) x 2 + 9x + 14; q) y 2 + 4y + 3; r) m 2 8m + 7; s) y 2 + 3y 28; t) x 2 + (a + b)x + ab; u) 9a 2 16; v) 27x 3 8; x) x 3 ; z) x

40 40 Cálculo Básico Respostas: a) 3(3xy + 4ab); h) (x 3 + a)(x + b); b) 7x 3 (y 3z); i) (1 2b)(x 2 5a); c) 5ab(4a + 1); j) (x 3a) 2 ; d) p(x + y); k) (3a 1) 2 ; e) (a + b)(3x 5y); l) (5x 1) 2 ; f) (m + n)(a + b); m) (2a 2 + x) 2 ; g) (2x + y)(5a + 3b); n) (ax 2 b 2 y) 2 ; o) (x + 3y) 2 ; t) (x + a)(x + b); p) (x + 7)(x + 2); u) (3a 4)(3a + 4); q) (y + 3)(y + 1); v) (3x 2)(9x 2 + 6x + 4); r) (m 7)(m 1); x) (5 + x)(25 5x + x 2 ); s) (y + 7)(y 4); z) (x + 1)(x 2 x + 1). 3.4 Simplificação de expressões racionais Frações algébricas ou expressões racionais são expressões algébricas que têm a forma de uma fração, em que o numerador e o denominador são polinômios, sendo que o denominador não é um termo independente de variáveis. Exemplo(s) : a) 1 2x b) x + 1 x 3 c) x2 y 2 x + y Note que, a fração x2 y 2 De modo geral: x + y pode ser simplificada do seguinte modo: x 2 y 2 x + y (x y)(x + y) = = x y. (x + y)

41 Simone D. Ramos 41 Para simplificar frações algébricas: decompomos o numerador e o denominador em fatores; cancelamos os fatores comuns. Observação : Uma fração algébrica só tem sentido se o denominador não for nulo. Então, os fatores desse denominador também não são nulos e podem ser cancelados quando a fração for simplificável Exercícios 1. Simplifique as seguintes frações algébricas: a) ax + a x 1 ; h) x3 + 3x 2 10x x 2 1 x 3 x 2 2x ; b) 15x 2 15y 2 mx + m x 1 6x xy + 6y2; i) ; m 2 1 c) 5a2 + 10ab ; j) x2 4xy + 4y 2 ; 15ab x 2 4y 2 ( ) x 2 d) 7x2 y 3 21x 3 y 5 7x 2 y 3 ; k) e) a2 2a + 1 ; l) a 2 1 f) 4x 2 8xy x 2 4xy + 4y2; m) m m2 2 x 2 x 4 9 y 2 x y ; m + n x + 1 m 2 n 2 ; 2x + 2 g) (a + b)2 (a 2 b 2 ) 3ax 3 + 3bx 3 ; n) x. : ( x m + m x ) ;

42 42 Cálculo Básico 2. Efetue e simplifique: a) x 2 16 x 2 + 2x + 1 x + 1 x 2 5x + 4 ; b) c) x 3 1 x x 2 ; 1 x 4 + 2x x 5 x 2 + 5x x x ; d) x4 a 4 x a x + a x 2 + a 2; e) x6 y 6 ; x 4 xy 3 y 4 +x 3 y

43 Simone D. Ramos 43 Respostas: a) a 1 x 1 ; h) x + 5 x + 1 ; b) 5(x y) 2(x + y) ; i) x + 1 m + 1 ; c) a + 2b ; j) x 2y 3b x + 2y ; d) 1 3xy 2 ; k) x2 m 2 mx ; e) a 1 a + 1 ; l) 1 (3 + y)(x + 4) ; f) 4x x 2y ; m) 2 m n ; g) 2b 3x 3; n) 1 x + 1. a) x + 4 (x + 1)(x 1) ; d) (x + a)2 ; b) (x2 + x + 1)(x 2 + 1) x + 1 c) x 5(x + 5) ; ; e) y(x3 + y 3 ) 2. x 3.5 Divisão de polinômios Obs. : (11 = 4 2+3)

44 44 Cálculo Básico dividendo D(x) d(x)( 0) divisor resto R(x) Q(x) quociente Observação : (i) grau de D(x) grau de d(x) (ii) grau de R(x) < grau de d(x) (iii) D(x) = d(x) Q(x) + R(x) (iv) grau D(x) = grau de d(x) + grau de Q(x) (v) D(x) é divisível por d(x) se, e somente se, R(x) = 0 x IR (R 0)

45 Simone D. Ramos Método da chave (algoritmo da divisão) Exemplo(s) : (i) x 3 +2x 2 x 3 x 3 +2x 2 +3x 4x 2 +2x 3 4x 2 +8x+12 10x+9 x 2 2x 3 x+4 Assim, Q(x) = x+4 R(x) = 10x+9 (ii) x 4 3x 2 +5 x 4 +2x 3 x 2 2x 3 4x x 3 +4x 2 2x 2x+5 x 2 2x+1 x 2 +2x Assim, Q(x) = x 2 +2x R(x) = 2x+5 Observação : Além do método acima, existe o Método de Descartes (ou método dos coeficientes a determinar) que se baseia na análise dos graus dos polinômios e utiliza a resolução de sistemas lineares. Teorema (Teorema do resto): d(x) = x a R(x) = D(a) Em geral, d(x) = ax b R(x) = D(b/a). Exemplo(s) : Calcule o resto da divisão de P (x) = x 2 3x + 1 por: (a) x 1 R = P (1) = = 1

46 46 Cálculo Básico (b) x + 1 R = P ( 1) = = 5 (c) 2x 1 R = P (1/2) = = / 1 2/ 2 1/ 4 4 = 1 4 Teorema (Teorema de D Alembert): D(x) tem um fator x a se, e somente se, D(a) = 0 (ou seja, a divisão de D(x) por x a é exata se, e somente se, D(a) = 0). Exemplo(s) : Podemos fatorar D(x) = 3x 2 + 7x 20 dividindo pelo fator x + 4, já que D( 4) = 0. Assim, 3x 2 +7x 20 x+4 3x 2 12x 3x 5 5x 20 5x+20 0 Logo, D(x) = 3x 2 + 7x 20 = (x + 4)(3x 5) Dispositivo prático de Briot-Ruffini É um esquema que simplifica os cálculos usados no método de Descartes para a obtenção do quociente Q(x) e o resto R da divisão de D(x) por x a. Exemplo(s) : Dividir D(x) = 2x 4 3x 3 + x 4 por d(x) = x + 2. raiz de d(x) coef. de D(x) resto coef. de Q(x)

47 Simone D. Ramos 47 De fato, 2 ( 2) 3 = 7 (2 o coef.) 7 ( 2) + 0 = 14 (3 o coef.) 14 ( 2) + 1 = 27 (4 o coef.) 27 ( 2) 4 = 50 (resto.) logo, Q(x) = 2x 3 7x x 27 e R = 50. Em geral: se D(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 e d(x) = x a, temos: a n a n 1 a 1 a 0 a b n 1 b n 2 b 0 R coef. de Q(x) resto onde b n 1 = a n b n 2 = a b n 1 +a n 1 b 0 = a b 1 +a 1 R = a b 0 +a Exercícios 1. Efetue a divisão dos seguintes polinômios pelo método da chave: (a) x 3 5x 2 4x + 2 e x 3 (b) x 5 3x 2 + 6x 1 e x 2 + x + 1 (c) x 10 + x e x 2 + x Efetue a divisão dos seguintes polinômios pelo dispositivo de Briot-Ruffini: (a) 3x 2 7x + 3 e x 2

48 48 Cálculo Básico (b) 9x 2 33x + 37 e x + 7 (c) 2x x 27 e x Determine, sem efetuar a divisão, o resto da divisão de: (a) x 6 x 4 + x 2 1 por x 1/2 (b) x por 2x 4 (c) x 2 + x + 1 por x Determine k lr, de modo que: (a) x 3 + 5x 2 + kx + 1 seja divisível por x 1 (b) 2x 3 + kx 2 (2k + 1)x 13k + 3 seja divisível por x + 4 (c) x k seja divisível por x Dividindo-se um polinômio P (x) por x 3, resulta um resto de -7 e um quociente de x 4. Qual é P (x)? 6. Calcule a, de modo que dividindo-se f(x) = 4x 3 + ax 2 3x + 4 por x 2 seja obtido resto Dividindo o polinômio P (x) = x 3 + x 2 + x + 1 pelo polinômio Q(x), obtemos o quociente S(x) = 1 + x e o resto R(x) = x + 1. O polinômio Q(x) satisfaz a: (a) Q(2) = 0 (b) Q(3) = 0 (c) Q(0) 0 (d) Q(1) 0 (e) n.d.a.

49 Simone D. Ramos O polinômio x 3 + px + q é divisível por x 2 + 2x + 5. Os valores de p e q são respectivamente: (a) 2 e 5 (b) 5 e 2 (c) 1 e 5 (d) 1 e -10 (e) 3 e 6 9. Um polinômio f, dividido por x 1 e x + 3, dá restos -2 e 1, respectivamente. O resto da divisão de f por (x 1)(x + 3) é: (a) 3 4 x 5 4 (b) 3 4 x (c) 3 4 x 5 4 (d) 3 2 x (e) 3 2 x 5 2 Respostas: 1. (a) Q(x) = x 2 2x 10 e R(x) = 28 (b) Q(x) = x 3 x 2 2 e R(x) = 8x + 1 (c) Q(x) = x 8 x 7 + x 5 x 4 + x 3 x + 1 e R(x) = 0 2. (a) Q(x) = 3x 1 e R = 1 (b) Q(x) = 9x 30 e R = 247 (c) Q(x) = 2x + 1 e R(x) = 33

50 50 Cálculo Básico 3. (a) 51 ; (b) 257; (c) (a) k = 7; (b) k = 11; (c) k = 1 5. P (x) = x 2 7x a = (d); 8. (d); 9. (a)

51 Capítulo 4 Funções Reais de uma variável real 4.1 Introdução Definição : Sejam A e B conjuntos. Seja f uma relação de A em B. Suponhamos que: (i) Dom f(domínio de f)= A; (ii) Im f(imagem de f) B; (iii) Cada elemento x A está associado a um único elemento y B. Dizemos, então que f é uma função de A em B e B é chamado o contradomínio da f. Notação: f : A B x y = f(x) Além disso, o gráfico da função f é definido por: Graf f := {(x, y) A B/y = f(x)}. Definição : Se A IR e B IR, então f é dita uma função real de uma variável real. 51

52 52 Cálculo Básico Execício(s) : 1. Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: a) f(x) = x 2 f) y = x b) f(x) = 1 x 2 g) F (x) = x x 2 c) h(x) = 4 x 2 h) M(x) = x2 + 2x + 1 x + 1 d) k(x) = 1 x i) T (x) = 1 x + 1 e) y = x 1 j) G(x) = x 1 x Esboce o gráfico e encontre o domínio e a imagem das funções abaixo: 2; x 1 x + 5; x 2 a) f(x) = 2; 1 < x < 1 b) f(x) = 1; x = 2 3; x 1 3. Dado o conjunto A = {1, 2, 5, 7, 8}, determine: (a) o conjunto A 2 = A A e sua representação gráfica. (b) o subconjunto W = {(x, y) A 2 /x < y}. (c) o subconjunto Z = {(x, y) A 2 /y = 2x + 3}. (d) o subconjunto T = {(x, y) A 2 /x y = 4}. 4. Dada a função f(x) = 7x 3, com D = lr, obtenha: ( (a) f(2); (d) f( 1); (g) f 1 ) ; 3 (b) f(6); (e) f( 2); (h) f(a + b). ( ) 1 (c) f(0); (f) f ; 2 5. Dada a função f(x) = 2x 3, obtenha:

53 Simone D. Ramos 53 (a) f(3); (c) o valor de x tal que f(x) = 49; (b) f( 4); (d) o valor de x tal que f(x) = Dada a função f(x) = mx + 3, determine m sabendo-se que f(1) = Faça o gráfico da função f(x) = 2x + 1, com domínio D = {0, 1, 2, 3, 4}. Qual o conjunto imagem? 8. Faça o gráfico da função f(x) = x 2, sendo D = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}. Qual o conjunto imagem? 9. Qual o gráfico da função f(x) = 3, sendo D = lr? 10. Esboce o gráfico da função f, de domínio D = lr, dada por: 1, se x 0 f(x) = 1, se x < 0

54 54 Cálculo Básico Respostas: 1. a) Dom f = IR e Im f = IR + ; f) Dom y = [0, + ) e Im y = [0, + ); b) Dom f = IR e Im f = IR +; g) Dom F = IR e Im F = IR ; c) Dom h = [ 2, 2] e Im h = [0, 2] h) Dom M = IR { 1} e Im M = IR d) Dom k = IR e Im k = IR ; i) Dom T = IR { 1} e Im T = IR ; e) Dom y = [1, + ]eim y = [0, + ); j) Dom G = IR { 1, +1} e Im G = IR {0, 1/2}. 2. a) Dom f = IR e Im f = { 2, 2, 3}; b) Dom f = IR e Im f = IR {7}. {(1, 1), (1, 2), (1, 5), (1, 7), (1, 8), 3. (a) (2, 1), (2, 2), (2, 5), (2, 7), (2, 8), (5, 1), (5, 2), (5, 5), (5, 7), (5, 8), (7, 1), (7, 2), (7, 5), (7, 7), (7, 8), (8, 1), (8, 2), (8, 5), (8, 7), (8, 8)} (b) {(1, 2), (1, 5), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 7), (2, 8), (5, 7), (5, 8), (7, 8)} (c) {(1, 5), (2, 7)}; (d) {(5, 1)}. 4. (a) 11; (b) 39; (c) 3; (d) 10; (e) 7 2 3; (f) 1/2; (g) 16/3; h) 7(a + b) (a) 3; (b) 11; (c) 26; (d) 7/2. 6. m = 3

55 Simone D. Ramos y O x Figura 4.1: Im(f) = {1, 3, 5, 7, 9} 8. 9 y x Figura 4.2: Im(f) = {0, 1, 4, 9}

56 56 Cálculo Básico 9. y 3 O x 10. y 1 0 x 1 Observação : Sabemos que um dos requisitos que uma relação deve satisfazer para ser uma função é que a cada elemento x, pertencente ao domínio, deve corresponder um único y, pertencente a imagem. Esta propriedade, interpretada num gráfico, significa que qualquer reta vertical intercepta o gráfico de uma função no máximo em um ponto. Observe os gráficos abaixo:

57 Simone D. Ramos 57 a) b) y y f f y 1 c) f y 0 x x 0 x 0 x y 2 f é gráfico de funcão fnão é gráfico de funcão f é gráfico de funcão Definição : Duas funções f e g são iguais se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas: (i) Dom f = Dom g; (ii) Im f = Im g; (iii) Contradom f = Contradom g; (iv) x Dom f, f(x) = g(x). Exemplo(s) : Note que, dentre as funções do exercício 3.1.1, a igualdade é válida apenas para as funções k e F. Execício(s) Sendo f(x) = (x 3) 3, calcule: a) f(2); b) f(0); c) f( 2); d) f( 1); e) f(2x + 1). 2. Dado f(x + 1) = x + 1, determine o valor de f(3). x 1 3. Considere a função f : lr lr tal que 1, se x é racional f(x) = 1, se x é irracional Determine: f(1/2), f(π), f(2, ) e f( 2).

58 58 Cálculo Básico 4. Considere a função f : lr lr definida por 3x 1, se x > 3 f(x) = x 2 2, se 2 x 3 2x + 3, se x < 2 Determine: i) f(2); ii) f(0); iii) f( 1); iv) f( 3). 5. Qual dos seguintes gráficos define uma função: 6. Uma função f associa a cada número natural n a raiz quadrada positiva do menor quadrado perfeito maior que n. Calcule f(10) + f(15) + f(25). RESPOSTAS: 1) a) 1; b) 27; c) 75; d) 64; e) (2x 2) 3. 2) 3; 3) f(1/2) = 1, f(π) = 1; f(2, ) = 1; f( 2) = 1. 4) i) 5; ii) 2; iii) 1; iv) 3. 5) d; 6) 14

59 Simone D. Ramos Função Polinomial Definição : Seja n IN. Uma função real polinomial de grau n é uma função f : IR IR definida por f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, onde a i IR, i = 0,..., n e a n 0. Exemplo(s) : f(x) = 4x 5 x é uma função polinomial de grau 5. Nas próximas seções, estudaremos alguns tipos especiais de funções polinomiais. 4.3 Função Constante Definição : Seja c IR. Chamamos de função constante à função dada por f : IR IR x f(x) = c Observação : (i) Im f = {c}; (ii) O gráfico de f é uma reta horizontal de ordenada c. Veja o gráfico abaixo para a seguinte função: f : IR IR x f(x) = 3

60 60 Cálculo Básico y 3 0 x 4.4 Função Linear Definição : Seja a IR. Chamamos de função linear à função dada por f : IR IR x f(x) = ax Observação : Se a 0, temos: (i) Im f = IR; (ii) O gráfico de f é uma reta que passa pela origem (0, 0) do plano cartesiano. Veja, por exemplo, o gráfico abaixo: y y = 2x x (iii) A função linear f(x) = x é chamada função identidade e contém as bissetrizes do 1 o e do 3 o quadrantes. Veja figura abaixo:

61 Simone D. Ramos 61 y y = x x 4.5 Função do 1 o grau (ou Afim) Definição : Sejam a, b IR, com a 0. Chamamos de função afim ou do 1 o grau à função dada por: f : IR IR x f(x) = ax + b Observação : (i) As funções lineares f(x) = ax são casos particulares de funções afins f(x) = ax + b, em que b = 0; (ii) Im f = IR; (iii) O gráfico de f é uma reta no plano cartesiano, inclinada em relação aos eixos; (iv) O número b é denominado coeficiente linear da reta e determina a ordenada em que esta reta intercepta o eixo y (pois b = f(0)); (v) O número a é denominado coeficiente angular ou inclinação da reta(especifica a sua direção). Além disso, se

62 62 Cálculo Básico a > 0, então f(x) = ax + b é crescente, isto é, x 2 > x 1 f(x 2 ) > f(x 1 ) (isto significa que à medida que aumentam os valores de x, aumentam os valores correspondentes y = f(x)); a < 0, então f(x) = ax + b é decrescente, isto é, x 2 > x 1 f(x 2 ) < f(x 1 ) (isto significa que à medida que aumentam os valores de x, diminuem os valores correspondentes y = f(x)); y (a > 0) y (a < 0) f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 1 ) f(x 2 ) 0 x 1 x 2 x 0 x 1 x 2 x (vi) O estudo da variação de sinal da função f(x) = ax + b pode ser dividido em dois casos: 1 0 caso: a > 0. Então, temos: x = b a x > b a x < b a f(x) = 0; f(x) > 0; f(x) < caso: a < 0. Então, temos: x = b f(x) = 0; a

63 Simone D. Ramos 63 x > b a x < b a f(x) < 0; f(x) > 0. Exemplo(s) : y = 2x+2 y y = x x Exercícios 1. Determine a função afim f tal que: f(3) = 0 e f(0) = Classifique as funções abaixo em crescentes ou decrescentes. (a) f(x) = x 3; (b) f(x) = x 2 + 1; (c) f(x) = 2x x

64 64 Cálculo Básico 3. Os gráficos abaixo representam funções f(x) = ax + b. Determine, em cada item, os sinais de a e b. 4. Determinar os zeros das seguintes funções: (i) f(x) = 2x 1 (ii) f(x) = 5x + 10; 5. Estudar o sinal das funções abaixo: (i) f(x) = x + 3; (ii) f(x) = 5x + 10; (iii) f(x) = (x + 3) 2 (x 2) 2. Respostas: 1. f(x) = 1 3 x 1 2. a) crescente; b) decrescente; c) decrescente.

65 Simone D. Ramos (i) a > 0 e b < 0; (ii) a = 0 e b > 0; (iii) a < 0 e b = 0; (iv) a > 0 e b > (i) x = 1/2; (ii) x = 2; 5. (i) f(x) > 0 se x < 3, f(x) < 0 se x > 3, f(x) = 0 se x = 3; (ii) f(x) > 0 se x > 2, f(x) < 0 se x < 2, f(x) = 0 se x = 2; (iii) f(x) > 0 se x > 1/2, f(x) < 0 se x < 1/2, f(x) = 0 se x = 1/2. Execício(s) Nos exerícios 1 à 5, encontrar a equação da reta que satisfaça as condições dadas. 1. Passa pelo ponto ( 3, 4) e é paralela ao eixo dos x; 2. Passa pelo ponto (1, 7) e é paralela ao eixo dos y; 3. Passa pelos pontos (1, 3) e (2, 2); 4. Passa por ( 2, 5) e tem inclinação 3; 5. Passa pela origem e divide ao meio o ângulo entre os eixos no segundo e no quarto quadrantes; 6. Dada a reta r com equação 2x 5y = 10 e o ponto P (5, 1), encontrar a equação da reta que passe por P e: a) seja paralela à reta r; b) seja perpendicular à reta r.

66 66 Cálculo Básico 7. Determine o domínio e a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções: 2, x 1 a) f(x) = 2, 1 < x < 1 3, x 1 x + 5, x 2 b) f(x) = 1, x = 2 c) f(x) = x2 9 x 3. Respostas: 1) y = 4; 2) x = 1; 3) y + 5x 8 = 0; 4) y 3(x + 2) + 5 = 0; 5) x + y = 0; 6) a) 5y 2x + 5 = 0 b) 2y + 5x = 27 7) a) Dom f = lr e Im f = { 2, 2, 3}; b) Dom f = lr e Im f = lr {7}; c) Dom f = lr {3} e Im f = lr {6}. 4.6 Função do 2 o grau (ou Quadrática) Definição : Sejam a, b e c IR, com a 0. Chamamos de função quadrática ou do 2 0 grau à função dada por: f : IR IR x ax 2 + bx + c Definição : Os valores de x reais para os quais f(x) = ax 2 + bx + c = 0, chamam-se zeros ou raízes da função.estes valores sao as abscissas dos pontos onde o gráfico intercepta o eixo x. Observação :

67 Simone D. Ramos 67 (i) O gráfico de f é uma curva no plano cartesiano denominado parábola. Além disso, se a > 0, então a concavidade da parábola é voltada para cima; a < 0, então a concavidade da parábola é voltada para baixo. a > 0 a < 0 (ii) Para determinar os zeros da função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c, deve-se resolver a equação do 2 0 grau: ax 2 + bx + c = 0. Como sabemos, as raízes dessa equação são calculadas pela fórmula: x = b ±, onde = b 2 4ac 2a denomina-se discriminante da equação. Note que, a existência e o número de raízes da função quadrática dependem do sinal de. Assim, podemos dividir o estudo do sinal da função quadrática em três casos: 1 0 caso: > 0 Nesse caso, a função apresenta dois zeros reais distintos x 1 = b + 2a e x 2 = b. 2a 2 0 caso: = 0 Nesse caso, a função apresenta um zero real duplo: x 1 = x 2 = b 2a.

68 68 Cálculo Básico a > 0 x 1 x 2 x 1 x 2 a < 0 a > 0 x 1 = x 2 a < 0 x 1 = x caso: < 0 Nesse caso, a função não apresenta zeros reais. a > 0 a < 0

69 Simone D. Ramos 69 (iii) A figura abaixo mostra uma parábola, gráfico de f(x) = ax 2 + bx + c, com três elementos importantes assinalados: O número c determina a ordenada em que c V esta parábola intercepta o eixo y (pois c = f(0)). O ponto V é chamado vértice da parábola. A reta r, perpendicular ao eixo x e passando pelo vértice, é o eixo de simetria da parábola. O vértice V é dado por V (x v, y v ) com x v = b 2a ; y v = 4a (já que y v = f(x v ) = a(x v ) 2 + bx v + c). (iv) A imagem de f é obtida com auxílio do vértice da parábola, como se segue: 1 0 caso: a > 0(concavidade é voltada para cima) Nesse caso, a função apresenta um mínimo, igual à ordenada do vértice da parábola. (veja a figura abaixo). c x v y v V

70 70 Cálculo Básico Assim: x v = b 2a y v = 4a é chamado ponto de mínimo de f; é chamado valor mínimo de f; Im f = {y IR/y 4a } = [ 4a, + ) 2 0 caso: a < 0(concavidade é voltada para baixo) Nesse caso, a função apresenta um máximo, igual à ordenada do vértice da parábola. y v V x v Assim: x v = b 2a y v = 4a é chamado ponto de máximo de f; é chamado valor máximo de f; Im f = {y IR/y 4a } = (, 4a ] Exercícios 1. Determinar os zeros reais das seguintes funções quadráticas: (a) f(x) = x 2 4; (b) f(x) = 2x 2 + 3x; (c) f(x) = x 2 2x 8;

71 Simone D. Ramos 71 (d) f(x) = x Resolver as inequações abaixo: a) x 2 9x ; b) x 2 + x 2 > 0; c) 4x 2 4x + 1 > Calcular m para que a função f(x) = x 2 + 6x + m seja maior que zero para todo x IR. 4. Para que valores de m a função f(x) = 3x 2 + 2x + m tem dois zeros reais distintos. 5. Para que valores de m a função f(x) = (m + 8)x 2 6x + m possui um zero real duplo? 6. Determinar as imagens das funções abaixo: a) f(x) = x 2 + 2x 1; b) f(x) = 2x 2 + 6x Diga se cada uma das funções quadráticas abaixo admite máximo ou mínimo. Indique, em cada caso, o ponto de máximo ou de mínimo e o valor máximo ou mínimo. i) f(x) = 3x 2 + 6x 11; ii) f(x) = 4 2x Calcular m de modo que o valor máximo de f(x) = x 2 + 4x + m seja Sabendo que a soma de dois números x e y é 10, calcule os valores de x e y de modo que a soma x 2 + y 2 seja mínima. Respostas: 1. a) 2 e 2; b) 0 e 3/2; c) 4 e 2; d) Não ha zeros reais.

72 72 Cálculo Básico 2. a) S = [2, 7]; b) S = ; c) S = IR {1/2}. 3. m > 9 4. m < 1/3 5. m = 1 ou m = 9 6. a) Im f = [ 2, + ); b) Im f = (, 1/2] 7. i) admite mínimo; ponto de mínimo é -1 e valor mínimo é -14; ii) admite máximo; ponto de máximo é 0 e o valor máximo é m = 1 9. x = y = Exercícios Complementares 1. Estudar o sinal das funções abaixo: (a) f(x) = (x + 3)(2x 1) (b) f(x) = x + 1 x 2 2. Resolva as seguintes inequações: (a) (x 2)(x + 1)(x 4) < 0 (b) x 1 x 2 3x (c) x2 x 2 x Resolver a inequação (1 x)(1 + x) 0.

73 Simone D. Ramos Determinar o domínio da função definida por 5. Resolva as inequações: Respostas: (a) f(x) = (2x 1)(x + 3) (b) f(x) = (i) x + 3 3x (ii) x 5 2x x 2x 3 1. (a) f(x) > 0 se x < 3 ou x > 1/2; f(x) < 0 se 3 < x < 1/2; f(x) = 0 se x = 3 ou x = 1/2. (b) f(x) > 0 se 1 < x < 2; f(x) < 0 se x < 1 ou x > 2; f(x) = 0 se x = 1; f(x) não está definida para x = 2, isto é, f(2). 2. (a) S = {x IR/x < 1 ou 2 < x < 4} (b) S = {x IR/x > 2} (c) S = {x IR/1 < x 2} 3. S = {x IR/ 1 x 1} = [ 1, 1]. 4. (a) Dom f = {x IR/x 3 x 1/2} = (, 3] [1/2, + ) (b) Dom f = {x IR/1/2 x < 3/2} = [1/2, 3/2) 5. (i) S = {x IR/x 3 x > 2/3} = (, 3] (2/3, + ) (ii) S = {x IR/ 1 < x < 2} = ( 1, 2)

74 74 Cálculo Básico

75 Capítulo 5 Função Exponencial Seja a IR + {1}. A função exponencial de base a é definida por: f : IR IR x a x Observação : 1 o ) Dom f: IR 2 o ) Im f: IR + = (0, + ) 3 o ) Gráfico: (i) a > 1. Exemplo (i): f(x) = 2 x.. y 4. y = 2 x x y x /2 2 1/

76 76 Cálculo Básico o gráfico contém o ponto (0, 1) x cresce y cresce (função crescente) base a = 2 > 1 (ii) 0 < a < 1. Exemplo (ii): f(x) = ( ) 1 x 2 x y /2 2 1/ y = ( 1 2 )x 2 1 x y o gráfico contém o ponto (0, 1) x cresce y decresce (função decrescente) base a = 1/2 < 1 Observação : Em particular, o gráfico de f(x) = e x é:

77 Simone D. Ramos y = e x 2 1 x y. Execício(s) : Classifique as funções abaixo em crescentes ou decrescentes. (a) y = 3 x ( ) x 1 (b) y = 3 (c) y = ( 3 ) x ( ) x 3 (d) y = 5 ( 4 (e) y = 3 ) x Respostas: Crescentes: (a), (b) e (c) Execício(s) : Determine x: (a) 3 x = 9 (b) 25 x 1 = 625 (c) 81 x = 243 (d) 3 2x 10 3 x + 9 = 0 Respostas: (a) S = {2}; (b) S = {3}; (c) S = { 5 4 }; (d) S = {0, 2}.

78 78 Cálculo Básico 5.1 Função Logarítmica Seja a IR + {1}. O logaritmo de um número N IR + na base a é definido como sendo o número x tal que a x = N. Notação: log a N = x a x = N. Observação : Condições de existência: a 1, a > 0 N > 0 Observação : (i) N > 0, assim números negativos e zero não possuem logaritmo; (ii) Dom f : IR + e Im f : IR; (iii) log a 1 = 0 pois a 0 = 1 a IR + {1}; (iv) log a a = 1 pois a 1 = a; (v) log a a m = m pois a m = a m ; (vi) a log a b = b pois se log a b = n a n = b, isto é, a log a b = b; (vii) log a b = log a c b = c pois a log a c (vi) = b b = c. As bases mais usadas são: 10 (logaritmos decimais). Notação: log 10 b ou log b; e (logaritmos neperianos ou naturais). Notação: ln b ou log e b. Propriedades:

79 Simone D. Ramos 79 (a) log a (b c) = log a b + log a c; (b) log a ( b c ) = log a b log a c; (c) log a b n = n log a b (em particular: log a n b = log a b 1/n = 1 n log a b). (d) log a N = log b N log b a. Gráfico: y = log a x (i) a > 1. Exemplo (i): y = log 2 x x y 1/8 3 1/4 2 1/ y = log 2 x x y = x y. y = 2 x.. o gráfico contém o ponto (1,0). x cresce y cresce (função decrescente) 0 < x < 1 log a x < 0 x > 1 log a x > 0

80 80 Cálculo Básico (ii) 0 < a < 1. Exemplo (ii): y = log 1/2 x... y y = (1/2) x 4 x y /2 1 1/ x y = x y = log 1/2 x.. o gráfico contém o ponto (1,0). x cresce y decresce (função decrescente). 0 < x < 1 log a x > 0. x > 1 log a x < 0. Observação : Em particular, o gráfico de f(x) = log e x = ln x é: y = ln x 1 x y Execício(s) : Determine x:

81 Simone D. Ramos 81 (a) log 3 81 = x (b) log = x (c) log 3/2 2/3 = x (d) log x 3 = 3 4 (e) log x 4 = 4 (f) log 1/8 x = 4 3 Respostas: (a) S = {4}; (b) S = {2}; (c) S = { 1}; (d) S = {3 3 3}; (e) S = { 2}; (f) S = {16}. Execício(s) : Se log 2 = a e log 3 = b, calcule: (a) log 12 (b) log 5 (c) log 9 32 (d) log 2 10 (e) log 9 20 Respostas: (a) b + 2a; (b) 1 a; (c) 2b 5a; (d) 1 1+a a ; (e) 2b. Exemplo(s) ( Equação logarítmica): 2 log x = 2 + log(x 9) Solução: Restrições: x > 0 e x 9 > 0 x (9, + )

82 82 Cálculo Básico 2 log x = 2 + log(x 9) logx 2 log(x 9) = 2 log x2 x 9 = 2 log x2 x 9 = log 102 x2 x 9 = 102 x 2 x 9 = 100 x 2 100x = 0 x = 90 ou x = 10. Assim, S = {10, 90} Execício(s) : 1. Resolver: (a) ( 1 2 )3x = (e) 2 2x 34.2 x + 64 = 0 (b) 3 x2 x 3 = 1 (f) 2 48 x = 8 (c) 3 2x 3 x2 x+2 = 0 (g) (3 x ) x 1 = 9 (d) 3.9 x x 10 = 0 (h) 9x +3 4 = 3 x 2. Calcular: (a) log (b) log (c) log Resolver as equações: (a) log 4 0, 25 = x (b) log x 256 = 4 (c) 10 log9 = 8x + 5 (d) log 5 (log 2 x) = 1 (e) e ln(x2 3) = 2x

83 Simone D. Ramos Calcular 2 log log log log Resolver as equações: (a) log 2 (x 3) + log 2 (x 2) = 1 (b) log 9 (2x + 1) log 9 (x 1) = 1 2 (c) 2logx log( x 2 ) = 1 6. (PUC - SP) O logaritmo decimal de x, sabendo que x = a3 b 2 c é: (a) 3logb + 2loga logc (b) 3loga 2logb + logc (c) 3loga + 2logb + logc (d) 3loga 2logb logc (e) 3loga + 2logb logc 7. (Cesgranrio - 80) Se (x, y) é solução do sistema f(x) = então x + y é: a)11; b)3; c)6; d)4; e)5. 2 x + 3 y = 11 2 x 3 y = 5, 8. Calcule os logaritmos abaixo: (a) log 2 8; (d) log 7 1; (g) log ; (j) log ; (b) log 7 49; (e) log 3 3; (h) log ; (k) log 2(16 4); (c) log 3 81; (f) log ; (i) log ; (l) log Admitindo log 2 = 0, 3 e log 3 = 0, 48, calcule os seguintes logaritmos:

84 84 Cálculo Básico (a) log 6; (c) log 12; (e) log 20; (g) log 5 (i) log 0, 2 (b) log 8; (d) log 24; (f) log 300; (h) log 50; (j) log 0, Admitindo log 2 = 0, 3 e log 3 = 0, 48, resolva as seguintes equações exponenciais: (a) 3 x = 2; (c) 2 x = 9; (b) 4 x = 3; (d) 6 x = 8. Respostas: 1. a) x = 3; b) x = 0 ou x = 3 c) x = 2 ou x = 1; d)x = 0 e) x = 1 ou x = 5; f) x = 16; g) x = 2 ou x = 1; h) x = 1 ou x = a) 7; b) 4 7 ; c) a) x = 1; b) x = 4; c) x = 1/2; d) x = 32; e) x = a)x = 4; b)x = 4; c)x = (e) 7. (d) 8. a) 3 d) 0 g) 3 j) 1/2 b) 2 e) 1 h) 2 k) 6 c) 4 f) 4 i) 2 l) 6

85 Simone D. Ramos a) 0, 78 c) 1, 08 e) 1, 3 g) 0, 7 i) 0, 7 b) 0, 9 d) 1, 38 f) 2, 48 h) 1, 7 j) 1, 52 a) 0, 625 c) 3, 2 b) 0, 8 d) 1, 15

86 86 Cálculo Básico

87 Capítulo 6 Funções Trigonométricas 6.1 Círculo Trigonométrico Um círculo trigonométrico é um círculo orientado de raio unitário e centro na origem de um sistema cartesiano, veja figura abaixo: cotg y sen F tg G C R = 1 A E + O α B D x cos 87

88 88 Cálculo Básico Definições (a) seno DA ou sen α := OC (b) cosseno DA ou cos α := OB (c) tangente DA ou tg α := DE (d) secante DA ou sec α := OE (e) cotangente DA ou cotg α := F G (f) cossecante DA ou cossec α := OG 6.2 Relações Fundamentais 1 a ) sen 2 α + cos 2 α = 1 2 a ) sec α = 1 cos α 4 a ) cossec α = 1 5 a ) cotg α = cos α sen α sen α Demonstrações: 3 a ) tg α = sen α cos α (1 a ) : No triângulo OAB que é retângulo, temos (pelo Teorema de Pitágoras): (AB) 2 + (OB) 2 = (OA) 2. Mas AB = OC. Daí, sen 2 α + cos 2 α = 1. (2 a ) e (3 a ) : Como o triângulo ODE é semelhante ao triângulo OBA, temos: E A O B D OD OB = ED AB = OE OA 1 cos α = tg α sen α = sec α 1

89 Simone D. Ramos 89 1 cos α = sec α 1 1 cos α = tg α sen α sec α = 1 cos α tgα = sen α cos α (4 a ) e (5 a ) : Como o triângulo OF G é semelhante ao triângulo OCA, temos: F G C A O 1 sen α = cossec α 1 cotg α cos α = 1 sen α F G CA = OF OC = OG OA cotg α cos α = 1 sen α = cossec α 1 cossec α = 1 sen α cotg α = cos α sen α 6.3 Relações Derivadas 1 a ) cotg α = 1 tg α 2 a ) tg 2 α + 1 = sec 2 α 3 a ) cotg 2 α + 1 = cossec 2 α 4 a ) cos 2 α = tg 2 α 5 a ) sen 2 α = tg2 α 1 + tg 2 α Demonstrações: Seguem imediatamente das relações fundamentais.

90 90 Cálculo Básico 6.4 Sinais nos Quadrantes 6.5 Gráficos 1 o Q 2 o Q 3 o Q 4 o Q seno + + cosseno + + tangente + + cotangente + + secante + + cossecante + + a) Função Seno: f : IR IR (i) Dom f = IR; (ii) Im f = [ 1, 1]; (iii) Gráfico: x y = f(x) = sen x

91 Simone D. Ramos 91 (iv) Observe que x IR, sen x = sen(x + 2π) = sen(x + 4π) = sen(x + 6π) =... = sen(x + 2kπ), k Z. Dizemos que a função sen x é uma função periódica de período 2π rad; (v) sen x é uma função ímpar, ou seja, sen( x) = sen(x). b) Função Cosseno: f : IR IR x y = f(x) = cos x (i) Dom f = IR; (ii) Im f = [ 1, 1]; (iii) Gráfico: (iv) Observe que x IR, cos x = cos(x + 2π) = cos(x + 4π) = cos(x + 6π) =... = cos(x + 2kπ), k Z. Dizemos que a função cos x é uma função periódica de período 2π rad; (v) cos x é uma função par, ou seja, cos( x) = cos x.

92 92 Cálculo Básico c) Função Tangente: f : A IR x y = f(x) = tg x (i) Dom f = A = {x IR \ x π 2 + kπ, k Z}; (ii) Im f = IR; (iii) Gráfico: (iv) Observe que x A, tg x = tg(x + π) = tg(x + 2π) = tg(x + 3π) =... = tg(x + kπ), k Z. Dizemos que a função tg x é uma função periódica de período π rad; (v) tg x é uma função ímpar, ou seja, tg( x) = tg(x). d) Função Cotangente: f : A IR x y = f(x) = cotg x (i) Dom f = A = {x IR \ x kπ, k Z}; (ii) Im f = IR;

93 Simone D. Ramos 93 (iii) Gráfico: (iv) Observe que x A, cotg x = cotg(x + π) = cotg(x + 2π) = cotg(x + 3π) =... = cotg(x + kπ), k Z. Dizemos que a função cotg x é uma função periódica de período π rad; (v) cotg x é uma função ímpar, ou seja, cotg( x) = cotg(x). e) Função Secante: f : A IR x y = f(x) = sec x (i) Dom f = A = {x IR \ x π 2 + kπ, k Z}; (ii) Im f = IR ] 1, 1[; (iii) Gráfico: