Plano Cartesiano. Relação Binária
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- Adelino Caldeira Bugalho
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1 Plano Cartesiano O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal, conforme mostra o gráfico 1. (Medeiros, 2009) Relação Binária Dados dois conjuntos A e B não vazios, chamamos de relação binária de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano AxB. Por convenção, chamamos de x os elementos do conjunto A e de y os elementos do conjunto B. (Giovani, 1994; IEZZI, 1993; Medeiros, 2009)
2 Funções - Relação Considere 2 conjuntos, A e B, não-vazios e uma relação binária de A em B. Dizemos que essa relação é função de A em B se, e somente se, a cada elemento x do conjunto A corresponder um único elemento y do conjunto B. f: AB Lê-se: f é função de A em B Ou, no caso de ser possível escrever uma lei de correspondência através de uma expressão matemática. y = f(x) Lê-se: y é função de x, com x A e y B
3 Domínio, contradomínio e Imagem Imagem de um elemento A cada elemento x D de uma função y=f(x) corresponde um único valor de y do contradomínio dessa função, denominada imagem de x pela função f. Exemplo 1 Exemplo 2 Considerando f(x) = 2 x 2 + 1, temos: f(1) = 2. (1)2 + 1 f(1) = f(1) = 3 f(2) = 2(2) f(2) = f(2) = 9 f(3) = 2(3)2+ 1 f(3) = f(3) = 19
4 Raiz ou zero de uma função Dada uma função f de A em B chamamos Raiz (ou zero) da função f todo elemento de A cuja imagem é zero. Domínio de uma função: Consideremos que o domínio de uma função f, D (f), salvo indicação em contrário, é o subconjunto de IR, formado por todos os valores de x para os quais as operações indicadas nas expressões são possíveis, resultando um número real. Tal função, na qual o domínio é subconjunto de IR, é chamada de função real. É possível determinar o domínio de uma função, conhecendo a lei de correspondência entre os elementos. 1 Caso: Quando a variável aparece no denominador. Condição: O denominador de uma função deve ser diferente de zero. Exemplos: 2 Caso: Quando a variável aparece no radicando de índice par. Condição: O radicando de uma radical de índice par deve ser um número maior ou igual a zero. Exemplos: 3 Caso: Quando a variável aparece no radicando de um radical de índice par e esse radical está no denominador de uma função. Condição: Este caso é a reunião dos 2 primeiros casos. Exemplos:
5 Função do 1º Grau A função do primeiro grau é muito usada para mostrar a taxa de variação. Sempre que essa taxa de variação for linear, ou seja, a mesma durante todo um periodo, essa variação pode ser indicada por uma função do primeiro grau. Um exemplo seria o quanto varia o volume de uma caixa d'agua em função do tempo, adimitindo que a vazao de agua seja constante. Pode indicar a posição de um automovel numa rodovia, se ele estiver em velocidade constante. Chamamos de função do 1º grau ou afim a qualquer função IR em IR definida por f(x) = ax +b, onde a e b são números reais e a é não nulo. Definição: f : IR IR definida por f(x) = ax + b, a IR * e b IR Observação: a-) O gráfico da função do 1º grau é uma reta. b-) O conjunto imagem da função do 1º grau é IR c-) A função do 1º grau com b= 0, ou seja, f(x)= ax é chamada linear. EXEMPLO: Construa o gráfico e dê o conjunto imagem das seguintes funções de IR em IR : y i) x f(x) 2 x f(x) = x Im = IR x 1
6 y ii) f(x) 5x x f(x) = 5x x 1 Im = IR Observe que a função f(x) = 5x, é uma função linear, e é uma reta que passa pela origem ( 0, 0 ), pois para x = o temos y = 0, para construirmos o gráfico basta obter apenas mais um ponto. Função decrescente Quando o valor numérico de a for menor que zero Característica importante da função Para f (x) = 2x + 4 Função crescente a > 0 Coeficiente angular a é o número 2 Coeficiente linear b é o número 4 Estudo do sinal da função do 1º grau Agora passaremos a outra etapa de estudos. Trata-se do estudo dos sinais da função do 1 Grau f(x) = ax + b, o qual consiste em saber: 1. y > 0 (positivo)
7 2. y = 0 (nulo) 3. y < 0 (negativo) 1 Caso: Estudar os sinais da f (x) = 2x - 4. Exemplos: Inequações A resolução das inequações do 1 Grau é a determinação dos valores que as satisfazem, por ser feita pelo estudo do sinal de uma função. Exemplos: a) x + 2 > 0 Considerando a função dada por y = x + 2, queremos y > 0. Determinando zero da função temos x + 2 = 0 x = - 2 b) 2x 3 0 2x 3 = 0 2x = 3 x = 3/2 Sistemas de Inequações A resolução é feita dos estudos dos sinais separadamente, seguidos da intersecção dos conjuntos. Exemplos:
8 Simplificando f(x) = 3x 9 e g (x) = 4 8 Inequação Produto Resolução de Inequação Produto pode ser feita com o estudo de sinais, separadamente, seguido da determinação dos sinais do produto de f(x) por g(x), em seguida identificando os valores de x que satisfazem a inequação. a) (x 3)(x + 6) > 0 Resolvendo separadamente
9 Estudando os sinais Inequação Quociente Na resolução de uma inequação quociente o procedimento é o mesmo da inequação produto a qual já vimos. Exemplos: a) Resolução a inequação f(x) = x 2 x 2 = 0 x = 2 g(x) = x 3 x - 3 = 0 x = 3
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