Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática

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1 Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática Valor Absoluto: O valor absoluto de a, representa-se por a e é a distância do número a a 0. a = { a se a 0 a se a < 0 Exemplo 4 = +4 = 4, 0 = 0, 5 = 5 = 8 = 8 Operações com Números Reais:. Para somar dois números reais com o mesmo sinal, some os valores absolutos e acrescente o sinal comum.. Para somar dois números reais com sinais diferentes, encontre a diferença entre os valores absolutos e acrescente o sinal do número com maior valor absoluto.. O produto de dois números reais com o mesmo sinal é positivo. 4. O produto de dois números reais com sinais opostos é negativo. 5. O quociente de dois números reais com o mesmo sinal é positivo. 6. O quociente de dois números reais com sinais opostos é negativo. Exemplo 4 + =, 4 + = 6 + =, ( 4 + ) + = ( ) + = + = 4, 6 ( + ) = 6 () = = 9 Propriedades dos expoentes:. Expoente inteiro: x n = x.x.x. }{{....x} n factores. Expoente Zero: x 0 =, x 0. Expoente negativo: x n = x n, x 0 4. Raiz: n x = a x = a n

2 5. Expoente racional: x n = n x ) x m n = (x m ( n = n ) m x = n x m 6. Raiz quadrada: x = x Operações com expoentes:. Multiplicação (bases iguais): x n.x m = x n+m. Divisão (bases iguais):. Remoção de parênteses: x n x m = xn m (xy) n = x n.y n ( ) x n = xn y y n (x n ) m = x nm x n = (x n ); cx n = c(x n ); x nm = x (nm) ; x n ( x) n cx n (cx) n x nm (x n ) m Exemplo x.x 8 = x, x.x 4.x = x +4 = x, ( ) 5 = ( ) 5 = 5, x (x) x 4 x = x4 ( ) = x 4+ = x 7, (x) = x =.4x x = 8 Equações:. Uma equação linear numa variável é uma equação que pode ser escrita na forma geral: ax + b = 0 (a 0) onde a e b são constantes.. Uma equação quadrática numa variável é uma equação que pode ser escrita na forma geral: ax + bx + c = 0 (a 0) onde a, b e c são constantes Propriedades das Equações:. A equação obtida somando a mesma quantidades em ambos os lados de uma equação é equivalente á equação original.

3 . A equação obtida multiplicando ambos os lados de uma equação pela mesma quantidade não nula é equivalente á equação original. Resolução de uma equação linear:. Utilizando as propriedades das equações converta a equação dada na forma geral ax + b = 0 (a 0). Utilizando as propriedades das equações converta a equação na forma Resolução de uma equação Quadrática: x = b a. Utilizando as propriedades das equaçãoes converta a equação dada na forma geral ax + bx + c = 0 (a 0). Pode resolver a equação: factorizando o o membro e aplicando a lei do anulamento do produto Se ab = 0 então a = 0 ou b = 0 Utilizando a formula quadrática: x = b ± b 4ac a Dada a equação ax + bx + c = 0 binómio = b 4ac e tem-se que: (a 0), chama-se discriminante e representa-se por ao. se = b 4ac > 0, a equação tem duas soluções reais e distintas;. se = b 4ac = 0, a equação tem exactamente uma solução real;. se = b 4ac < 0, a equação não tem soluções reais. Factorização de Polinómios:. Fórmula Resolvente: ax + bx + c = 0 x = b ± b 4ac a. ax + bx + cx + d = 0: a b c d α α a α b + α a c α + α b + α a a b + α a c + α b + α a d + c α + α b + α a

4 Se d + c α + α b + α a = 0 então α é raiz do polinómio e tem-se ax + bx + cx + d = (x α)(ax + (b + a α)x + (c + α b + α a). Se o polinómio ax + bx + c tem raizes α e β então ax + bx + c = a(x α)(x β) 4. Propriedade Distributiva: abx n + acx n+m = ax n (b + cx m ) 5. Quadrado da Soma: (a + b) = a + ab + b 6. Quadrado da Diferença: (a b) = a ab + b 7. Diferença de quadrados: a b = (a + b)(a b) Operações com fracções:. Soma: a b + c d = ad bd + cb db. Subtracção: a b c d = ad bd cb db. Produto: a b c d = ac bd, b 0, d 0 4. Quociente: a b c d ad + bc =, b 0, d 0 bd = a b d c = ad, b 0, c 0, d 0 bc a b c = a b c = a bc, b 0, c 0 ad bc =, b 0, d 0 bd 5. Cancelamento de factores iguais: ab ac = b c, a 0, c 0 e ab + ac = ad a(b + c) ad = b + c d, a 0, d 0 Técnicas de Racionalização: (recorde que a a = a, a b = a b e ( a + b) ( a b) = a b)). Se o denominador for a, multiplique por a a. Se o denominador for a b, multiplique por a + b a + b. Se o denominador for a + b, multiplique por a b a b, 4

5 Função: Uma função é uma relação entre dois conjuntos tal que a cada elemento do primeiro conjunto corresponde um único elemento do segundo conjunto. Se representarmos a função por y = f(x), x é a variável independente e y a variável dependente. Domínio de uma função: Chamamos domínio de y = f(x), e representamos por D f ao conjunto dos valores que a variável independente, x, pode tomar de forma a que a variável dependente, y, seja real. Exemplo 4 Calcular o domínio de f(x) = 4 x D f = {x : 4 x > 0} = {x : x > 4} = {x : x < 4} =], 4[ Calcular o domínio de f(x) = x+ x D f = {x : x 0} = {x : x } =], [ ], + [ Intersecção com os eixos. Para encontrar a intersecção de y = f(x) com o eixo Y OY faça x = 0. Para encontrar a intersecção de y = f(x) com o eixo XOX faça y = 0 Função Linear: Uma função linear é uma função da forma f(x) = mx + b onde m e b são constantes. A representação gráfica de uma função linear é uma recta (para representar graficamente uma função linear, marque pontos e trace a recta que os une). m é o declive da recta e b a intersecção com o eixo Y OY. Função Quadrática: Uma função quadrática é uma função da forma f(x) = ax + bx + c onde a, b e c são constantes. A representação gráfica de uma função quadrática é uma parábola. Vértice da parábola:o vértice é o ponto onde a parábola muda de direcção. O vértice tem as coordenadas: x = b a e y = ax + bx + c 5

6 A parábola que representa graficamente a função f(x) = ax + bx + c. Abre para cima e o vértice é um mínimo da função se a > 0; abre para baixo e o vértice é um máximo da função se a < 0. Intersecta o eixo XOX em dois pontos se = b 4ac > 0. Neste caso a parábola toma o sinal contrário ao de a entre as raízes da equação ax + bx + c = 0 toma o sinal de a fora das raízes da equação ax + bx + c = 0. Intersecta o eixo XOX em um só ponto se = b 4ac = 0. Neste caso a parábola f(x) = ax + bx + c toma sempre o sinal de a. 4. Não intersecta o eixo XOX se = b 4ac < 0. Neste caso a parábola f(x) = ax +bx+c toma sempre o sinal de a. Função Exponencial: y = a x PROPRIEDADES:. Domínio D = R. ContradomínioD = R +. A Função não tem zeros 4. Função injectiva 5. Função contínua 6. Função crescente se a > ; Função decrescente se 0 < a < 7. a n.a m = a n+m 8. a n.b n = (ab) n a n a m = an m a n ( a ) n b n = b, b 0. (a n ) m = a nm. a 0 =. a n = a n e a n = a n 6

7 Função Logarítmica: y = log a x x = a y PROPRIEDADES:. Domínio D = R +. ContradomínioD = R. A função tem um zero para x = (log a = 0, a) 4. Função injectiva 5. Função contínua em R + 6. Função crescente se a > ; Função decrescente se 0 < a < 7. x = a loga x e log a a y = y 8. log(xy) = log(x) + log(y), x, y R + ( ) x 9. log = log(x) log(y), x, y R + y 0. log(x k ) = k.log(x), x R +. log b (x) = log a (x).log b (a), x R + e a, b R + \{} 7

8 Exercícios. Calcule o valor das expressões: (a) y = 5 (b) y = ( ) ( ) (c) 4 ( 4) + (d) y = (e) y = [ ( )] + (f) y = + 0. (g) y = 4 + (4 + ) (h) y = ( 5)( ) ( )() (i) y = (j) y = 5 (k) y = 4 5 (l) y = 6 4( )( ) Simplifique as expressões: (a) ( a b c 4 a 4 b c 0 (b) ( 4x y 40 x 4 y 0 (c) x (x) (d) x x ) ) (e) x (x) x (f) y 7xy (g) x y x y y 5 (h) 5 y. Execute as operações indicadas e simplifique os resultados obtidos: (a) (5x )(7x ) (b) (9x y ) (x y) (c) (x )(x 7 x 4 5x + 5) (d) (6x + 4xy + 8x) (4xy) (e) (7x y 8xy + 9xy ) (6xy) (f) (x 5 + x )(x 5 x ) (g) (x x )(4x x ) (h) (x + ) [(x + ) (x + ) ] 4. Resolva as equações em x, e confira o resultado obtido: (a) 4 5x = 4 + x (b) (x 7) = 9 x 5(x ) (c) x = x 6 9 x (d) x 6 = x x (e) x + 5x + 6 = (f) x 4x + 0 = x + x + 4 (g) x 4x + 6 = x + (h) x + x + x = 0 5. Factorize as expressões: 8

9 (a) 8x x (b) x(x + 5) 5(x + 5) (c) x 0x 4 (d) x + 5x + 8 (e) 00 49x (f) 6x 64y (g) x + x + x 6 (h) x 8x + 8x (i) x x 4x + 4 (j) x Simplifique (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) x + x 5 x + x x (x + ) / + (x + ) / x + + x + x + 4 x + + (x + ) + x x + + ( x + x x+ ) ( + x x + x + x + ( ) x x + x + ( x + x + x + x + ( x ) x + (x + ) x x + (j) (x + ) / x (x + ) / x 6x 6 (k) x + x + x x + 4x + 4 (l) x + x y (xy) 7. Racionalize o denominador das expressões: (a) ) ) ( + x x + ) (b) (c) 5 + x + x + 8. Determine o domínio das funções: (a) f(x) = log(x + 4x + 4) x (b) f(x) = log(x 5x + 6) (c) f(x) = log(x + 4) (d) f(x) = x + 9

10 (e) f(x) = x log(x + ) (f) f(x) = x 5 (g) f(x) = 6x x 8 9. Sem utilizar a calculadora calcule: (a) log 5 (b) log 8 64 (c) log 5 5 (d) log (e) log 8 (f) e ln 5 0. Sabendo que log a x =. e que log a y =.9, determine: (a) log a x y (b) log a ( x) (c) log a (xy) (d) log a y. Resolva em R as equações: (a) log 0 x = 0 (b) log 0. x = (c) log = y (d) log b 64 = (e) 0 x 0 x =. Considere a função real de variável real f(x) = x + log 0 (7x 4) (a) Determine o domínio (b) Determine f(). Considere a função real de variável real f(x) = e x + ln(x + ) (a) Determine o domínio (b) Determine f(0) 4. Considere a função real de variável real f(x) = ln(e x 5) (a) Determine o domínio e o contradomínio de f(x) (b) Calcule f(ln ) 5. Considere a função real de variável real f(x) = e x (a) Determine o domínio e o contradomínio da função. (b) Resolva a equação f(x) = f() 6. Represente graficamente as funções: 0

11 (a) f(x) = x + 5 (b) f(x) = x + (c) f(x) = x + x + (d) f(x) = x + 8x + 8 (e) f(x) = 5x x 6 (f) f(x) = e x (g) f(x) = e x (h) f(x) = e x (i) f(x) = e x (j) f(x) = lnx (k) f(x) = ln(x + ) (l) f(x) = ln x

12 Soluções. (a) y = 6 (b) y = 0 (c) 9 (d) y = 4 (e) y = 9 (f) y =. (a) a8 c b 6 (b) x0 y 60 6 (c) x 4 (d) x 4. (a) 5x 5 (b) xy (c) x 0 x 7 5x 5 + x 4 + 5x + 5x 5 (d) 4x + y + y 4. (a) x = 0 (b) x = 0 (c) x = 6 (d) x = 5. (a) 4x (x ) (b) (x + 5)(x 5) (c) (x + )(x ) (d) (x + )(x + ) (e) (0 7x)(0 + 7x) (g) y = 4 (h) y = 8 (i) y = (j) y = 4 (k) y = 4 (l) y = 4 (e) 8x 4 (f) xy5 (g) 6y x 5 (h) (e) 0 y 9xy 6 + y (f) x 5 x (g) x x 7 6 (h) 4x + 4x (e) x = ou x = 4 (f) x = ou x = (g) x = (raiz dupla) (h) x = 0 ou x = (raiz dupla) (f) (4x 8y)(4x + 8y) (g) (x )(x + x + 6) (h) x(x ) (i) (x )(x )(x + ) (j) (x + 9)(x )(x + )

13 6. (a) x 6 x 4 (b) x (c) x + (x + ) / (d) x + 6x 0 (x + )(x )(x + 4) (e) x + 6x + (x + ) (x ) (f) x + ((x + ) / (g) (h) x + x + x (i) x(x + ) (x + ) / (j) x x + (k) 6x + (l) x5 + y xy 7. (a) 5 (b) (c) x x + 8. (a) ], [ ], + [ (b) ], [ ], + [ (c) R (d) [, + [ 9. (a) 0 (b) (c) / 0. (a).7 (b) 0.6. (a) x = (b) x = 00 (c) y = (e) ], 0[ ]0, + [ (f) [5/, + [ (g) [, 4] (d) (e) 4 (f) 5 (c) 5. (d).7 (d) b = /4 (e) x = log 0. (a) ]4/7, + [ (b) f() = 5. (a) ], + [ (b) f(0) = 4. (a) ]ln(5/), + [; R (b) Calcule f(ln ) = 0 5. (a) ], [; ], [ (b) x =

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