1. Polinómios e funções racionais

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Fernanda Figueiredo Vidal
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1 Um catálogo de funções. Polinómios e funções racionais Polinómios e funções racionais são funções que se podem construir usando apenas as operações algébricas elementares. Recordemos a definição: Definição : Chamamos polinómio a uma função P : R R da forma n P(x) = c 0 +c x+c 2 x 2 + +c n x n = c k x k, com c 0,...,c n R k=0 Se c n 0, dizemos que n é o grau do polinómio. Se P(x) é um polinómio de grau n, qualquer recta horizontal y = N intersecta o gráfico de P no máximo n vezes. Isto porque a equação P(x) = N tem no máximo n soluções. Um polinómio de grau zero é uma função constante. Um polinómio de grau um é uma função da forma P(x) = mx + b com m 0. O gráfico de f é uma recta de declive m. m mede a inclinação da recta e o sinal de m diz-nos se a função é crescente ou decrescente. É importante realçar que o declive pode ser calculado do seguinte modo: Tomando quaisquer dois pontos x x 2, m = P(x 2) P(x ) x 2 x A figura representa o gráfico da função f(x) = 2x 2. Repare que o declive da recta é igual ao quociente f(2) f(8) 2 8 = = 2. f(2) = 4 f(8) = Figura. Gráfico da função f(x) = 2 x 2 Um polinómio de grau dois é uma função da forma P(x) = ax 2 + bx + c com a 0. O seu gráfico é uma parábola. O leitor pode verificar que qualquer função P(x) = ax 2 +bx+c pode ser escrita na forma P(x) = y 0 +a(x x 0 ) 2 com x 0 = b 2a e y 0 = c b2 4a

2 2 A constante a controla a concavidade da parábola, que será tanto mais acentuada quanto maior o valor de a. O sinal de a diz-nos se a concavidade está voltada para cima ou para baixo. x 0 y 0 Figura 2. Gráfico da parábola f(x) = y 0 +a(x x 0 ) 2 Repare que para y 0 > 0 a função não tem zeros, para y 0 = 0 tem um zero e para y 0 < 0 tem dois zeros. Recordemos agora a definição de função racional: Definição 2: Chamamos função racional a uma função definida por um quociente de polinómios: f(x) = P(x) com P e Q polinómios Q(x) O domínio de f é o conjunto D = {x R : Q(x) 0}. Uma função racional não está definida nos pontos em que o denominador se anula. Assim, o seu domínio é R excepto um número finito de pontos. Um exemplo importante de função racional é a hipérbole f(x) = /x. De facto qualquer função racional da forma g(x) = ax+b cx+d com c 0 pode ser escrita de forma semelhante: g(x) = y 0 + k x x 0 com y 0 = a c, x 0 = d c e k = bc ad c 2 O gráfico de g, uma hipérbole, está representado na figura 3 (para k > 0).

3 Um catálogo de funções 3 y = y 0 x = x 0 Figura 3. Gráfico da função g(x) = y 0 + k x x 0 2. Potências Chamamos potência a uma função da forma f(x) = x a. O exemplo mais simples de potência é um polinómio da forma f(x) = x n, com n N. Para p,q N primos entre si, temos x p q = q x p o que inclui, para q =, o caso x p. Domínio: Para q par, x p/q só está definida para x 0. Para q ímpar, x p/q está também definida para x < 0. Paridade: Assumindo que q é ímpar temos Para p par, x p/q é uma função par Para p ímpar, x p/q é uma função ímpar Monotonia: x p/q é crescente no intervalo [0,+ [. Para q ímpar, a paridade implica que, Para p par, x p/q é decrescente em ],0] Para p ímpar, x p/q é crescente em todo o seu domínio. Repare que no intervalo [0,+ [, as funções x p q e x q p são inversas uma da outra pelo que os seus gráficos são simétricos em relação à recta y = x.

4 4 a = 3 a = a = 3 Figura 4. Gráficos de x a (x 0) para a = 3, 2, 2 3,, 3 2, 2, 3 Para a < 0, a função x a não está definida em x = 0. Recorde que, para p,q N primos entre si temos x p/q = q x p a = 2 a = 2 Figura 5. Gráficos de x a (x > 0) para a = 2, 2 3,, 3 2, 2 Quando a não é um número racional, podemos definir x a por Definição 3: x a = exp(alnx) O domínio de exp é R logo a função x a está definida para todo o x > 0. É de salientar no entanto que: Se a > 0, x a está também definida para x = 0: 0 a = 0; Se a = p q > 0 com q ímpar, então xp q = q x p está de facto definida para todo o x R.

5 Um catálogo de funções 5 3. Exponenciais e logaritmos Na última secção estudámos funções da forma f(x) = x a. Fixando a base e fazendo variar o expoente obtemos as chamadas funções exponenciais. Recordemos a definição: Definição 4: Seja a > 0. Chamamos exponencial a uma função da forma f(x) = a x = exp(xlna). De particular importância é a função exp(x) = e x em que e é o número de Nepper. Algumas observações: Contradomínio: As funções exponenciais são sempre positivas Monotonia: A função a x é crescente para a > e decrescente para a < Como ( ) x a = a x, os gráficos das funções ( x a) e a x são simétricos em relação ao eixo dos yy. a = 0 a = 0 3 a = 2 3 a = 3 2 Figura 6. Gráficos de a x para a = 0, 3, 2, 2 3,, 3, 2, 3, 0. 2 a x é monótona, logo é injectiva (excepto para a = naturalmente). Definição 5 (Logaritmo): Chamamos logaritmo de base a à inversa de y = a x, que representamos por x = log a y. Se y = a x então lny = xlna portanto log a y = x = lny lna log e x é a inversa de e x = expx logo log e x = lnx. Observação: É frequente usar a notação logx para designar o logaritmo de base 0. Contudo em matemática logx designa sempre o logaritmo de base e. Para evitar confusões usaremos apenas a notação ln. O logaritmo de base a tem propriedades análogas às da função lnx:

6 6 Teorema 6: log a (xy) = log a x+log a y e log a (x b ) = blog a x. Deixamos a demonstração como exercício. 4. Funções trigonométricas As funções trigonométricas têm um papel fundamental na matemática e nas suas aplicações. Já encontrámos as funções seno, coseno, e tangente. As funções trigonométricas cotangente, secante e cosecante podem também ser definidas a partir das funções seno e coseno: Definição 7: Definimos as funções tangente, cotangente, secante e cosecante por tanx = senx (tangente) secx = cosx cosx (secante) cotanx = cosx senx (cotangente) cosecx = senx (cosecante) Para θ ] 0, π 2[ podemos descrever as funções trigonométricas em termos da figura 7. B D E B F O θ A C 0 θ Figura 7. Funções trigonométricas no primeiro quadrante. Temos senθ = AB tanθ = CD secθ = OD cosθ = OA cotanθ = EF cosecθ = OF Para cada um dos triângulos rectângulos da figura 7, o teorema de Pitágoras dá-nos uma relação trigonométrica importante:

7 Um catálogo de funções 7 Teorema 8: As funções trigonométricas obedecem às relações sen 2 θ +cos 2 θ = tan 2 θ + = sec 2 θ cotan 2 θ + = cosec 2 θ Demonstração. Já vimos anteriormente que sen 2 θ +cos 2 θ =. Agora tan 2 θ + = sen2 θ cos 2 θ + = sen2 θ +cos 2 θ cos 2 θ e analogamente para a cotangente e a cosecante. = cos 2 θ = sec2 θ Outras propriedades importantes das funções trigonométricas são: Domínio: As funções tangente e secante só estão definidas quando cos θ 0, ou seja quando θ π/2+kπ com k Z. As funções cotangente e cosecante só estão definidas quando senθ 0, ou seja quando θ kπ, k Z. Paridade: O seno, a tangente e a cosecante são ímpares. O coseno, a cotangente e a secante são pares. Periodicidade: A funções trigonométricas são todas periódicas. O seno, o coseno, a secante e a cosecante têm período 2π e a tangente e a cotangente têm período π. Os gráficos das funções seno e coseno estão representados na figura 8 - Figura 8. Gráfico das funções seno e coseno 5. Funções trigonométricas inversas Já encontrámos as funções arco-seno, arco-coseno e arco-tangente Recorde que O arco-seno é a inversa da restrição do seno ao intervalo [ π/2,π/2]; O arco-coseno é a inversa da restrição do coseno ao intervalo [0,π]; O arco-tangente é a inversa da restrição da tangente ao intervalo ] π/2,π/2[. De maneira análoga podemos também definir a função arco secante. A secante é crescente no intervalo [0,π/2[ já que secx = /cosx e o coseno é decrescente nesse intervalo. Assim,

8 8 Definição 9: Chamamos arco-secante à função inversa da restrição da secante ao intervalo [ 0, π/2[: arcsecu = θ u = secθ com θ [0,π/2[ Repare que, como 0 < cosθ no intervalo [0,π/2[, secθ logo arcsecu só está definido para u. As funções trigonométricas inversas estão relacionadas pelas fórmulas: () arcsenx+arccosx = π/2; (2) arctan t = arcsen t +t 2 ; (3) arcsecu = arccos u com u 0. Outras propriedades importantes das funções trigonométricas inversas são: Domínio: O arco-seno e o arco-coseno têm por domínio o intervalo [,]. O domínio do arco-tangente é R e o domínio do arco-secante é [,+ [. Monotonia: O arco-seno, o arco-tangente e o arco-secante são crescentes. O arco-coseno é decrescente. Paridade: O arco-seno e o arco-tangente são ímpares. O arco-coseno e o arcosecante não são nem pares nem ímpares. 6. A função sen(/x) Ao estudar qualquer assunto em matemática é uma grande ajuda para a intuição ter presente um conjunto de exemplos para aplicar os diversos conceitos que se vão encontrando. Em particular é útil ter um conjunto de exemplos estranhos, chamados de contra-exemplos, com que testar a validade de várias afirmações. Um desses exemplos é a função de Dirichlet: x Q d(x) = 0 x / Q Como existem racionais e irracionais em qualquer intervalo aberto, d(x) toma os valores 0 e em qualquer vizinhança de qualquer ponto. Vamos agora familiarizarnos com a função f(x) = sen x /x toma os valores 2kπ quando x = /(2kπ). Seja ï ò I k = 2(k +)π, [2kπ,2(k +)π] 2kπ x Então x I k /x [2kπ,2(k +)π] pelo que f percorre um período completo do seno em cada intervalo I k. O comprimento dos intervalos I k vai ficando cada vez mais pequeno: 2kπ 2(k +)π = 2πk(k +) < k 2

9 Um catálogo de funções 9 Assim, f oscila com uma frequência cada vez maior à medida que x se aproxima de zero. 0 8π 6π 4π 2π Figura 9. Função sen(/x) para 34π < x < 2π Repare que f não é monótona em nenhuma vizinhança da origem. A partir de f podemos construir outras funções, multiplicando por x n : Figura 0. Funções x 2 sen(/x) e sen(/x)/x

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