Séries de Potências de x

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Lucinda Campos Vidal
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1 Séries de Potências de x As séries de potências de x são uma generalização da noção de polinómio. Definição: Chama-se série de potências de x com coeficientes a 0, a 1,, a n,, a qualquer série da forma ou seja, a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n, a n x n. Chama-se domínio de convergência da série de potências ao conjunto dos valores reais que, substituídos na série, originam uma série numérica convergente. Uma série de potências a n x n é uma função, que está definida no seu domínio de convergência. O valor 0 pertence sempre ao domínio de convergência da série. Exemplo Importante: O domínio de convergência de é 1,1. Mais, para qualquer x 1, 1, x n 1 x x 2 x n x n 1. 1x Em 1, 1 a série x n 1 define a função. 1x Ana Matos - AMII 0607 (versão de 20 de Abril) S. Pot. 1

Chama-se domínio de convergência da série de potências ao conjunto dos valores reais que, substituídos na série, originam uma série numérica convergente.

2 Definição: Chama-se raio de convergência da série ao valor a n x n R 1 lim n an Proposição: Seja R o raio de convergência duma série de potências. A série é absolutamente convergente para x R, R; divergente em R\R, R, isto é, para x tais que x R. O intervalo R,R designa-se por intervalo de convergência da série. Nota 1: A proposição nada afirma sobre a convergência da série nos extremos do intervalo de convergência. Nota 2: O domínio de convergência duma série de potências de x é sempre um intervalo centrado em 0. Nota 3: O intervalo de convergência é o maior intervalo aberto em que a série é convergente. Ana Matos - AMII 0607 (versão de 20 de Abril) S. Pot. 2

Nota 1: A proposição nada afirma sobre a convergência da série nos extremos do intervalo de convergência.

3 Proposição: O raio de convergência da série a n x n é igual a desde que este limite exista. lim a n a n1, Exemplo Importante: (Série exponencial) A série de potências x n 1 x x2 2! x3 3! xn é absolutamente convergente em R. Veremos que x n e x, para qualquer x R. Ana Matos - AMII 0607 (versão de 20 de Abril) S. Pot. 3

lim a n a n1, Exemplo Importante: (Série exponencial) A série de potências x n

4 Séries de potências de xa Séries de potências de x a são séries da forma a n x a n a 0 a 1 x a a n x a n, com a é um real fixo. Para a 0, tem-se uma série de potências de x. Fazendo y x a, o cálculo do raio de convergência de a n x a n reduz-se ao cálculo do raio de convergência de a n y n. Então a n x a n é absolutamente convergente para y x a R, isto é em ar,ar, é divergente para y x a R, isto é em R\a R,a R é necessário estudar, para cada caso, o que se passa nos extremos do intervalo. Nota: O domínio de convergência duma série de potências de x a é sempre um intervalo centrado em a. Ana Matos - AMII 0607 (versão de 20 de Abril) S. Pot. 4

$Então a n x a n é absolutamente convergente para y x a R, isto é em ar,ar, é divergente para y x a R, isto é em R\a R,a R é necessário estudar, para cada caso, o$

5 Derivação e Integração de Séries de Potências Definição: Uma função f diz-se analítica num ponto a, do seu domínio, se f é a soma de uma série de potências de a nalguma vizinhança de a. Isto é, se existe uma sucessão a n tal que, para algum 0, fx a n x a n, x a,a. Exemplo: A função fx 1 1x é analítica no ponto 0. Proposição: Considere-se a n x a n, série de potências com raio de convergência R, e n1 n a n x a n1 a 1 2a 2 x a n a n x a n1, a série que se obtém derivando-a termo a termo. Então: 1. as duas séries têm o mesmo raio de convergência R; 2. se R 0, a função fx a n x a n é derivável no intervaloar, a R e f x n1 n a n x a n1. Ana Matos - AMII 0607 (versão de 20 de Abril) S. Pot. 5

Proposição: Considere-se a n x a n, série de potências com raio de convergência R, e n1 n a n x a n1 a 1 2a 2 x a n a n x a n1, a série que se obtém derivando-a termo a

6 1 Exemplo: Mostre que é analítica em 0 e desenvolva-a em 2 1x série de potências de x. Corolário: Qualquer função definida por uma série de potências de x a, com raio R 0, é indefinidamente derivável em ar, ar e as suas derivadas podem ser calculadas derivando a série termo a termo. Corolário: Seja a n x a n uma série de potências, com raio de convergência R 0. Então, a função definida ema R, ar por fx é primitivável neste intervalo Pfx com C uma constante real. e a n x a n Pa n x a n a n x a n1 n 1 C, Primitivando a série de potências termo a termo obtêm-se as suas primitivas. Exemplo Importante: No intervalo1, 1, lnx 1 1 n x n1 n 1. Ana Matos - AMII 0607 (versão de 20 de Abril) S. Pot. 6

a série termo a termo. Corolário: Seja a n x a n uma série de potências, com raio de convergência R 0.

7 Série de Taylor Definição: Seja f uma função indefinidamente derivável num ponto a R. Chama-se série de Taylor de f no ponto a à série de potências, isto é fa f ax a f a 2! f n a x a n x a 2 fn a x a n Chama-se série de Mac-Laurin de f ponto 0, isto é, a: à série de Taylor de f no f n 0 Exemplos Importantes: x n f0 f 0x f 0 2! x 2 fn 0 x n Série de Mac-Laurin de sen x : x x3 3! x5 5! 1n x 2n1 2n1! Série de Mac-Laurin de cosx : 1 x2 2! x4 4! 1n x 2n 2 Série de Mac-Laurin de e x : x n e x Ana Matos - AMII 0607 (versão de 20 de Abril) S. Pot. 7

f n a x a n x a 2 fn a x a n Chama-se série de Mac-Laurin de f ponto 0, isto é, a: à série de Taylor de f no f n 0 Exemplos Importantes:

8 Atenção: O facto de podermos escrever a série de Taylor de uma função num ponto não garante que a função seja soma dessa série, mesmo no intervalo de convergência desta. A função fx e 1 x 2 se x 0 0 se x 0. é indefinidamente diferenciável em R\0. Por indução, pode-se provar que as suas derivadas de qualquer ordem para x 0 existem e são 0. A função f apenas se anula em 0, pelo que não é igual à soma da sua série de Mac-Laurin em nenhuma vizinhança de 0. Definição: Diz-se que f é desenvolvível em série de Taylor num ponto a se f é a soma da sua série de Taylor nalguma vizinhança de a. Proposição: (C. Suf. de Desenvolvimento em Série de Taylor) Seja f uma função indefinidamente derivável no intervalo ar, a R, para a qual existe uma constante M tal que xar,ar : f n x M. Então, neste intervalo, f é soma da série de Taylor no ponto a, isto é, fx f n a x a n, x ar,a R. Ana Matos - AMII 0607 (versão de 20 de Abril) S. Pot. 8

A função f apenas se anula em 0, pelo que não é igual à soma da sua série de Mac-Laurin em nenhuma vizinhança de 0.

9 Nota: Para aplicar esta proposição temos que majorar f e todas as suas derivadas, em a R, ar, pela mesma constante. Exemplos Importantes: Para qualquer x R, sen x x x3 3! x5 5! 1n x 2n1 2n1! cosx 1 x2 2! x4 4! 1n x 2n 2 e x 1 x x2 2! x3 3! Em particular, xn x n, x R. e 1. Proposição: Se uma função f é a soma de uma série de potências a n x a n, numa vizinhança dum ponto a, esta série coincide com a série de Taylor de f em a. Isto é, para qualquer n 0, a n fn a Nota: Então uma função f é analítica num ponto a se e só se é desenvolvível em série de Taylor no ponto a.. Ana Matos - AMII 0607 (versão de 20 de Abril) S. Pot. 9

Proposição: Se uma função f é a soma de uma série de potências a n x a n, numa vizinhança dum ponto a, esta série coincide com a série de Taylor de f em a.

10 Esta proposição permite garantir que uma certa série é a série de Taylor de uma função num ponto e mostrar que a função é soma dessa série, recorrendo a desenvolvimentos conhecidos e/ou aos resultados sobre derivação e integração de séries de potências. Exemplos Importantes: 1. O desenvolvimento em série de Mac-Laurin de 1 1x 1xx 2 x n é x n, x 1, O desenvolvimento em série de Mac-Laurin de logx 1 é 1 n x n1 n 1. Ana Matos - AMII 0607 (versão de 20 de Abril) S. Pot. 10

de potências. Exemplos Importantes: 1. O desenvolvimento em série de Mac-Laurin de 1 1x 1xx 2

11 Aplicação das séries de potências à primitivação Muitas funções são primitiváveis mas não podem ser primitivadas recorrendo só ao que se deu em AMII, isto é: - primitivas imediatas, primitivação por partes e primitivação por substituição. Diz-se que f é uma função elementar se pode ser obtida por um número finito de operações de adição, multiplicação, divisão e composição, a partir de funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, directas ou inversas. A função é uma função elementar. e x2 Pode-se provar que a sua primitiva não é elementar, pelo que não pode ser obtida, pelos métodos referidos, a partir de funções elementares. Recorrendo à primitivação de séries de potências e a conclui-se que e x x n, Pe x2 1 n x 2n1 2n1 C, sendo C uma constante real. Ana Matos - AMII 0607 (versão de 20 de Abril) S. Pot. 11

Diz-se que f é uma função elementar se pode ser obtida por um número finito de operações de adição, multiplicação, divisão e composição, a partir de funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas e

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