Exercícios e questões de Álgebra Linear

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Exercícios e questões de Álgebra Linear"

Transcrição

1 CEFET/MG Exercícios e questões de Álgebra Linear Versão 1.2 Prof. J. G. Peixoto de Faria Departamento de Física e Matemática 25 de outubro de 2012 Digitado em L A TEX (estilo RevTEX).

2 2 I. À GUISA DE NOTAÇÃO Vetores são representados por letras latinas minúsculas sob uma seta como u; matrizes por letras latinas em negrito, como A; e números, muitas vezes, por letras gregas minúsculas. A t indica a transposta de A. A indica o conjugado hermiteano da matriz A, i.e., A = (A ) t. α indica o conjugado complexo de α. O conjunto das matrizes reais (ou complexas) de ordem n m é designado por M n m (R) (ou M n m (C)). O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n é P n ; o conjunto de todos os polinômios de grau qualquer é P. C 0 designa o conjunto das funções contínuas; C 1, o conjunto das funções diferenciáveis; C n, o conjunto das funções n-vezes diferenciáveis. O espaço gerado pelo conjunto de vetores { v } span 1, v 2,..., v n. { v 1, v 2,..., v n } det M é o determinante da matriz quadrada de ordem n n M = [a ij ], i.e., det M = σ S n sgn (σ) a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n), é designado por onde S n é o conjunto de todas as permutações σ do conjunto {1, 2,..., n} e sgn (σ) é o sinal da permutação σ. tr M é o traço da matriz quadrada M, i.e., a soma dos elementos da diagonal principal de M. II. ALGUMAS PROPRIEDADES ÚTEIS 1. Propriedades do traço de uma matriz: (a) tr M = tr M t ; (b) tr (M + N) = tr M + tr N; (c) tr (αm) = α tr M, α R; (d) tr (MN) = tr (NM). 2. Propriedades do determinante de uma matriz:

3 3 (a) det (MN) = det M det N; (b) det M t = det M; (c) det αm = α n det M.

4 4 III. MATRIZES 1. Sejam A, X e J as matrizes A = , X = x y z w, J = Obtenha a(s) solução(ões) (i.e., obtenha X) da equação matricial AX XA = J. 2. Considere a equação matricial AX = J, onde A = 2 1 1, J = (a) Qual deve ser a ordem da matriz X para que a equação acima esteja bem definida? (b) Verifique se a matriz A possui inversa. (c) Determine a solução da equação matricial, i.e., determine o conjunto das matrizes X que satisfazem a equação acima. 3. Formalmemente, a exponencial de uma matriz quadrada M de ordem n é a matriz quadrada e M, também de ordem n, dada pela expressão e M = I + M M k! Mk + = I + k=1. 1 k! Mk. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, tal que A 2 = I, onde I é a matriz identidade de ordem n. (a) Mostre que e ta = I cosh t + A senh t, onde t é um número. (b) Mostre que a inversa de e A é e A. Lembretes: cosh x = ex + e x 2 senh x = ex e x 2 = = 1 + k=0 k=1 cosh 2 x senh 2 x = 1. 1 (2k)! x2k, 1 (2k + 1)! x2k+1,

5 5 4. Uma matriz quadrada A é dita idempotente se A 2 = A, onde A 2 = AA. (a) Calcule os possíveis valores de k que tornem a matriz abaixo idempotente. A = 1 k 4. k 3 4 (b) Seja B a matriz-coluna B = cos θ. e iφ sen θ Verifique que a matriz BB é idempontente. 5. Sejam A = [a ij ] e B = [b ij ] matrizes quadradas de ordem n n. Mostre que tr ( A B ) = ( tr ( B A )). Adjutório: use as propriedades do traço e lembre-se que A = (A t ) = (A ) t. 6. Uma matriz quadrada de ordem n n real simétrica M é positiva (ou semidefinida positiva) se v t Mv 0, onde v é uma matriz-coluna não-nula de ordem n 1. Verifique que, se λ é autovalor de M positiva, então λ 0. Por outro lado M é estritamente positiva se v t Mv > 0. Neste caso, se λ é autovalor de M estritamente positiva, então λ > Sejam λ m e λ M o menor e o maior autovalor de uma matriz quadrada de ordem n n real simétrica M. Verifique que λ m v t Mv λ M, onde v é uma matriz-coluna não-nula de ordem n 1 tal que v t v = 1. IV. SISTEMAS LINEARES 1. Considere os sistemas lineares x y + az = 1 I. ax + y + z = 1 2x 2ay + 2z = 2 a 2x + by + z = 3 + b II. x + 2y + 2bz = 2 x y bz = 2. Usando o escalonamento à forma escada linha-reduzida, obtenha os valores de a e de b que tornem cada um dos sistemas acima

6 6 (a) possível e indeterminado; (b) impossível; (c) possível e determinado. 2. Considere o sistema linear x + 2y 2z = 1 2x y z = 2 x y + z = 2 (a) Verifique que o sistema é possível e determinado, calculando o determinante da matriz de coeficientes. (b) Use o escalonamento à forma escada linha-reduzida e obtenha a matriz inversa da matriz de coeficientes. (c) Obtenha a solução do sistema usando a matriz calculada no item (2b). V. ESPAÇOS LINEARES 1. Considere o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n, M n n (R). São subconjuntos de M n n (R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n simétricas, S n n (R) = {A M n n (R) A = A t }, e o conjunto das matrizes quadradas antisimétricas, A n n (R) = {A M n n (R) A = A t }. N.B. A t indica a matriz transposta de A. (a) Verifique que S n n (R) e A n n (R) são subespaços de M n n (R). (b) Verifique que M n n (R) = S n n (R) A n n (R). 2. Dizemos que duas matrizes A e B comutam se AB = BA. Seja M uma matriz quadrada de ordem n n. Mostre que o conjunto das matrizes n n que comutam com a matriz M formam um subespaço vetorial do conjunto das matrizes quadradas de ordem n n, M n n. 3. Dizemos que duas matrizes A e B anticomutam se AB = BA. Seja M uma matriz quadrada de ordem n n. Mostre que o conjunto das matrizes n n que anticomutam

7 7 com a matriz M formam um subespaço vetorial do conjunto das matrizes quadradas de ordem n n, M n n. 4. Considere os seguintes conjuntos E = {1, 1 + x, x + x 2 } e F = {2, x 1, 4x 2 }. (a) Mostre que E e F são bases de P 2, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2. (b) Encontre a matriz de mudança de base M F E. 5. Sejam V = span {(1, 2, 2, 3), (2, 4, 1, 3), (3, 6, 1, 4)} e U = span {(0, 0, 1, 1), (1, 2, 3, 4)} subespaços de R 4. Obtenha uma base para V U. 6. Considere o subespaço vetorial de R 3, V = {(x, y, z) x + y = 0, z 3x = 0}. (a) Determine uma base para V. (b) Determine um subespaço U tal que V U = R Verifique que os seguintes conjuntos são espaços lineares: (a) O conjunto das funções reais definidas no intervalo [0, 1], F = {f : [0, 1] R}. (b) O conjunto das funções reais contínuas definidas em R, C 0 = {f : R R f é contínua}. Adjutório: i. A soma de duas funções contínuas é uma função contínua. ii. O produto de uma função contínua por uma constante é uma função contínua. (c) O conjunto das funções reais definidas em R e com primeira derivada contínua em todo seu domínio, C 1 = {f : R R f é contínua}. Adjutório: i. A soma de duas funções diferenciáveis é uma função diferenciável. ii. O produto de uma função diferenciável por uma constante é uma função diferenciável. (d) O conjunto das funções reais contínuas definidas no intervalo [a, b], f : [a, b] R, tais que b a K (x) f (x) dx <,

8 8 onde K é uma dada função contínua em [a, b]. 8. Sejam W e W subespaços do espaço linear V, tais que W = U X e W = U Y, { 0 } onde U = W W. Mostre que X Y =. VI. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 1. Sejam E = {(1, 1), (1, 1)} e F = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} bases de R 2 e R 3 respectivamente. Considere a transformação linear T : R 2 R 3, representada pela matriz 1 2 [T ] E F = (a) Determine T (x, y). (b) Determine ker T e im T. (c) Determine a base ordenada G de R 3 em que T é representada pela matriz 1 0 [T ] E G = Considere o conjunto das funções de uma única variável real definidas no intervalo [0, 1], F = {f : [0, 1] R}. Definimos a seguinte transformação M : F F, tal que Mf (t) = tf (t). M é uma transformação linear? 3. Considere o conjunto das funções de uma única variável real definidas no intervalo [0, 1], F = {f : [0, 1] R}. Definimos a seguinte transformação M g : F F, tal que M g f (t) = g (t) f (t), onde g é uma dada função contínua no intervalo [0, 1]. M g é uma transformação linear? VII. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES LINEARES 1. Sejam M 2 2 (R) o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem 2 e T : M 2 2 (R) M 2 2 (R) a aplicação definida por T A = A t. Em outras palavras, a aplicação T mapeia uma matriz quadrada de ordem 2 na sua transposta.

9 9 (a) Verifique que T é um operador linear. (b) Encontre os autovalores e os autovetores de T. 2. Considere o operador linear T : R 3 R 3 definido por T (x, y, z) = (2x + y, y z, 2y + 4z). (a) Encontre os autovalores e os autovetores de T. (b) T é diagonalizável? Justifique. 3. Considere o conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual a 3, P 3 (R) = {p (t) = at 3 + bt 2 + ct + d a, b, c, d R}. Seja T : P 3 (R) P 3 (R), a transformação linear definida como T ( at 3 + bt 2 + ct + d ) = (a + b) t 3 + (b a) t 2 + (2d c) t + (2c d). Obtenha (a) os autovalores de T e (b) os respectivos autovetores de T. 4. Considere o espaço linear V = W U, onde W e U são subespaços de V. O operador linear π : V V é definido como Dado v = w + u, onde w W e u U, então, π v = w, ou seja, π é uma projeção sobre o subespaço W. (a) Determine os autovalores de π. Adjutório: Use π 2 = π. (b) É π diagonalizável? 5. Considere o conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, P 2 (R) = {p (t) = at 2 + bt + c a, b, c R}. Seja T : P 2 (R) P 2 (R) o operador linear definido como T ( at 2 + bt + c ) = (2b a) t 2 + (2a b) t 3c. Obtenha os subespaços de P 2 que são invariantes a T. Adjutório: W é subespaço invariante ao operador linear T se, dado w W qualquer, então T w W.

10 10 VIII. PRODUTO INTERNO 1. Seja f : R 2 R 2 R uma função definida como ( v ) ([ v ] ) t [ f, u = g B u ] B, B B [ v ] [ u ] onde e representam os vetores v e u em uma determinada base B de R 2 e g B B B B é uma matriz quadrada de ordem 2, dada por gb B = 1 b. b 4 Qual(is) deve(m) ser o(s) valor(es) de b para que f seja um produto interno em R 2? 2. Considere o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n, M n n (R). Definimos a função f : M n n (R) M n n (R) R, como f (A, B) = tr (A t B). Verifique que f define um produto interno sobre M n n (R). Adjutório: Use as propriedades do traço e e a definição do produto de duas matrizes. 3. Considere o espaço vetorial R 4 com produto interno canônico. Seja W o subespaço de R 4 formado pelos vetores que são ortogonais a (1, 0, 1, 1) e (2, 3, 1, 2). Determine uma base ortonormal para W. v N.B. O produto interno canônico em R 4 é definido como, u = x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 + x 4 y 4, onde v = (x 1, x 2, x 3, x 4 ), u= (y 1, y 2, y 3, y 4 ). { e } 4. Seja V um espaço vetorial real dotado de produto interno,. Seja B = 1,..., e n uma base ortonormal neste espaço. Pode-se mostrar que, se u= a 1 e a n e n, v = b1 e b n e n, então o produto interno entre u e u, v é dado por v = a 1 b a n b n. Considere o espaço vetorial R 2 dotado de um produto interno que, na base canônica C, é dado por onde u= (a 1, a 2 ) e v = (b 1, b 2 ). u, v = 2a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 + 3a 2 b 2, (a) Use o processo de ortonormalização de Gram Schmidt para obter uma base B em que o produto interno é escrito como u, v = α 1 β 1 + α 2 β 2,

11 11 [ u ] onde B = α 1 α 2 [ v ], B = β 1 β 2. (b) Obtenha a matriz de mudança de base M C B. IX. OPERADORES ESPECIAIS 1. Considere o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n n, M n (R), e o operador linear T : M n (R) M n (R), definido como T (M) = M t. Definimos o produto interno A, B = tr (A t B), onde A e B pertencem a M n (R) e tr M é o traço de M (a soma dos elementos da diagonal principal). O operador T é autoadjunto com relação a este produto interno? Adjutório: Use as propriedades do traço. 2. Considere o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n n, M n (R), e o operador linear T X : M n (R) M n (R), definido como T X (M) = XM MX, onde X é uma matriz quadrada real simétrica de ordem n n fixa. Define-se o produto interno A, B = tr (A t B), onde A e B pertencem a M n (R) e tr M é o traço de M (a soma dos elementos da diagonal principal). O operador T X é autoadjunto com relação a este produto interno? Adjutório: Use as propriedades do traço. 3. Considere o espaço vetorial C 2 e o operador linear T : C 2 C 2, tal que T (1, 0) = (1 + i, 1), T (0, 1) = (i, i). Vamos denominar T o adjunto de T em relação ao produto interno canônico definido sobre C 2. (a) Determine a matriz que representa T na base canônica. (b) T é auto-adjunto? Justifique. v N.B. O produto interno canônico em C 2 é definido como, u = x 1x 2 + y1y 2, onde v = (x1, y 1 ), u= (x 2, y 2 ). A base canônica em C 2 é o conjunto C = {(1, 0), (0, 1)}. 4. Considere o espaço vetorial R 2 e o operador linear T θ : R 2 R 2, tal que T θ (1, 0) = (cos θ, sen θ), T θ (0, 1) = ( sen θ, cos θ), com 0 θ < 2π. Vamos denominar T θ o adjunto de T θ em relação ao produto interno canônico definido sobre R 2.

12 12 (a) Determine a matriz que representa T θ na base canônica. (b) T θ é ortogonal? Justifique. v N.B. O produto interno canônico em R 2 é definido como, u = x 1 x 2 + y 1 y 2, onde v = (x1, y 1 ), u= (x 2, y 2 ). A base canônica em R 2 é o conjunto C = {(1, 0), (0, 1)}. 5. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita dotado dos produtos internos, e,. Seja T : V V um operador linear autoadjunto em relação ao produto interno,. Pode-se afirmar que T também é autoadjunto em relação ao produto interno,? X. FORMAS LINEARES, BILINEARES E QUADRÁTICAS 1. Seja Φ : R 2 R 2 R a função definida por Φ ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = x 1 y 2 y 1 x 2. (a) Verifique que Φ é uma forma bilinear e que, além disso, é antisimétrica. (b) Encontre a matriz [Φ] B B associada a esta forma na base B = {(1, 1), (1, 1)}. ( v ) ( u, ) N.B. Uma forma bilinear Φ é antisimétrica se Φ, u = Φ v. 2. Seja Φ : R 2 R 2 R a função definida por Φ ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = x 1 x 2 +y 1 y 2 x 1 y 2 x 2 y 1. (a) Verifique que Φ é uma forma bilinear e que, além disso, é simétrica. (b) Encontre a matriz [Φ] B B associada a esta forma na base B = {(1, 1), (1, 1)}. ( v ) ( u, ) N.B. Uma forma bilinear Φ é simétrica se Φ, u = Φ v. 3. Considere o espaço vetorial R 3. Definimos a função ( u, ) ω v = det + det a 1 a 2 b 1 b 2 onde u= (a 1, a 2, a 3 ), v = (b 1, b 2, b 3 ). a 2 a 3 b 2 b 3 + det a 3 a 1 b 3 b 1, (a) É ω uma forma bilinear? (b) Em caso afirmativo, ω é uma forma bilinear simétrica ou antisimétrica?

13 13 (c) Calcule a matriz que representa ω na base B = {(2, 1, 1), (0, 1, 1), ( 1, 1, 1)}. 4. Diagonalize (i.e., encontre os autovalores e autovetores) a forma quadrática definida por Q (x, y, z) = 16x 2 + 4y 2 + 4z 2 8xy 8xz 4yz. 5. Diagonalize a forma quadrática definida por Q (x, y, z) = 4x 2 + 2y 2 + 2z 2 4xy + 4xz. 6. Seja V um espaço vetorial complexo de dimensão finita n e seja V o conjunto de todas as formas lineares f : V C definidas em V. Mostre que V é um espaço vetorial de dimensão n. XI. AVANÇADOS 1. Tente obter os autovalores e os autovetores associados aos operadores definidos nos exercícios 2 e 3 da seção VI. 2. Uma matriz quadrada de ordem n n real simétrica M é positiva (ou semidefinida positiva) se v t Mv 0, onde v é uma matriz-coluna não-nula de ordem n 1. Verifique que, se λ é autovalor de M então λ 0. Por outro lado M é estritamente positiva se v t Mv > 0. Neste caso, se λ é autovalor de M então λ > Sejam λ m e λ M o menor e o maior autovalor de uma matriz quadrada de ordem n n real simétrica M. Verifique que λ m vt Mv v t v não-nula de ordem n 1. λ M, onde v é uma matriz-coluna 4. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n definido sobre o corpo K, com K = R ou K = C. Como se sabe, o conjunto de todas as formas lineares f : V K é um espaço vetorial cuja dimensão coincide com a de V. (a) Verifique que o conjunto de todas as formas bilineares (ou sesquilineares, caso K = C) Φ : V V K é um espaço vetorial. Qual é a dimensão deste espaço? (b) Verifique que o conjunto de todas as formas quadráticas Q : V V K é um espaço vetorial. Qual é a dimensão deste espaço?

. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1

. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1 QUESTÕES ANPEC ÁLGEBRA LINEAR QUESTÃO 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Os vetores (,, ) (,,) e (, 0,) formam uma base de,, o espaço vetorial gerado por,, e,, passa pela origem na direção de,,

Leia mais

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017 º Sábado - Matrizes - //7. Plano e Programa de Ensino. Definição de Matrizes. Exemplos. Definição de Ordem de Uma Matriz. Exemplos. Representação Matriz Genérica m x n 8. Matriz Linha 9. Exemplos. Matriz

Leia mais

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0 Lista de exercícios. AL. 1 sem. 2015 Prof. Fabiano Borges da Silva 1 Matrizes Notações: 0 para matriz nula; I para matriz identidade; 1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC calcule A(B + C) B t A

Leia mais

MP-208: Filtragem Ótima com Aplicações Aeroespaciais

MP-208: Filtragem Ótima com Aplicações Aeroespaciais MP-208: Filtragem Ótima com Aplicações Aeroespaciais Seção 2.1: Álgebra Linear e Matrizes Davi Antônio dos Santos Departamento de Mecatrônica Instituto Tecnológico de Aeronáutica davists@ita.br São José

Leia mais

0.1 Matrizes, determinantes e sistemas lineares

0.1 Matrizes, determinantes e sistemas lineares SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PARFOR MATEMÁTICA Lista de Exercícios para a Prova Substituta de Álgebra Linear 0.1 Matrizes, determinantes e sistemas lineares 1. Descreva explicitamente

Leia mais

7. Sejam U, W subespaços vetoriais de um espaço vetorial V sobre um corpo K. Prove que U W é um subespaço vetorial de V se e somente se U W ou W U.

7. Sejam U, W subespaços vetoriais de um espaço vetorial V sobre um corpo K. Prove que U W é um subespaço vetorial de V se e somente se U W ou W U. Lista de Álgebra Linear - Prof. Edson Iwaki 1. Quais dos subconjuntos são R subespaços vetoriais? Ache uma base para os que forem. (a) S = {(x, y, z) R 3 x 0} R 3 (b) S = {(x, y, z) R 3 x = 0} R 3 (c)

Leia mais

Prova de Admissão para o Mestrado em Matemática IME-USP - 23.11.2007

Prova de Admissão para o Mestrado em Matemática IME-USP - 23.11.2007 Prova de Admissão para o Mestrado em Matemática IME-USP - 23.11.2007 A Nome: RG: Assinatura: Instruções A duração da prova é de duas horas. Assinale as alternativas corretas na folha de respostas que está

Leia mais

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Álgebra Linear André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Janeiro/2006 Índice 1 Sistemas Lineares 1 11 Corpos 1 12 Sistemas de Equações Lineares 3 13 Sistemas equivalentes 4 14 Operações elementares

Leia mais

Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática

Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Álgebra Linear Professor: André Luiz Galdino Aluno(a): 4 a Lista de Exercícios 1. Podemos entender transformações lineares

Leia mais

Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM112 - Introdução à Álgebra Linear - Turmas 81, 82 e 84 Lista 1 - Tiago de Oliveira

Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM112 - Introdução à Álgebra Linear - Turmas 81, 82 e 84 Lista 1 - Tiago de Oliveira Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM2 - Introdução à Álgebra Linear - Turmas 8, 82 e 84 Lista - Tiago de Oliveira Reveja a teoria e os exercícios feitos em sala. 2 3 2 0. Sejam

Leia mais

Aula 19 Operadores ortogonais

Aula 19 Operadores ortogonais Operadores ortogonais MÓDULO 3 AULA 19 Aula 19 Operadores ortogonais Objetivos Compreender o conceito e as propriedades apresentadas sobre operadores ortogonais. Aplicar os conceitos apresentados em exemplos

Leia mais

Equação Geral do Segundo Grau em R 2

Equação Geral do Segundo Grau em R 2 8 Equação Geral do Segundo Grau em R Sumário 8.1 Introdução....................... 8. Autovalores e autovetores de uma matriz real 8.3 Rotação dos Eixos Coordenados........... 5 8.4 Formas Quadráticas..................

Leia mais

Produto Interno - Mauri C. Nascimento - Depto. de Matemática - FC UNESP Bauru

Produto Interno - Mauri C. Nascimento - Depto. de Matemática - FC UNESP Bauru 1 Produto Interno - Mauri C. Nascimento - Depto. de Matemática - FC UNESP Bauru Neste capítulo vamos considerar espaços vetoriais sobre K, onde K = R ou K = C, ou seja, os espaços vetoriais podem ser reais

Leia mais

23. Resolva as seguintes equações matriciais: a) X. b) X. 24. Determine a matriz X, tal que (X A) t B, sendo:

23. Resolva as seguintes equações matriciais: a) X. b) X. 24. Determine a matriz X, tal que (X A) t B, sendo: Matrizes 9 Calcule: 5 7 9 6 5 8 5 7 5 6 6 8 7 5 7 Sejam A 9 5, B 8 6 e C 7 Determine as matrizes: A B C A B C A (B C) Sejam as matrizes A (a ij ), em que a ij i j, e B (b ij ), em que b ij i j Seja C A

Leia mais

2. (Ufrj 2003) Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Calcule o determinante da matriz

2. (Ufrj 2003) Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Calcule o determinante da matriz 1 Projeto Jovem Nota 10 1. (Uff 2000) Numa progressão aritmética, de termo geral aš e razão r, tem-se a=r=1/2. Calcule o determinante da matriz mostrada na figura adiante. 2. (Ufrj 2003) Os números reais

Leia mais

Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás 1 Vetores em R 2 e R 3

Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás 1 Vetores em R 2 e R 3 Dr Ole Peter Smith olematufgbr Data: 7/5/ urso Engenharia de omputação Disciplina: Álgebra Linear Lista: I Vetores em R e R Dado os vetores a = (,, ) T, b = (,, 4) T e c = (,, ) T Determine o constante

Leia mais

ADVERTÊNCIA: os exercícios listados abaixo são para diversão pessoal do autor; nada substitui a resolução de problemas das referências.

ADVERTÊNCIA: os exercícios listados abaixo são para diversão pessoal do autor; nada substitui a resolução de problemas das referências. ADVERTÊNCIA: os exercícios listados abaixo são para diversão pessoal do autor; nada substitui a resolução de problemas das referências. (Atualizada em 7 de maio de 2007 1. Seja G um grupo e seja GxC C

Leia mais

Revisão: Matrizes e Sistemas lineares. Parte 01

Revisão: Matrizes e Sistemas lineares. Parte 01 Revisão: Matrizes e Sistemas lineares Parte 01 Definição de matrizes; Tipos de matrizes; Operações com matrizes; Propriedades; Exemplos e exercícios. 1 Matrizes Definição: 2 Matrizes 3 Tipos de matrizes

Leia mais

Sistemas de Equações Lineares e Matrizes

Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Sistemas de Equações Lineares e Matrizes. Quais das seguintes equações são lineares em x, y, z: (a) 2x + 2y 5z = x + xy z = 2 (c) x + y 2 + z = 2 2. A parábola y = ax 2 + bx + c passa pelos pontos (x,

Leia mais

Álgebra Linear - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho

Álgebra Linear - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho Álgebra Linear - a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho - Considere as matrizes abaixo e faça o que se pede: M N O 7 P Q R 8 4 T S a b a Determine quais destas matrizes são simétricas. E antisimétricas?

Leia mais

Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática

Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Disciplina : Geometria Analítica e Álgebra Linear - GCI004 Assunto: Espaços vetoriais

Leia mais

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira:

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira: Aula 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r se define da seguinte maneira: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, Se as retas são concorrentes, isto

Leia mais

Universidade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia - CTEC Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - PPGEC

Universidade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia - CTEC Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - PPGEC Universidade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia - CTEC Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - PPGEC Introdução à Mecânica do Contínuo Tensores Professor: Márcio André Araújo Cavalcante

Leia mais

Lista de Exercícios III. junho de 2005

Lista de Exercícios III. junho de 2005 ÁLGEBRA LINEAR II Prof Amit Bhaya Lista de Exercícios III junho de 2005 Ortogonalidade, espaços fundamentais 1 Se Ax = b possui solução e A T y = 0, então y é perpendicular a 2 Se Ax = b não possui solução

Leia mais

1. Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares: x y z

1. Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares: x y z MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 657- - VIÇOSA - MG BRASIL a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 8 I SEMESTRE DE Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações

Leia mais

Econometria. Operações básicas de vetores. Operações básicas de vetores. Operações básicas de vetores. Independência de vetores

Econometria. Operações básicas de vetores. Operações básicas de vetores. Operações básicas de vetores. Independência de vetores Operações básicas de vetores Econometria Adição Suponha dois vetores x e y com n componentes cada: 1. Alguns tópicos importantes de Álgebra Linear Danielle Carusi Machado - Econometria II Operações básicas

Leia mais

3.1. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 79

3.1. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 79 31 TRANSFORMAÇÕES LINEARES 79 Exemplo 317 Mostre que existe uma função T : R R satisfazendo à condição aditiva T (x + y) =T (x)+t (y), x, y R, mas não é uma transformação linear, isto é, T (x) 6= ax, paraalgumx

Leia mais

I Lista de Álgebra Linear /02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple

I Lista de Álgebra Linear /02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple 1 I Lista de Álgebra Linear - 2012/02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple 1. Determine os valores de x e y que tornam verdadeira a igualdade ( x 2 + 5x x 2 ( 6 3 2x y 2 5y y 2 = 5 0

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 2 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear II/2005 1 Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método

Leia mais

Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis

Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Diagonalização Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Nosso objetivo neste capítulo é estudar aquelas transformações lineares de R n para as quais existe pelo menos uma base em que elas são representadas

Leia mais

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013 Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante

Leia mais

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros exercícios)

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros exercícios) UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros eercícios) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Eercícios

Leia mais

1. Mostre que o conjunto R 2 = {(x, y)/x, y R} é um espaço vetorial real, com as operações usuais de adição de elementos e multiplicação por escalar.

1. Mostre que o conjunto R 2 = {(x, y)/x, y R} é um espaço vetorial real, com as operações usuais de adição de elementos e multiplicação por escalar. Fundação Universidade Federal do Vale do São Francisco - UNIVASF Colegiado de Engenharia de Produção - CPROD Prof. Felipe Wergete a Lista de Exercícios de Álgebra Linear - 202.. Mostre que o conjunto R

Leia mais

2 Álgebra Linear (revisão)

2 Álgebra Linear (revisão) Teoria de Controle (sinopse) 2 Álgebra Linear (revisão) J. A. M. Felippe de Souza Neste capítulo vamos citar os principais tópicos de Álgebra Linear que são necessários serem revistos para o acompanhamento

Leia mais

0 1. Assinale a alternativa verdadeira Q1. Seja A = (d) Os autovalores de A 101 são i e i. (c) Os autovalores de A 101 são 1 e 1.

0 1. Assinale a alternativa verdadeira Q1. Seja A = (d) Os autovalores de A 101 são i e i. (c) Os autovalores de A 101 são 1 e 1. Nesta prova, se V é um espaço vetorial, o vetor nulo de V será denotado por 0 V. Se u 1,...,u n forem vetores de V, o subespaço de V gerado por {u 1,...,u n } será denotado por [u 1,...,u n ]. O operador

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral 2 Formas Quadráticas

Cálculo Diferencial e Integral 2 Formas Quadráticas Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral 2 Formas Quadráticas 1 Formas quadráticas Uma forma quadrática em R n é um polinómio do

Leia mais

Matrizes e Sistemas Lineares. Professor: Juliano de Bem Francisco. Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina.

Matrizes e Sistemas Lineares. Professor: Juliano de Bem Francisco. Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina. e Aula Zero - Álgebra Linear Professor: Juliano de Bem Francisco Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina agosto de 2011 Outline e e Part I - Definição: e Consideremos o conjunto

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS 2017

LISTA DE EXERCÍCIOS 2017 CURSO LISTA DE EXERCÍCIOS 2017 DISCIPLINA ESTUDANTE PROFESSOR (A) DATA Questão 1) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas

Leia mais

ALGA I. Representação matricial das aplicações lineares

ALGA I. Representação matricial das aplicações lineares Módulo 6 ALGA I Representação matricial das aplicações lineares Contents 61 Matriz de uma aplicação linear 76 62 Cálculo do núcleo e imagem 77 63 Matriz da composta 78 64 GL(n Pontos de vista passivo e

Leia mais

Quinta lista de Exercícios - Análise Funcional, período Professor: João Marcos do Ó. { 0 se j = 1 y j = (j 1) 1 x j 1 se j 2.

Quinta lista de Exercícios - Análise Funcional, período Professor: João Marcos do Ó. { 0 se j = 1 y j = (j 1) 1 x j 1 se j 2. UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Quinta lista de Exercícios - Análise Funcional, período 2009.2. Professor:

Leia mais

Produto Misto, Determinante e Volume

Produto Misto, Determinante e Volume 15 Produto Misto, Determinante e Volume Sumário 15.1 Produto Misto e Determinante............ 2 15.2 Regra de Cramer.................... 10 15.3 Operações com matrizes............... 12 15.4 Exercícios........................

Leia mais

Lista de Exercícios 04 Álgebra Matricial

Lista de Exercícios 04 Álgebra Matricial Lista de Exercícios 04 Álgebra Matricial - 017.1 1. Determine a quantidade desconhecida em cada uma das expressões: ( ) ( ) ( ) T 0 3 x + y + 3 3 w (a) 3.X = (b) = 6 9 4 0 6 z. Uma rede de postos de combustíveis

Leia mais

Lista 6: transformações lineares.

Lista 6: transformações lineares. Lista 6: transformações lineares. 1) Diga, justificando, quais das seguintes funções constituem transformações lineares. a) T : R 2 R 2 tal que T (x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, 3x 1 x 2 ) b) T : R 2 R 2 tal

Leia mais

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A REVISÃO DA PARTE III Parte III - (a) Ortogonalidade Conceitos: produto

Leia mais

MATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE

MATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE MATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE 1. Seja X = (x ij ) uma matriz quadrada de ordem 2, onde i + j para i = j ;1 - j para i > j e 1 se i < j. A soma dos seus elementos é igual a: a. -1 b. 1 c. 6 d. 7 e. 8 2. Se

Leia mais

Álgebra Linear Semana 04

Álgebra Linear Semana 04 Álgebra Linear Semana 04 Diego Marcon 17 de Abril de 2017 Conteúdo 1 Produto de matrizes 1 11 Exemplos 2 12 Uma interpretação para resolução de sistemas lineares 3 2 Matriz transposta 4 3 Matriz inversa

Leia mais

Matrizes e Linearidade

Matrizes e Linearidade Matrizes e Linearidade 1. Revisitando Matrizes 1.1. Traço, Simetria, Determinante 1.. Inversa. Sistema de Equações Lineares. Equação Característica.1. Autovalor & Autovetor 4. Polinômios Coprimos 5. Função

Leia mais

(d) v é um autovetor de T se, e somente se, T 2 = T ; (e) v é um autovetor de T se, e somente se, T (v) = v.

(d) v é um autovetor de T se, e somente se, T 2 = T ; (e) v é um autovetor de T se, e somente se, T (v) = v. Q1. Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno. Sejam T : V V um operador linear simétrico e W um subespaço de V tal que T (w) W, para todo w W. Suponha que W V e que

Leia mais

(I) T tem pelo menos um autovalor real; (II) T é diagonalizável; (III) no espaço vetorial real R n, o conjunto {u, v} é linearmente independente.

(I) T tem pelo menos um autovalor real; (II) T é diagonalizável; (III) no espaço vetorial real R n, o conjunto {u, v} é linearmente independente. Q1. Sejam n um inteiro positivo, T : C n C n um operador linear e seja A = [T ] can a matriz que representa T em relação à base canônica do espaço vetorial complexo C n. Suponha que a matriz A tenha entradas

Leia mais

SME0812 Modelos Lineares. Álgebra Matricial. 17 de março de / 1

SME0812 Modelos Lineares. Álgebra Matricial. 17 de março de / 1 SME0812 Modelos Lineares Álgebra Matricial 17 de março de 2015 1 / 1 Notação Escreveremos A = A n m para denotar uma matriz de dimensão n m, ou seja, uma matriz com n linhas e m colunas: a 11 a 12 : :

Leia mais

Parte I. Álgebra Linear. Sistemas Dinâmicos Lineares. Autovalores, autovetores. Autovalores, autovetores. Autovalores e Autovetores.

Parte I. Álgebra Linear. Sistemas Dinâmicos Lineares. Autovalores, autovetores. Autovalores, autovetores. Autovalores e Autovetores. Sistemas Dinâmicos Lineares Romeu Reginatto Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas Dinâmicos e Energéticos Universidade Estadual do Oeste do Paraná Parte I Álgebra Linear Adaptado das notas

Leia mais

FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim

FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Prof. Álvaro Fernandes Serafim Última atualização: //7. Esta apostila de Álgebra Linear foi elaborada pela Professora Ilka Rebouças Freire. A formatação

Leia mais

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU Departamento Matemática Disciplina Matemática I Curso Gestão de Empresas Ano 1 o Ano Lectivo 2007/2008 Semestre 1 o Apontamentos Teóricos:

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE. Aula 03 Inversão de matrizes

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE. Aula 03 Inversão de matrizes UNIVERSIDDE FEDERL DO RIO GRNDE DO NORTE Prof. Hector Carrion S. Álgebra Linear ula Inversão de matrizes Resumo Matriz inversa Inversa de matriz elementar Matriz adjunta Inversão de matrizes Uma matriz

Leia mais

UFSC Matrizes. Prof. BAIANO

UFSC Matrizes. Prof. BAIANO UFSC Matrizes Prof. BAIANO Matrizes Classifique como Verdadeiro ou Falso ( F ) Uma matriz é dita retangular, quando o número de linhas é igual ao número de colunas. ( F ) A matriz identidade é aquela em

Leia mais

Processamento Digital de Imagem

Processamento Digital de Imagem Processamento Digital de Imagem Transformadas Ronaldo de Freitas Zampolo Laboratório de Processamento de Sinais LaPS Instituto de Tecnologia ITEC Universidade Federal do Pará UFPA Setembro de 2009 RFZampolo

Leia mais

ic Mestrado Integrado em Bioengenharia

ic Mestrado Integrado em Bioengenharia ic Mestrado Integrado em Bioengenharia MATEMÁTICA I 01-11- 1º Teste de Avaliação Álgebra Linear e Geometria Analítica Justifique convenientemente todos os cálculos que efetuar. O teste tem a duração de

Leia mais

2.1 Fundamentos Básicos

2.1 Fundamentos Básicos .1 Fundamentos Básicos Recordemos que uma aplicação (ou transformação) entre espaços vetoriais T : V! W é linear quando: (a) T (u + v) = T (u) + T (v) ; u; v V: (b) T ( u) = T (u) ; u V e F: Podemos condensar

Leia mais

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga 8.1 DEFINIÇÕES Equação linear é uma equação na forma: a1x 1 a2x2 a3x3... anxn b x1, x2, x3,..., xn a1, a2, a3,...,

Leia mais

Matrizes hermitianas e unitárias

Matrizes hermitianas e unitárias Matrizes hermitianas e unitárias Amit Bhaya, Programa de Engenharia Elétrica COPPE/UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro amit@nacad.ufrj.br http://www.nacad.ufrj.br/ amit Matrizes complexas O produto

Leia mais

- identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;

- identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades; DISCIPLINA: ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA UNIDADE 3: ÁLGEBRA LINEAR. OPERADORES OBJETIVOS: Ao final desta unidade você deverá: - identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;

Leia mais

Notações e revisão de álgebra linear

Notações e revisão de álgebra linear Notações e revisão de álgebra linear Marina Andretta ICMC-USP 17 de agosto de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211

Leia mais

R é o conjunto dos reais; f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range).

R é o conjunto dos reais; f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range). f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range). R é o conjunto dos reais; R n é o conjunto dos vetores n-dimensionais reais; Os vetores

Leia mais

1 Determinantes, traços e o teorema espectral para operadores arbitrários

1 Determinantes, traços e o teorema espectral para operadores arbitrários Álgebra Linear e Aplicações - Lista para Segunda Prova Nestas notas, X, Y,... são espaços vetoriais sobre o mesmo corpo F {R, C}. Você pode supor que todos os espaços têm dimensão finita. (x, y) = (x,

Leia mais

Álgebra Linear Teoria de Matrizes

Álgebra Linear Teoria de Matrizes Álgebra Linear Teoria de Matrizes 1. Sistemas Lineares 1.1. Coordenadas em espaços lineares: independência linear, base, dimensão, singularidade, combinação linear 1.2. Espaço imagem (colunas) - Espaço

Leia mais

Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana - 01/2016

Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana - 01/2016 Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana - 01/2016 Parte A 1. Se v é um vetor no plano que está no primeiro quadrante, faz um ângulo de π/3 com o eixo x positivo e tem módulo v = 4, determine suas

Leia mais

FOLHAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA II CURSO DE ERGONOMIA PEDRO FREITAS

FOLHAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA II CURSO DE ERGONOMIA PEDRO FREITAS FOLHAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA II CURSO DE ERGONOMIA PEDRO FREITAS Maio 12, 2008 2 Contents 1. Complementos de Álgebra Linear 3 1.1. Determinantes 3 1.2. Valores e vectores próprios 5 2. Análise em

Leia mais

Actividade Formativa 1

Actividade Formativa 1 Actividade Formativa 1 Resolução 1. a. Dada a função y 3+4x definida no conjunto A {x R: 2 x < 7} represente graficamente A e a sua imagem; exprima a imagem de A como um conjunto. b. Dada a função y 3

Leia mais

Resolução de Sistemas Lineares. Ana Paula

Resolução de Sistemas Lineares. Ana Paula Resolução de Sistemas Lineares Sumário 1 Introdução 2 Alguns Conceitos de Álgebra Linear 3 Sistemas Lineares 4 Métodos Computacionais 5 Sistemas Triangulares 6 Revisão Introdução Introdução Introdução

Leia mais

Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez. Capítulo 10: Soluções e Respostas

Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez. Capítulo 10: Soluções e Respostas 10 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 10: Soluções e Respostas 263 264 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS Capítulo 1 2.1* Temos 2 4 6 3 6 0 2A =,

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 1 a Lista - MAT 17 - Introdução à Álgebra Linear II/2005 1 Considere as matrizes A, B, C, D e E com respectivas ordens,

Leia mais

NOTAÇÕES. : distância do ponto P à reta r : segmento de extremidades nos pontos A e B

NOTAÇÕES. : distância do ponto P à reta r : segmento de extremidades nos pontos A e B R C i z Rez) Imz) det A tr A : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos : unidade imaginária: i = 1 : módulo do número z C : parte real do número z C : parte imaginária do número z C

Leia mais

6.1 equações canônicas de círculos e esferas

6.1 equações canônicas de círculos e esferas 6 C Í R C U LO S E E S F E R A S 6.1 equações canônicas de círculos e esferas Um círculo é o conjunto de pontos no plano que estão a uma certa distância r de um ponto dado (a, b). Desta forma temos que

Leia mais

MATRIZES. Conceitos e Operações

MATRIZES. Conceitos e Operações MATRIZES Conceitos e Operações As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia. Várias operações realizadas por computadores são através de matrizes.

Leia mais

e B =, determine a, b, c e d para que A = B. Tabela 1: vendas em Maio P M G camisas camisetas calças paletós

e B =, determine a, b, c e d para que A = B. Tabela 1: vendas em Maio P M G camisas camisetas calças paletós Lista 01: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Prof: Iva Zuchi Siple [ ] [ ] a + 2b 2a b 9 2 1. Dadas as matrizes A = e B =, determine a, b, c e d para que A = B. 2c + d c 2d 4 7 2. Uma fábrica

Leia mais

Álgebra Linear. Shin Takahashi, Iroha Inoue e Trend-Pro Co., Ltd. novatec

Álgebra Linear. Shin Takahashi, Iroha Inoue e Trend-Pro Co., Ltd. novatec Guia Mangá Álgebra Linear Apêndices suplementares Shin Takahashi, Iroha Inoue e Trend-Pro Co., Ltd. novatec Copyright by Shin Takahashi e TREND-PRO Co., Ltd. ISBN-: 978--97--9 Copyright Novatec Editora

Leia mais

A matriz das incógnitas é uma matriz coluna formada pelas incógnitas do sistema.

A matriz das incógnitas é uma matriz coluna formada pelas incógnitas do sistema. MATEMÁTICA MÓDULO 1 SISTEMA LINEAR Um sistema linear de m equações a n incógnitas é um conjunto de m (m 1) equações lineares a n incógnitas e pode ser escrito como segue: a a a b a a a b 11 1 1 1n n 1

Leia mais

Álgebras de Lie são espaços vetoriais munidos de uma nova operaçao que em geral não é comutativa nem associativa: [x, y] = xy yx.

Álgebras de Lie são espaços vetoriais munidos de uma nova operaçao que em geral não é comutativa nem associativa: [x, y] = xy yx. 4 Álgebras de Lie Álgebras de Lie são espaços vetoriais munidos de uma nova operaçao que em geral não é comutativa nem associativa: [x, y] = xy yx. 4.1 Álgebras de Lie Simples Definição 4.1 Uma álgebra

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula 20

Álgebra Linear I - Aula 20 Álgebra Linear I - Aula 0 1 Matriz de Mudança de Base Bases Ortonormais 3 Matrizes Ortogonais 1 Matriz de Mudança de Base Os próximos problemas que estudaremos são os seguintes (na verdade são o mesmo

Leia mais

Álgebra Linear - Exercícios (Determinantes)

Álgebra Linear - Exercícios (Determinantes) Álgebra Linear - Exercícios (Determinantes) Índice 1 Teoria dos Determinantes 3 11 Propriedades 3 12 CálculodeDeterminantes 6 13 DeterminanteseRegularidade 8 14 TeoremadeLaplace 11 15 Miscelânea 16 2 1

Leia mais

7. Calcule o valore de x + y z sabendo que as

7. Calcule o valore de x + y z sabendo que as . Considere as matrizes: A 3, B 3 e C 3 3. Assinale a alternativa que apresenta um produto ineistente: A) A B B) B A C) C A D) A t C E) B t C 3 3. Seja a matriz A =. 3 3 O termo 3 da matriz X = A é igual

Leia mais

Capítulo 7. Operadores Normais. Curso: Licenciatura em Matemática. Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves Melo

Capítulo 7. Operadores Normais. Curso: Licenciatura em Matemática. Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves Melo Capítulo 7 Operadores Normais Curso: Licenciatura em Matemática Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves Melo Disciplina: Álgebra Linear II Unidade II Aula 7: Operadores Normais Meta

Leia mais

Exercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1

Exercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1 setor 0 00508 Aula 39 ETERMINANTES (E ORENS, E 3) A toda matriz quadrada A de ordem n é associado um único número, chamado de determinante de A e denotado, indiferentemente, por det(a) ou por A. ETERMINANTES

Leia mais

Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana

Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana Parte A 1. Se v é um vetor no plano que está no primeiro quadrante, faz um ângulo de π/3 com o eixo x positivo e tem módulo v = 4, determine suas componentes.

Leia mais

1 a Lista - MAT Noções de Álgebra Linear (Matrizes) II/2006

1 a Lista - MAT Noções de Álgebra Linear (Matrizes) II/2006 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 1 a Lista - MAT 138 - Noções de Álgebra Linear (Matrizes) II/2006 1 Considere as matrizes A, B, C, D e E com respectivas

Leia mais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES SEGUNDA ORDEM

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES SEGUNDA ORDEM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES SEGUNDA ORDEM 02/04/2014 Prof. Geraldine Revisão de Álgebra Linear Definição de conjunto Linearmente Independente Dizemos que as funções f ( x), f ( x) são LI, em um 1 2

Leia mais

Teste de hipótese em modelos normais lineares: ANOVA

Teste de hipótese em modelos normais lineares: ANOVA Teste de hipótese em modelos normais lineares: ANOVA Prof Caio Azevedo Prof Caio Azevedo Exemplo 1 No primeiro modelo, o interesse primário, de certa forma, é testar se a carga não contribui para explicar

Leia mais

Álgebra Linear (MAT-27) Ronaldo Rodrigues Pelá. 21 de outubro de 2011

Álgebra Linear (MAT-27) Ronaldo Rodrigues Pelá. 21 de outubro de 2011 APLICAÇÕES DA DIAGONALIZAÇÃO Álgebra Linear (MAT-27) Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 21 de outubro de 2011 Roteiro 1 2 3 Roteiro 1 2 3 Introdução Considere a equação de uma cônica: Forma Geral Ax 2 + Bxy

Leia mais

ficha 1 matrizes e sistemas de equações lineares

ficha 1 matrizes e sistemas de equações lineares Exercícios de Álgebra Linear ficha matrizes e sistemas de equações lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2/2

Leia mais

Conceitos de vetores. Decomposição de vetores

Conceitos de vetores. Decomposição de vetores Conceitos de vetores. Decomposição de vetores 1. Introdução De forma prática, o conceito de vetor pode ser bem assimilado com auxílio da representação matemática de grandezas físicas. Figura 1.1 Grandezas

Leia mais

Sistemas de Equações lineares

Sistemas de Equações lineares LEIC FEUP /4 Sistemas- Sistemas de Equações lineares SEL- Dado o sistema coeficientes + + + +, resolva-o invertendo a matriz dos SEL- SEL- Considere o seguinte sistema de equações lineares: + + + a + a

Leia mais

Noções de Álgebra Linear

Noções de Álgebra Linear Noções de Álgebra Linear 1. Espaços vetoriais lineares 1.1. Coordenadas 2. Operadores lineares 3. Subespaços fundamentais 4. Espaços normados 5. Espaços métricos 6. Espaços de Banach 7. Espaços de Hilbert

Leia mais

Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear

Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear Nuno Martins Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Maio de Índice Parte I (Aulas teóricas e chas de exercícios) Matrizes e sistemas de equações

Leia mais

Matrizes positivas definidas, semidefinidas, etc.

Matrizes positivas definidas, semidefinidas, etc. Matrizes positivas definidas, semidefinidas, etc. Amit Bhaya, Programa de Engenharia Elétrica COPPE/UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro amit@nacad.ufrj.br http://www.nacad.ufrj.br/ amit Funções

Leia mais

Análise Dinâmica de Sistemas Mecânicos e Controle

Análise Dinâmica de Sistemas Mecânicos e Controle Análise Dinâmica de Sistemas Mecânicos e Controle Unidade 3 Espaço de Estados: álgebra e resolução das equações dinâmicas Prof. Thiago da Silva Castro thiago.castro@ifsudestemg.edu.br Para trabalhar no

Leia mais

Baseado no Capítulo 2 do livro: Material preparado pelo

Baseado no Capítulo 2 do livro: Material preparado pelo Baseado no Capítulo 2 do livro:.. h,.. h 2. (28) h &,. Material preparado pelo.. é ç : @. Departamento de Ciências Exatas / ESALQ USP Fevereiro de 22 Í N D I C E 2.. Matrizes e vetores... 2 2... Matrizes,

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA Universidade Fernando Pessoa Faculdade de Ciências e Tecnologia 1. Calcule: Capítulo I - Matrizes e Sistemas de Equações Lineares EXERCÍCIOS 1 3 4 3 5 6 1 a + 0 5 1

Leia mais

Álgebra Linear. Aula 02

Álgebra Linear. Aula 02 Álgebra Linear Aula Determinante Para aproveitar 1% dessa aula vocês precisam saber: ü Matrizes ü Equação do 1º grau ü Equação do º grau Como representamos o determinante de uma matriz? Colocando os elementos

Leia mais

Sistemas de equações lineares

Sistemas de equações lineares DMPA IM UFRGS Cálculo Numérico Índice Sistema de Equações Lineares 1 Sistema de Equações Lineares 2 com pivoteamento parcial 3 Método de Jacobi Método Gauss-Seidel Sistema de Equações Lineares n equações

Leia mais

Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita;

Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita; META Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. OBJETIVOS Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita; determinar

Leia mais