Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B).

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1 Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo : Funções.- Definições Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de A em B é uma lei, regra ou correspondência que associa a cada elemento x de A um único elemento y de B. O conjunto A é o domínio de f ou o conjunto onde a função é definida, e é indicado por D(f). O conjunto B é o contradomínio de f ou campo de valores de f. O único elemento y de B associado ao elemento x de A é indicado por f(x) (leia: f de x); diremos que f(x) é o valor que f assume em x ou é a imagem de x pela função f. Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem de f, que é o conjunto de todos os valores assumidos pela função f, e indicado por Im(f) ou f(a). Simbolicamente, temos: Im( f ) = f ( A) = { f ( x); x A}. Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B). Duas funções f : A B e g : C D são iguais se, e somente se, A = C, B = D e f(x) = g(x), x A. Ou seja, duas funções são iguais quando têm o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e a mesma regra de correspondência. Uma função de uma variável real a valores reais ou função real de uma variável real é uma função f : A B, onde A e B são subconjuntos de R. Até menção em contrário, só trataremos com funções reais de uma variável real. - Observações:. Usa-se a notação x f (x) para indicar que f faz corresponder a x o valor f(x).. Não se deve confundir f com f(x): f é a função, enquanto que f(x) é o valor que a função assume num ponto x do domínio, ou seja, f(x) é a imagem de x por f. 3. Quando uma função é dada pela regra y = f(x) é comum referir-se à variável y como variável dependente e à variável x como variável independente. É usual dizer que y é função de x. 4. A natureza da regra que ensina como obter o valor de f(x) B quando é dado x A é inteiramente arbitrária, sendo sujeita apenas a duas condições: ª) A fim de que f tenha o conjunto A como domínio, a regra deve fornecer f(x) a todo x A; ª) A cada x A, a regra deve fazer corresponder um único f(x) em B, ou seja, se x = x em A então f(x) = f(x ) em B. 5. Deve-se ainda observar que uma função consta de três ingredientes: domínio, contradomínio e a lei de correspondência x f (x). Mesmo quando dizemos simplesmente a função f, ficam subentendidos

2 seu domínio A e seu contradomínio B. Sem que eles sejam especificados, não existe função. Assim sendo, uma pergunta do tipo Qual é o domínio da função f(x) = /x?, estritamente falando, não faz sentido. A pergunta correta seria: Qual é o maior subconjunto A R tal que a fórmula f(x) = /x define uma função f : A R? Porém, muitas vezes uma função é dada pela regra x f (x) ou, simplesmente, f(x) sem explicitarmos seu domínio e contradomínio; quando isso ocorrer, fica implícito que o contradomínio é R e que o domínio é o maior subconjunto de R para o qual faz sentido a regra em questão, ou seja, f(x) é um número real. - Notações: R+ = [ 0, + ) R+* = ( 0, + ) R = (, 0] R * = (, 0 ) - Exemplos e Contra-exemplos:. A correspondência que associa a cada número natural n seu sucessor n + define uma função f : N N, sendo f(n) = n +. D(f) = N e Im(f) = N {}.. A regra que associa a cada x [,] o seu dobro define uma função f : [,] R, com f(x) = x. D(f) = [, ] e Im(f) = [, 4]. 3. A fórmula A = r da área A de um círculo de raio r associa a cada real positivo r um único valor de A, determinando assim, uma função f : R+* R tal que f(r) = r. D( f ) = R+* e Im( f ) = R+*. 4. Sejam A = {3, 4, 5} e B = {, }. As regras estabelecidas nos diagramas abaixo não definem funções de A em B. 5. Seja dada a regra f ( x) = 4 x. Neste caso, o maior subconjunto de R para o qual f(x) R é 4 x 0, ou seja, - x. Logo D(f) = [-, ] e Im(f) = [0, ]..- Gráfico de uma função Seja f : A B uma função, onde A e B são subconjuntos não vazios de R. O conjunto G ( f ) = { ( x, f ( x) ) ; x A} AxB denomina-se gráfico de f. Assim, o gráfico de f é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de f. Para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de pontos, fazendo uma tabela que nos dá as coordenadas. No ponto em que estamos, não existe outro meio de determinar o gráfico a não ser este método rudimentar. Mais adiante desenvolveremos técnicas mais eficazes para o traçado de gráficos. 3

3 - Observação: Podemos nos perguntar se, dada uma curva C no plano cartesiano, ela sempre representa o gráfico de uma função. A resposta é não. Sabemos que, se f é uma função, um ponto de seu domínio pode ter somente uma imagem. Assim a curva C só representa o gráfico de uma função quando qualquer reta vertical corta a curva no máximo em um ponto. A curva C representa o gráfico de uma função, enquanto a curva C não representa. - Exemplos:. Considere a função f(x) = x. Temos: D(f) = R, Im(f) = [0, ) e a figura abaixo esboça o gráfico de f.. Considere a função f(x) = x. Temos: D(f) = R, Im(f) = R e a figura abaixo mostra o seu gráfico., se x 3. Seja f : R R definida por f ( x) =, se < x. Temos: D(f) = R, Im(f) = {,, 4} e o 4, se x > gráfico de f é mostrado pela figura a seguir. 4

4 4. Seja f ( x) = x. Então D(f) = R, Im(f) = [0, ) e o gráfico de f pode ser visto na figura abaixo. 5. Seja f ( x) =. Então D(f) = R {0} e Im(f) = R {0}. A figura abaixo mostra o gráfico de f. x 6. Seja f ( x) = [ x ] = maior inteiro x. Temos que D(f) = R e Im(f) = Z. O gráfico de f é dado por:.3- Operações Operações aritméticas sobre funções Sejam f e g duas funções, sendo D(f) = A e D(g) = B. Se A B, podemos definir: a) Função Soma de f e g: (f + g) (x) = f(x) + g(x), sendo D(f + g) = A B. b) Função Diferença de f e g: (f g) (x) = f(x) g(x), sendo D(f g) = A B. c) Função Produto de f e g: (f. g) (x) = f(x). g(x), sendo D(f. g) = A B. f f f ( x), sendo D = { x A B; g ( x ) 0} φ. d) Função Quociente de f por g: ( x ) = g ( x) g g - Observação: Se f for uma função constante, digamos f(x) = k, k R, então o produto de f e g será kg. Desta forma, multiplicar uma função por uma constante é um caso particular de multiplicação de duas funções. 5

5 - Exemplo: Sejam as funções f ( x) = 4 x e g ( x) = x. Então D( f ) = A = { x R; x 4} e D( g ) = B = { x R; x ou x }. Temos: ( f + g )( x ) = ( f g )( x ) = ( f.g )( x ) = 4 x + x ; D( f + g ) = A B = { x R; x ou x 4} 4 x x ; D( f g ) = A B = { x R; x ou x 4} 4 x. x ; D( f.g ) = A B = { x R; x ou x 4} f f 4 x ( x ) = ; D = { x A B; g ( x ) 0} = { x R; x < ou < x 4} x g g ( 5) f ( x ) = 5 4 x ; D( 5 f ) = R A = A = { x R; x 4} Composição de Funções Sejam f : A R e g : B R duas funções tais que Im(f) B, ou seja, para todo x A temos que o valor f(x) B. A função gof : A R definida por (gof)(x) = g(f(x)) é denominada função composta de g e f. - Exemplos:. Sejam f e g funções dadas por f(x) = 3x e g(x) = x + 4x. Determinar as funções gof e fog. Temos: D(f) = R; Im(f) = R; D(g) = R; Im(g) = [-4, ). Im(f) D(g) gof(x) = g(f(x)) = g(3x ) = (3x ) + 4 (3x ) = 9x 4 e D(gof) = D(f) = R. Im(g) D(f) fog(x) = f(g(x)) = f(x + 4x) = 3(x + 4x) = 3x + x e D(fog) = D(g) = R. Logo: gof : R R definida por gof ( x ) = 9 x 4 e fog : R R dada por fog ( x ) = 3x + x.. Sejam f e g funções dadas por f ( x) = x e g ( x) = x. Determinar as funções gof e fog. Temos: D(f) = R+; Im(f) = R+; D(g) = R; Im(g) = R+. Im(f) D(g) gof(x) = g(f(x)) = g( x ) = ( x ) = x = x, pois D(gof) = D(f) = R+. Im(g) D(f) fog(x) = f(g(x)) = f(x) = x = x, pois D(fog) = D(g) = R. Logo: gof : R+ R definida por gof ( x) = x e fog : R R dada por fog ( x) = x. - Observações:. A função h: R R definida por h(x) = (x )0 pode ser considerada como a composta gof das funções f: R R dada por f(x) = x e g: R R definida por g(x) = x0.. O livro texto contempla a possibilidade de definir a composta gof, sendo Im(f) D(g). Neste caso, D( gof ) = { x D( f ); f ( x) D( g )}. Por exemplo: f ( x ) = x 3 e g ( x ) = x. Temos: 6

6 D(f) = R; Im(f) = R; D(g) = [0, + ); Im(g) = [0, + ). 3 x 3 e D( gof ) = { x D( f ); f ( x) D( g )} = { x R; x 3 0} =,+. Im(g) D(f) fog ( x ) = x 3 e D( fog ) = D( g ) = [ 0,+ ). Im(f) D(g) gof ( x ) =.4- Exercícios Páginas 0,,, 3 e 4 do livro texto..5- Funções Especiais Função Constante f : R R definida por f ( x) = k, sendo k um número real fixo D(f) = R e Im(f) = {k} Exemplo: f : R R; f ( x) = 3 Função Identidade f : R R definida por f ( x) = x (Notação: f = idr) D(f) = R e Im(f) = R Função do º Grau f : R R definida por f ( x) = ax + b, sendo a e b números reais e a 0 D(f) = R e Im(f) = R Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e de coeficiente linear. Quando a > 0, a função f(x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que x cresce, f(x) também cresce. Quando a < 0, a função f(x) = ax + b é decrescente, isto é, à medida que x cresce, f(x) decresce. O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordenados. Exemplos: a) f(x) = x + 3 é uma função do º grau crescente pois a = > 0. b) f(x) = 3x + é uma função do º grau decrescente pois a = 3 < 0. 7

7 Função Módulo f : R R definida por f ( x) = x D(f) = R e Im(f) = [0, + ) Função Quadrática ou Função do º Grau f : R R definida por f ( x) = ax + bx + c, sendo a, b e c números reais e a 0 D(f) = R O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo vertical (y). Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. A interseção da parábola com o eixo horizontal (x) define os zeros da função. Se x e x são os zeros da função quadrática f ( x) = ax + bx + c então S = x + x = P = x.x = b, a c e f ( x) = a ( x Sx + P ) = a ( x x )( x x ). a A interseção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice, de b,, sendo = b 4ac. coordenadas a 4 a Dada uma função quadrática f ( x) = ax + bx + c, usando a técnica de completar os quadrados, podemos escrevê-la na forma f ( x) = a ( x xv ) + yv, sendo ( xv, yv ) o vértice da parábola. Neste caso, o eixo de simetria é dado por x = xv. 8

8 Função Polinomial f : R R definida por f ( x) = an x n + an x n a x + a x + a0, sendo a0, a, a,..., an, an números reais chamados coeficientes, an 0, e n um inteiro não negativo que determina o grau da função. D(f) = R Exemplos: a) A função constante f(x) = k é uma função polinomial de grau zero. b) A função f(x) = ax + b, a 0, é uma função polinomial do º grau (grau ). c) A função quadrática f(x) = ax + bx + c, a 0, é uma função polinomial do º grau (grau ). d) A função f(x) = x3 é uma função polinomial de grau 3 chamada função cúbica. e) A função f(x) = x4 é uma função polinomial de grau 4. Função Racional Uma função racional f é uma função dada por f ( x) = p ( x), onde p e q são funções q( x) polinomiais. 9

9 D( f ) = { x R; q( x) 0} Exemplos: a) A função f ( x) = x é racional de domínio D( f ) = R { }. x+ b) A função f ( x) = ( x + 3x 4).( x 9) ( x + x ).( x + 3) é racional de domínio D( f ) = R { 4, 3,3}..6- Função Par e Função Ímpar Uma função f : A R diz-se par quando para todo x A tem-se x A e f ( x) = f ( x). O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y. Exemplo: f : R R; f ( x) = x Uma função f : A R diz-se ímpar quando para todo x A tem-se x A e f ( x) = f ( x). O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Exemplo: f : R R; f ( x) = x 3 + x 5.7- Funções Periódicas Uma função f : A R é dita periódica quando existe um número real p > 0 tal que para todo x A tem-se x ± p A e f ( x + p ) = f ( x). O menor número p com esta propriedade é chamado o período de f. O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento p. Exemplos: f ( x) = senx e g ( x) = cos x são periódicas de período. 0

10 .8- Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras f :A B Dizemos que uma função é injetora quando, para quaisquer x, x A com x x, tem - se f ( x ) f ( x ). Em outras palavras, dizemos que f : A B é injetora se f ( x ) = f ( x ), com x e x em A, então x = x. Exemplo: f : R+ R definida por f ( x) = x é injetora. Dizemos que uma função f : A B é sobrejetora quando, para todo y B, existe x A tal que y = f(x). Em outros termos, f : A B é sobrejetora quando Im(f) = B. Exemplo: f : R R+ definida por f ( x) = x é sobrejetora. Dizemos que uma função f : A B é bijetora quando é injetora e sobrejetora. Exemplo: f : R R definida por f ( x) = x 3 é bijetora..9- Função Inversa de uma Função Bijetora Seja f : A B uma função bijetora. Sendo f sobrejetora, Im(f) = B, o que significa dizer que para todo y B existe pelo menos um x A tal que f(x) = y, e esse x é único porque f é injetora. Podemos, então, definir uma função g : B A que a y B associa o único x A tal que f(x) = y, ou seja, g ( y ) = x f ( x) = y. Se f : A B é uma função bijetora, a função g : B A definida por g ( y ) = x denomina-se função inversa da função f e denotada por f. f of = id A : A A, pois f ( f ( x )) = f ( y ) = x = id A (x), x A fof = id B : B B, pois f ( f ( y )) = f ( x ) = y = id B ( y ), y B f ( x) = y Graficamente podemos determinar se uma função f admite inversa passando retas paralelas ao eixo x por pontos do contradomínio de f; cada uma dessas retas deve cortar o gráfico de f em apenas um ponto. Os gráficos da função bijetora f : A B e de sua inversa f : B A são simétricos em relação à bissetriz y = x do º e 3º quadrantes, pois ( x, y ) G ( f ) y = f ( x ) x = f ( y ) ( y, x ) G ( f ) Tendo o gráfico da função bijetora f, para fazermos o gráfico da função inversa de f basta traçarmos a reta y = x e observamos a simetria.

11 Exemplos: a) A função f : R R dada por f ( x) = 3 x + é bijetora. Logo, admite inversa f : R R. Vamos apresentar dois modos para se obter uma fórmula para f. º modo: Sendo y = 3x +, basta tirar x em função de y, isto é, x = f ( y) = y x, y R, ou seja, f ( x ) =, x R. 3 3 y. Logo, 3 º modo: Sendo f ( f ( y )) = y, y R, segue que 3 f ( y ) + = y, ou seja, y f ( y) =, y R. 3 * * b) A função f : R R dada por f ( x ) = dada por f ( x) = é bijetora. Logo, admite inversa f : R* R* x. Excepcionalmente temos f = f. x c) O gráfico abaixo ilustra a função f : R R dada por f ( x) = x que não possui inversa. Fazendo uma restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa. Por exemplo, a função f : [ 0, + ) [ 0, + ) definida por f ( x ) = x tem como inversa a função f : [ 0, + ) [ 0, + ) dada por f ( x) = x.

12 .0- Algumas Funções Elementares Função Exponencial de base a A função f : R R definida por f ( x) = a x, sendo a um número real, 0 < a, é denominada função exponencial de base a. D(f) = R e Im(f) = R *+ = (0, + ) O gráfico de f ( x) = a x está todo acima do eixo das abscissas (x), pois y = a x > 0 para todo x R. O gráfico de f ( x) = a x corta o eixo das ordenadas (y) no ponto (0, ), pois a0 =. Quando a >, f ( x) = a x é crescente. Quando 0 < a <, f ( x) = a x é decrescente. Um caso particular importante é a função exponencial f ( x) = e x, onde e é o número irracional conhecido por constante de Euler (e, ). Propriedades: Se a, x, y são números reais e a > 0, então: (a ) x y = a xy, em particular a x = ax a x.a y = a x + y, em particular a x y = ( a.b ) x = ax ay a x.b x, para b > 0 x = x a a Função Logarítmica de base a * A função f : R+ R definida por f ( x) = log a x, sendo a um número real, 0 < a, é denominada função logarítmica de base a. D(f) = R *+ e Im(f) = R 3

13 O gráfico de f ( x) = log a x está todo à direita do eixo y. O gráfico de f ( x) = log a x corta o eixo das abscissas (x) no ponto (, 0), pois loga =0. Quando a >, f ( x) = log a x é crescente. Quando 0 < a <, f ( x) = log a x é decrescente. * As funções f : R+ R definida por f ( x) = log a x e g : R R+* definida por g ( x) = a x, y sendo a um número real, 0 < a, são inversas uma da outra, pois y = log a x x = a. Assim, o gráfico de f é simétrico ao gráfico de g em relação à reta y = x. Um caso particular importante é a função logarítmica de base e, chamada função logarítmica natural, que denotamos por f ( x ) = ln x. Propriedades: Se 0 < a e x e y números reais positivos, então: log a x d = d log a x, para qualquer número real d log a ( x. y ) = log a x + log a y x log a = log a x log a y y Funções Trigonométricas Medida de ângulo em radiano (rad) É fato que a razão entre o comprimento do arco determinado por um ângulo em um círculo, cujo centro é o vértice do ângulo, e o raio do círculo é um número real que só depende do ângulo, isto é, não depende do raio do círculo. Esta propriedade nos permite definir o seguinte: A medida de um ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco determinado pelo ângulo em um círculo, cujo centro é o vértice do ângulo, e o comprimento do raio do círculo. α = AÔB = A' ÔB ' s AÔB = radianos R s' A' ÔB ' = radianos R' s α = s = α.r R 4

14 A medida de um ângulo de uma volta, ou seja, 360o, em radianos é rad, pois s = α R R = α R α = rad. Um ângulo mede radiano quando o comprimento do arco determinado por ele em um círculo, o 360 o 57. cujo centro é o seu vértice, é igual ao raio do círculo. rad = Quando o raio R do círculo é igual a, a medida do ângulo em radianos coincide com o comprimento do arco determinado pelo ângulo; isto nos permite fazer uma identificação entre ângulos e números reais. Círculo Trigonométrico. eixo u: eixo dos cossenos. eixo v: eixo dos senos. eixo t: eixo das tangentes. eixo c: eixo das cotangentes OA = OP = senx OP = cos x AT = tgx BC = cot gx OS = sec x OD = cos sec x Relações Fundamentais sen x + cos x = cos sec x = senx cos x cos x cot gx = senx sec x = cos x tgx = cot gx = senx tgx sec x = + tg x cos sec x = + cot g x Ângulos Notáveis o 45o 60o Seno 0o 0 80o 0 70o - 360o 0 Cosseno o 0-0 Tangente Não existe 0 Não existe 0 3 5

15 Fórmulas de Transformação sen ( a + b ) = sena. cos b + senb. cos a sen ( a b ) = sena. cos b senb. cos a cos( a + b ) = cos a. cos b sena.senb cos( a b ) = cos a. cos b + sena.senb tga + tgb tga.tgb tga tgb tg ( a b ) = + tga.tgb tg ( a + b ) = a+ b a b. cos a+ b a b cos a cos b = sen.sen a+ b a b sena + senb = sen. cos a b a+ b sena senb = sen. cos sen ( a + b ) tga + tgb = cos a. cos b sen ( a b ) tga tgb = cos a. cos b cos a + cos b = cos sen a = sena. cos a cos a = cos a sen a = cos a = sen a tga tg a = tg a cos a sen a = + cos a cos a = cos a tg a = + cos a Função Seno f : R R definida por f ( x ) = OP = senx D(f) = R e Im(f) = [-, ] A função f ( x) = senx é ímpar, pois sen( x ) = senx. A função f ( x) = senx é periódica de período, pois sen( x + ) = senx. A função f ( x) = senx é crescente nos intervalos [0, /] e [3/, ] e decrescente no intervalo [/, 3/]. O gráfico da função f ( x) = senx é denominado senóide. Função Cosseno f : R R definida por f ( x) = OP = cos x D(f) = R e Im(f) = [-, ] A função f ( x) = cos x é par, pois cos( x ) = cos x. A função f ( x) = cos x é periódica de período, pois cos( x + ) = cos x. A função f ( x ) = cos x é decrescente no intervalo [0, ] e crescente no intervalo [, ]. O gráfico da função f ( x) = cos x é denominado cossenóide. 6

16 Função Tangente senx f : x R; x + k, k Z R definida por f ( x ) = AT = tgx = cos x + k, k Z e Im( f ) = R D( f ) = x R; x A função f ( x) = tgx é ímpar, pois tg ( x ) = tgx. A função f ( x) = tgx é periódica de período, pois tg ( x + ) = tgx. A função f ( x) = tgx é crescente nos intervalos [0, /), (/, 3/) e (3/, ]. O gráfico da função f ( x) = tgx é denominado tangentóide. Função Cotangente f : { x R; x k, k Z } R definida por f ( x ) = BC = cot gx = cos x = senx tgx D( f ) = { x R; x k, k Z } e Im( f ) = R A função f ( x) = cot gx é ímpar, pois cot g ( x ) = cot gx. A função f ( x) = cot gx é periódica de período, pois cot g ( x + ) = cot gx. A função f ( x) = cot gx é decrescente nos intervalos (0, ) e (, ). Função Secante f : x R; x + k, k Z R definida por f ( x ) = OS = sec x = cos x + k, k Z e Im( f ) = R (,) D( f ) = x R; x A função f ( x) = sec x é par, pois sec( x ) = sec x. A função f ( x) = sec x é periódica de período, pois sec( x + ) = sec x. A função f ( x) = sec x é crescente nos intervalos [0, /) e (/, ] e decrescente nos intervalos [, 3/) e (3/, ]. 7

17 Função Cossecante f : { x R; x k, k Z } R definida por f ( x ) = OD = cos sec x = senx D( f ) = { x R; x k, k Z } e Im( f ) = R (, ) A função f ( x) = cos sec x é ímpar, pois cos sec( x ) = cos sec x. f ( x) = cos sec x A função é periódica de período, pois cos sec( x + ) = cos sec x. A função f ( x) = cos sec x é crescente nos intervalos [/, ) e (, 3/] e decrescente nos intervalos (0, /] e [3/, ). Funções Trigonométricas Inversas Função Arco Seno É impossível definir uma função inversa para a função f : R R dada por f ( x) = senx, pois a função seno não é injetora e não é sobrejetora. Para definirmos a função inversa de f ( x) = senx necessitamos restringir o domínio. Este fato ocorre com todas as funções trigonométricas. Seja f :, [, ] a função definida por f ( x ) = senx. Esta função é bijetora e, portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco seno e denotada por f : [, ], onde f ( x) = arc sen x. Simbolicamente, para y, temos : y = arc sen x seny = x. f ( x) = senx f ( x) = arc sen x 8

18 Observação: Na definição da função arco seno poderíamos ter restringido o domínio de f ( x) = senx a qualquer dos seguintes intervalos: [/, 3/], [3/, 5/], [5/, 7/],... ou [-3/, -/], [-5/, -3/], [-7/, -5/],.... Função Arco Cosseno Seja f : [ 0, ] [, ] a função definida por f ( x) = cos x. Esta função é bijetora e, portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco cosseno e denotada por f : [, ] [ 0, ] onde f ( x) = arc cos x. Simbolicamente, para 0 y, temos : y = arc cos x cos y = x. f ( x) = cos x f ( x) = arc cos x Observação: A função y = arc cos x pode ser definida também pela equação arc cos x = arc sen x. Função Arco Tangente f :, R a função definida por f ( x) = tgx. Esta função é bijetora e, portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco tangente e denotada por f : R, onde f ( x) = arc tg x. Simbolicamente, para < y <, temos : y = arc tg x tgy = x. Seja f ( x) = tgx f ( x) = arc tg x 9

19 Função Arco Cotangente, Arco Secante e Arco Cossecante f : ( 0, ) R ; f ( x) = cot gx é bijetora. f : R ( 0, ) ; f ( x) = arc cot gx = arc tgx. f : 0,, (, ] [, + ) f : (, ] [, + ) 0,, ; f ( x) = sec x é bijetora. ; f ( x) = arc sec x = arc cos x. f :, 0 0, (, ] [, + ) ; f ( x) = cos sec x é bijetora. f : (, ] [, + ), 0 0, ; f ( x) = arc cos sec x = arc sen. x Funções Hiperbólicas Função Seno Hiperbólico f : R R definida por f ( x) = senhx = e x e x D(f) = R e Im(f) = R Função Cosseno Hiperbólico f : R R definida por f ( x) = cosh x = e x + e x D(f) = R e Im(f) = [, + ) 30

20 Observação: A figura abaixo representa um fio de telefone ou de luz. Observamos que a curva representada pelo fio aparenta a forma de uma parábola; no entanto, é possível mostrar que a equação x correspondente é y = cosh, onde a R e a 0. Esta curva recebe a denominação de catenária. a Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas As funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas, denotadas respectivamente por tgh, cotgh, sech e cossech, são definidas por: senhx e x e x tghx = = ; D( tgh ) = R e Im( tgh ) = (, ) cosh x e x + e x cot ghx = cosh x e x + e x = ; D( cot gh ) = R { 0} e Im( cot gh ) = (, ) (, + senhx e x e x sec hx = = x ; D( sec h ) = R e Im( sec h ) = ( 0, ] cosh x e + e x cos sec hx = ) = x ; D( cos sec h ) = R { 0} e Im( cos sec h ) = R { 0} senhx e e x Identidades Hiperbólicas cosh x senh x = tghx = cot ghx sec h x = tgh x cos sec h x = cot gh x 3

21 Funções Hiperbólicas Inversas Função Inversa do Seno Hiperbólico Analisando o gráfico da função f ( x) = senhx vemos que ela é bijetora; logo admite inversa. A função inversa do seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico e denotada por arg senh, é definida por: f : R R ; f ( x) = arg senhx. D( f ) = R e Im( f ) = R y = arg senhx x = senhy Função Inversa do Cosseno Hiperbólico Seja f : [ 0, + ) [, + ) a função dada por f ( x) = cosh x. Esta função é bijetora. A sua inversa, chamada argumento do cosseno hiperbólico e denotada por arg cosh, é definida por: f : [, + ) [ 0, + ) ; f ( x) = arg cosh x. D( f ) = [, + ) y = arg cosh x e Im( f ) = [ 0, + ) x = cosh y, y 0 Funções Inversas da Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas f : R (, ) ; f ( x) = tghx é bijetora. f : (, ) R ; f ( x) = arg tghx. f : R { 0} (, ) (,+ ) ; f ( x) = cot ghx é bijetora. f : (, ) (,+ ) R { 0} ; f ( x) = arg cot ghx. f : [ 0,+ ) ( 0, ] ; f ( x ) = sec hx é bijetora. f : ( 0, ] [ 0,+ ) ; f ( x) = arg sec hx. f : R { 0} R { 0} ; f ( x) = cos sec hx é bijetora. f : R { 0} R { 0} ; f ( x) = arg cos sec hx. 3

22 Expressões das Funções Hiperbólicas Inversas ( arg cosh x = ln (x + arg senhx = ln x + ) ), x x +, x R x + x ln, < x < x x + arg cot ghx = ln, x > x arg tghx = + arg sec hx = ln arg cos sec hx = ln x, 0< x x + x +, x 0 x x 33

23 .- Aplicações. Ao chegar a um aeroporto, um turista informou-se sobre a locação de automóveis e condensou as informações recebidas na tabela seguinte: Opções Locadora Locadora Locadora 3 Diária R$ 50,00 R$ 30,00 R$ 65,00 Preço por km rodado R$ 0,0 R$ 0,40 km livre a) Obtenha uma equação que defina o preço y da locação por dia, em função do número de km rodados, em cada uma das situações apresentadas na tabela. b) Represente, no mesmo plano cartesiano, os gráficos dessas equações. c) A partir de quantos quilômetros o turista deve preferir a Locadora ao invés da Locadora? d) A partir de quantos quilômetros o turista deve optar pela Locadora 3?. Um avião com 0 lugares é fretado para uma excursão. A companhia exige de cada passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 0,00 para cada lugar vago. Qual o número de passageiros que torna máxima a receita da companhia? 3. A massa de materiais radioativos, como o rádio, o urânio ou o carbono-4, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar a taxa de decaimento da massa é utilizando o conceito de meia-vida desses materiais. A meia-vida de um material radioativo é definida como o tempo necessário para que sua massa seja reduzida à metade. Denotando por M0 a massa inicial (corresponde ao instante t = 0) e por M a massa presente num instante kt qualquer t, podemos estimar M pela função exponencial dada por M = M 0e, sendo k > 0 uma constante. Essa equação é conhecida como modelo de decaimento exponencial. A constante k depende do material radioativo considerado e está relacionada com a meia-vida dele. Sabendo que a meia-vida do carbono-4 é de aproximadamente 5730 anos, determinar: a) a constante K, do modelo de decaimento exponencial, para esse material; b) a quantidade de massa presente após dois períodos de meia-vida, se no instante t = 0 a massa era M0; c) a idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presença do carbono-4 neste é 80% da quantidade original. 4. Uma indústria comercializa um certo produto e tem uma função custo total em mil reais, dada por CT ( q) = q + 0q + 475, sendo q 0 a quantidade do produto. A função receita total em mil reais é dada por R (q ) = 0q. a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades. b) Em que valor de q acontecerá lucro máximo? 5. Veja outros exemplos no livro texto, páginas 43 a Exercícios Páginas 53, 54, 55, 56, 57, 58 e 59 do livro texto. 34

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