Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B).
|
|
- Estela Silveira Marroquim
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo : Funções.- Definições Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de A em B é uma lei, regra ou correspondência que associa a cada elemento x de A um único elemento y de B. O conjunto A é o domínio de f ou o conjunto onde a função é definida, e é indicado por D(f). O conjunto B é o contradomínio de f ou campo de valores de f. O único elemento y de B associado ao elemento x de A é indicado por f(x) (leia: f de x); diremos que f(x) é o valor que f assume em x ou é a imagem de x pela função f. Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem de f, que é o conjunto de todos os valores assumidos pela função f, e indicado por Im(f) ou f(a). Simbolicamente, temos: Im( f ) = f ( A) = { f ( x); x A}. Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B). Duas funções f : A B e g : C D são iguais se, e somente se, A = C, B = D e f(x) = g(x), x A. Ou seja, duas funções são iguais quando têm o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e a mesma regra de correspondência. Uma função de uma variável real a valores reais ou função real de uma variável real é uma função f : A B, onde A e B são subconjuntos de R. Até menção em contrário, só trataremos com funções reais de uma variável real. - Observações:. Usa-se a notação x f (x) para indicar que f faz corresponder a x o valor f(x).. Não se deve confundir f com f(x): f é a função, enquanto que f(x) é o valor que a função assume num ponto x do domínio, ou seja, f(x) é a imagem de x por f. 3. Quando uma função é dada pela regra y = f(x) é comum referir-se à variável y como variável dependente e à variável x como variável independente. É usual dizer que y é função de x. 4. A natureza da regra que ensina como obter o valor de f(x) B quando é dado x A é inteiramente arbitrária, sendo sujeita apenas a duas condições: ª) A fim de que f tenha o conjunto A como domínio, a regra deve fornecer f(x) a todo x A; ª) A cada x A, a regra deve fazer corresponder um único f(x) em B, ou seja, se x = x em A então f(x) = f(x ) em B. 5. Deve-se ainda observar que uma função consta de três ingredientes: domínio, contradomínio e a lei de correspondência x f (x). Mesmo quando dizemos simplesmente a função f, ficam subentendidos
2 seu domínio A e seu contradomínio B. Sem que eles sejam especificados, não existe função. Assim sendo, uma pergunta do tipo Qual é o domínio da função f(x) = /x?, estritamente falando, não faz sentido. A pergunta correta seria: Qual é o maior subconjunto A R tal que a fórmula f(x) = /x define uma função f : A R? Porém, muitas vezes uma função é dada pela regra x f (x) ou, simplesmente, f(x) sem explicitarmos seu domínio e contradomínio; quando isso ocorrer, fica implícito que o contradomínio é R e que o domínio é o maior subconjunto de R para o qual faz sentido a regra em questão, ou seja, f(x) é um número real. - Notações: R+ = [ 0, + ) R+* = ( 0, + ) R = (, 0] R * = (, 0 ) - Exemplos e Contra-exemplos:. A correspondência que associa a cada número natural n seu sucessor n + define uma função f : N N, sendo f(n) = n +. D(f) = N e Im(f) = N {}.. A regra que associa a cada x [,] o seu dobro define uma função f : [,] R, com f(x) = x. D(f) = [, ] e Im(f) = [, 4]. 3. A fórmula A = r da área A de um círculo de raio r associa a cada real positivo r um único valor de A, determinando assim, uma função f : R+* R tal que f(r) = r. D( f ) = R+* e Im( f ) = R+*. 4. Sejam A = {3, 4, 5} e B = {, }. As regras estabelecidas nos diagramas abaixo não definem funções de A em B. 5. Seja dada a regra f ( x) = 4 x. Neste caso, o maior subconjunto de R para o qual f(x) R é 4 x 0, ou seja, - x. Logo D(f) = [-, ] e Im(f) = [0, ]..- Gráfico de uma função Seja f : A B uma função, onde A e B são subconjuntos não vazios de R. O conjunto G ( f ) = { ( x, f ( x) ) ; x A} AxB denomina-se gráfico de f. Assim, o gráfico de f é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de f. Para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de pontos, fazendo uma tabela que nos dá as coordenadas. No ponto em que estamos, não existe outro meio de determinar o gráfico a não ser este método rudimentar. Mais adiante desenvolveremos técnicas mais eficazes para o traçado de gráficos. 3
3 - Observação: Podemos nos perguntar se, dada uma curva C no plano cartesiano, ela sempre representa o gráfico de uma função. A resposta é não. Sabemos que, se f é uma função, um ponto de seu domínio pode ter somente uma imagem. Assim a curva C só representa o gráfico de uma função quando qualquer reta vertical corta a curva no máximo em um ponto. A curva C representa o gráfico de uma função, enquanto a curva C não representa. - Exemplos:. Considere a função f(x) = x. Temos: D(f) = R, Im(f) = [0, ) e a figura abaixo esboça o gráfico de f.. Considere a função f(x) = x. Temos: D(f) = R, Im(f) = R e a figura abaixo mostra o seu gráfico., se x 3. Seja f : R R definida por f ( x) =, se < x. Temos: D(f) = R, Im(f) = {,, 4} e o 4, se x > gráfico de f é mostrado pela figura a seguir. 4
4 4. Seja f ( x) = x. Então D(f) = R, Im(f) = [0, ) e o gráfico de f pode ser visto na figura abaixo. 5. Seja f ( x) =. Então D(f) = R {0} e Im(f) = R {0}. A figura abaixo mostra o gráfico de f. x 6. Seja f ( x) = [ x ] = maior inteiro x. Temos que D(f) = R e Im(f) = Z. O gráfico de f é dado por:.3- Operações Operações aritméticas sobre funções Sejam f e g duas funções, sendo D(f) = A e D(g) = B. Se A B, podemos definir: a) Função Soma de f e g: (f + g) (x) = f(x) + g(x), sendo D(f + g) = A B. b) Função Diferença de f e g: (f g) (x) = f(x) g(x), sendo D(f g) = A B. c) Função Produto de f e g: (f. g) (x) = f(x). g(x), sendo D(f. g) = A B. f f f ( x), sendo D = { x A B; g ( x ) 0} φ. d) Função Quociente de f por g: ( x ) = g ( x) g g - Observação: Se f for uma função constante, digamos f(x) = k, k R, então o produto de f e g será kg. Desta forma, multiplicar uma função por uma constante é um caso particular de multiplicação de duas funções. 5
5 - Exemplo: Sejam as funções f ( x) = 4 x e g ( x) = x. Então D( f ) = A = { x R; x 4} e D( g ) = B = { x R; x ou x }. Temos: ( f + g )( x ) = ( f g )( x ) = ( f.g )( x ) = 4 x + x ; D( f + g ) = A B = { x R; x ou x 4} 4 x x ; D( f g ) = A B = { x R; x ou x 4} 4 x. x ; D( f.g ) = A B = { x R; x ou x 4} f f 4 x ( x ) = ; D = { x A B; g ( x ) 0} = { x R; x < ou < x 4} x g g ( 5) f ( x ) = 5 4 x ; D( 5 f ) = R A = A = { x R; x 4} Composição de Funções Sejam f : A R e g : B R duas funções tais que Im(f) B, ou seja, para todo x A temos que o valor f(x) B. A função gof : A R definida por (gof)(x) = g(f(x)) é denominada função composta de g e f. - Exemplos:. Sejam f e g funções dadas por f(x) = 3x e g(x) = x + 4x. Determinar as funções gof e fog. Temos: D(f) = R; Im(f) = R; D(g) = R; Im(g) = [-4, ). Im(f) D(g) gof(x) = g(f(x)) = g(3x ) = (3x ) + 4 (3x ) = 9x 4 e D(gof) = D(f) = R. Im(g) D(f) fog(x) = f(g(x)) = f(x + 4x) = 3(x + 4x) = 3x + x e D(fog) = D(g) = R. Logo: gof : R R definida por gof ( x ) = 9 x 4 e fog : R R dada por fog ( x ) = 3x + x.. Sejam f e g funções dadas por f ( x) = x e g ( x) = x. Determinar as funções gof e fog. Temos: D(f) = R+; Im(f) = R+; D(g) = R; Im(g) = R+. Im(f) D(g) gof(x) = g(f(x)) = g( x ) = ( x ) = x = x, pois D(gof) = D(f) = R+. Im(g) D(f) fog(x) = f(g(x)) = f(x) = x = x, pois D(fog) = D(g) = R. Logo: gof : R+ R definida por gof ( x) = x e fog : R R dada por fog ( x) = x. - Observações:. A função h: R R definida por h(x) = (x )0 pode ser considerada como a composta gof das funções f: R R dada por f(x) = x e g: R R definida por g(x) = x0.. O livro texto contempla a possibilidade de definir a composta gof, sendo Im(f) D(g). Neste caso, D( gof ) = { x D( f ); f ( x) D( g )}. Por exemplo: f ( x ) = x 3 e g ( x ) = x. Temos: 6
6 D(f) = R; Im(f) = R; D(g) = [0, + ); Im(g) = [0, + ). 3 x 3 e D( gof ) = { x D( f ); f ( x) D( g )} = { x R; x 3 0} =,+. Im(g) D(f) fog ( x ) = x 3 e D( fog ) = D( g ) = [ 0,+ ). Im(f) D(g) gof ( x ) =.4- Exercícios Páginas 0,,, 3 e 4 do livro texto..5- Funções Especiais Função Constante f : R R definida por f ( x) = k, sendo k um número real fixo D(f) = R e Im(f) = {k} Exemplo: f : R R; f ( x) = 3 Função Identidade f : R R definida por f ( x) = x (Notação: f = idr) D(f) = R e Im(f) = R Função do º Grau f : R R definida por f ( x) = ax + b, sendo a e b números reais e a 0 D(f) = R e Im(f) = R Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e de coeficiente linear. Quando a > 0, a função f(x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que x cresce, f(x) também cresce. Quando a < 0, a função f(x) = ax + b é decrescente, isto é, à medida que x cresce, f(x) decresce. O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordenados. Exemplos: a) f(x) = x + 3 é uma função do º grau crescente pois a = > 0. b) f(x) = 3x + é uma função do º grau decrescente pois a = 3 < 0. 7
7 Função Módulo f : R R definida por f ( x) = x D(f) = R e Im(f) = [0, + ) Função Quadrática ou Função do º Grau f : R R definida por f ( x) = ax + bx + c, sendo a, b e c números reais e a 0 D(f) = R O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo vertical (y). Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. A interseção da parábola com o eixo horizontal (x) define os zeros da função. Se x e x são os zeros da função quadrática f ( x) = ax + bx + c então S = x + x = P = x.x = b, a c e f ( x) = a ( x Sx + P ) = a ( x x )( x x ). a A interseção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice, de b,, sendo = b 4ac. coordenadas a 4 a Dada uma função quadrática f ( x) = ax + bx + c, usando a técnica de completar os quadrados, podemos escrevê-la na forma f ( x) = a ( x xv ) + yv, sendo ( xv, yv ) o vértice da parábola. Neste caso, o eixo de simetria é dado por x = xv. 8
8 Função Polinomial f : R R definida por f ( x) = an x n + an x n a x + a x + a0, sendo a0, a, a,..., an, an números reais chamados coeficientes, an 0, e n um inteiro não negativo que determina o grau da função. D(f) = R Exemplos: a) A função constante f(x) = k é uma função polinomial de grau zero. b) A função f(x) = ax + b, a 0, é uma função polinomial do º grau (grau ). c) A função quadrática f(x) = ax + bx + c, a 0, é uma função polinomial do º grau (grau ). d) A função f(x) = x3 é uma função polinomial de grau 3 chamada função cúbica. e) A função f(x) = x4 é uma função polinomial de grau 4. Função Racional Uma função racional f é uma função dada por f ( x) = p ( x), onde p e q são funções q( x) polinomiais. 9
9 D( f ) = { x R; q( x) 0} Exemplos: a) A função f ( x) = x é racional de domínio D( f ) = R { }. x+ b) A função f ( x) = ( x + 3x 4).( x 9) ( x + x ).( x + 3) é racional de domínio D( f ) = R { 4, 3,3}..6- Função Par e Função Ímpar Uma função f : A R diz-se par quando para todo x A tem-se x A e f ( x) = f ( x). O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y. Exemplo: f : R R; f ( x) = x Uma função f : A R diz-se ímpar quando para todo x A tem-se x A e f ( x) = f ( x). O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Exemplo: f : R R; f ( x) = x 3 + x 5.7- Funções Periódicas Uma função f : A R é dita periódica quando existe um número real p > 0 tal que para todo x A tem-se x ± p A e f ( x + p ) = f ( x). O menor número p com esta propriedade é chamado o período de f. O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento p. Exemplos: f ( x) = senx e g ( x) = cos x são periódicas de período. 0
10 .8- Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras f :A B Dizemos que uma função é injetora quando, para quaisquer x, x A com x x, tem - se f ( x ) f ( x ). Em outras palavras, dizemos que f : A B é injetora se f ( x ) = f ( x ), com x e x em A, então x = x. Exemplo: f : R+ R definida por f ( x) = x é injetora. Dizemos que uma função f : A B é sobrejetora quando, para todo y B, existe x A tal que y = f(x). Em outros termos, f : A B é sobrejetora quando Im(f) = B. Exemplo: f : R R+ definida por f ( x) = x é sobrejetora. Dizemos que uma função f : A B é bijetora quando é injetora e sobrejetora. Exemplo: f : R R definida por f ( x) = x 3 é bijetora..9- Função Inversa de uma Função Bijetora Seja f : A B uma função bijetora. Sendo f sobrejetora, Im(f) = B, o que significa dizer que para todo y B existe pelo menos um x A tal que f(x) = y, e esse x é único porque f é injetora. Podemos, então, definir uma função g : B A que a y B associa o único x A tal que f(x) = y, ou seja, g ( y ) = x f ( x) = y. Se f : A B é uma função bijetora, a função g : B A definida por g ( y ) = x denomina-se função inversa da função f e denotada por f. f of = id A : A A, pois f ( f ( x )) = f ( y ) = x = id A (x), x A fof = id B : B B, pois f ( f ( y )) = f ( x ) = y = id B ( y ), y B f ( x) = y Graficamente podemos determinar se uma função f admite inversa passando retas paralelas ao eixo x por pontos do contradomínio de f; cada uma dessas retas deve cortar o gráfico de f em apenas um ponto. Os gráficos da função bijetora f : A B e de sua inversa f : B A são simétricos em relação à bissetriz y = x do º e 3º quadrantes, pois ( x, y ) G ( f ) y = f ( x ) x = f ( y ) ( y, x ) G ( f ) Tendo o gráfico da função bijetora f, para fazermos o gráfico da função inversa de f basta traçarmos a reta y = x e observamos a simetria.
11 Exemplos: a) A função f : R R dada por f ( x) = 3 x + é bijetora. Logo, admite inversa f : R R. Vamos apresentar dois modos para se obter uma fórmula para f. º modo: Sendo y = 3x +, basta tirar x em função de y, isto é, x = f ( y) = y x, y R, ou seja, f ( x ) =, x R. 3 3 y. Logo, 3 º modo: Sendo f ( f ( y )) = y, y R, segue que 3 f ( y ) + = y, ou seja, y f ( y) =, y R. 3 * * b) A função f : R R dada por f ( x ) = dada por f ( x) = é bijetora. Logo, admite inversa f : R* R* x. Excepcionalmente temos f = f. x c) O gráfico abaixo ilustra a função f : R R dada por f ( x) = x que não possui inversa. Fazendo uma restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa. Por exemplo, a função f : [ 0, + ) [ 0, + ) definida por f ( x ) = x tem como inversa a função f : [ 0, + ) [ 0, + ) dada por f ( x) = x.
12 .0- Algumas Funções Elementares Função Exponencial de base a A função f : R R definida por f ( x) = a x, sendo a um número real, 0 < a, é denominada função exponencial de base a. D(f) = R e Im(f) = R *+ = (0, + ) O gráfico de f ( x) = a x está todo acima do eixo das abscissas (x), pois y = a x > 0 para todo x R. O gráfico de f ( x) = a x corta o eixo das ordenadas (y) no ponto (0, ), pois a0 =. Quando a >, f ( x) = a x é crescente. Quando 0 < a <, f ( x) = a x é decrescente. Um caso particular importante é a função exponencial f ( x) = e x, onde e é o número irracional conhecido por constante de Euler (e, ). Propriedades: Se a, x, y são números reais e a > 0, então: (a ) x y = a xy, em particular a x = ax a x.a y = a x + y, em particular a x y = ( a.b ) x = ax ay a x.b x, para b > 0 x = x a a Função Logarítmica de base a * A função f : R+ R definida por f ( x) = log a x, sendo a um número real, 0 < a, é denominada função logarítmica de base a. D(f) = R *+ e Im(f) = R 3
13 O gráfico de f ( x) = log a x está todo à direita do eixo y. O gráfico de f ( x) = log a x corta o eixo das abscissas (x) no ponto (, 0), pois loga =0. Quando a >, f ( x) = log a x é crescente. Quando 0 < a <, f ( x) = log a x é decrescente. * As funções f : R+ R definida por f ( x) = log a x e g : R R+* definida por g ( x) = a x, y sendo a um número real, 0 < a, são inversas uma da outra, pois y = log a x x = a. Assim, o gráfico de f é simétrico ao gráfico de g em relação à reta y = x. Um caso particular importante é a função logarítmica de base e, chamada função logarítmica natural, que denotamos por f ( x ) = ln x. Propriedades: Se 0 < a e x e y números reais positivos, então: log a x d = d log a x, para qualquer número real d log a ( x. y ) = log a x + log a y x log a = log a x log a y y Funções Trigonométricas Medida de ângulo em radiano (rad) É fato que a razão entre o comprimento do arco determinado por um ângulo em um círculo, cujo centro é o vértice do ângulo, e o raio do círculo é um número real que só depende do ângulo, isto é, não depende do raio do círculo. Esta propriedade nos permite definir o seguinte: A medida de um ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco determinado pelo ângulo em um círculo, cujo centro é o vértice do ângulo, e o comprimento do raio do círculo. α = AÔB = A' ÔB ' s AÔB = radianos R s' A' ÔB ' = radianos R' s α = s = α.r R 4
14 A medida de um ângulo de uma volta, ou seja, 360o, em radianos é rad, pois s = α R R = α R α = rad. Um ângulo mede radiano quando o comprimento do arco determinado por ele em um círculo, o 360 o 57. cujo centro é o seu vértice, é igual ao raio do círculo. rad = Quando o raio R do círculo é igual a, a medida do ângulo em radianos coincide com o comprimento do arco determinado pelo ângulo; isto nos permite fazer uma identificação entre ângulos e números reais. Círculo Trigonométrico. eixo u: eixo dos cossenos. eixo v: eixo dos senos. eixo t: eixo das tangentes. eixo c: eixo das cotangentes OA = OP = senx OP = cos x AT = tgx BC = cot gx OS = sec x OD = cos sec x Relações Fundamentais sen x + cos x = cos sec x = senx cos x cos x cot gx = senx sec x = cos x tgx = cot gx = senx tgx sec x = + tg x cos sec x = + cot g x Ângulos Notáveis o 45o 60o Seno 0o 0 80o 0 70o - 360o 0 Cosseno o 0-0 Tangente Não existe 0 Não existe 0 3 5
15 Fórmulas de Transformação sen ( a + b ) = sena. cos b + senb. cos a sen ( a b ) = sena. cos b senb. cos a cos( a + b ) = cos a. cos b sena.senb cos( a b ) = cos a. cos b + sena.senb tga + tgb tga.tgb tga tgb tg ( a b ) = + tga.tgb tg ( a + b ) = a+ b a b. cos a+ b a b cos a cos b = sen.sen a+ b a b sena + senb = sen. cos a b a+ b sena senb = sen. cos sen ( a + b ) tga + tgb = cos a. cos b sen ( a b ) tga tgb = cos a. cos b cos a + cos b = cos sen a = sena. cos a cos a = cos a sen a = cos a = sen a tga tg a = tg a cos a sen a = + cos a cos a = cos a tg a = + cos a Função Seno f : R R definida por f ( x ) = OP = senx D(f) = R e Im(f) = [-, ] A função f ( x) = senx é ímpar, pois sen( x ) = senx. A função f ( x) = senx é periódica de período, pois sen( x + ) = senx. A função f ( x) = senx é crescente nos intervalos [0, /] e [3/, ] e decrescente no intervalo [/, 3/]. O gráfico da função f ( x) = senx é denominado senóide. Função Cosseno f : R R definida por f ( x) = OP = cos x D(f) = R e Im(f) = [-, ] A função f ( x) = cos x é par, pois cos( x ) = cos x. A função f ( x) = cos x é periódica de período, pois cos( x + ) = cos x. A função f ( x ) = cos x é decrescente no intervalo [0, ] e crescente no intervalo [, ]. O gráfico da função f ( x) = cos x é denominado cossenóide. 6
16 Função Tangente senx f : x R; x + k, k Z R definida por f ( x ) = AT = tgx = cos x + k, k Z e Im( f ) = R D( f ) = x R; x A função f ( x) = tgx é ímpar, pois tg ( x ) = tgx. A função f ( x) = tgx é periódica de período, pois tg ( x + ) = tgx. A função f ( x) = tgx é crescente nos intervalos [0, /), (/, 3/) e (3/, ]. O gráfico da função f ( x) = tgx é denominado tangentóide. Função Cotangente f : { x R; x k, k Z } R definida por f ( x ) = BC = cot gx = cos x = senx tgx D( f ) = { x R; x k, k Z } e Im( f ) = R A função f ( x) = cot gx é ímpar, pois cot g ( x ) = cot gx. A função f ( x) = cot gx é periódica de período, pois cot g ( x + ) = cot gx. A função f ( x) = cot gx é decrescente nos intervalos (0, ) e (, ). Função Secante f : x R; x + k, k Z R definida por f ( x ) = OS = sec x = cos x + k, k Z e Im( f ) = R (,) D( f ) = x R; x A função f ( x) = sec x é par, pois sec( x ) = sec x. A função f ( x) = sec x é periódica de período, pois sec( x + ) = sec x. A função f ( x) = sec x é crescente nos intervalos [0, /) e (/, ] e decrescente nos intervalos [, 3/) e (3/, ]. 7
17 Função Cossecante f : { x R; x k, k Z } R definida por f ( x ) = OD = cos sec x = senx D( f ) = { x R; x k, k Z } e Im( f ) = R (, ) A função f ( x) = cos sec x é ímpar, pois cos sec( x ) = cos sec x. f ( x) = cos sec x A função é periódica de período, pois cos sec( x + ) = cos sec x. A função f ( x) = cos sec x é crescente nos intervalos [/, ) e (, 3/] e decrescente nos intervalos (0, /] e [3/, ). Funções Trigonométricas Inversas Função Arco Seno É impossível definir uma função inversa para a função f : R R dada por f ( x) = senx, pois a função seno não é injetora e não é sobrejetora. Para definirmos a função inversa de f ( x) = senx necessitamos restringir o domínio. Este fato ocorre com todas as funções trigonométricas. Seja f :, [, ] a função definida por f ( x ) = senx. Esta função é bijetora e, portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco seno e denotada por f : [, ], onde f ( x) = arc sen x. Simbolicamente, para y, temos : y = arc sen x seny = x. f ( x) = senx f ( x) = arc sen x 8
18 Observação: Na definição da função arco seno poderíamos ter restringido o domínio de f ( x) = senx a qualquer dos seguintes intervalos: [/, 3/], [3/, 5/], [5/, 7/],... ou [-3/, -/], [-5/, -3/], [-7/, -5/],.... Função Arco Cosseno Seja f : [ 0, ] [, ] a função definida por f ( x) = cos x. Esta função é bijetora e, portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco cosseno e denotada por f : [, ] [ 0, ] onde f ( x) = arc cos x. Simbolicamente, para 0 y, temos : y = arc cos x cos y = x. f ( x) = cos x f ( x) = arc cos x Observação: A função y = arc cos x pode ser definida também pela equação arc cos x = arc sen x. Função Arco Tangente f :, R a função definida por f ( x) = tgx. Esta função é bijetora e, portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco tangente e denotada por f : R, onde f ( x) = arc tg x. Simbolicamente, para < y <, temos : y = arc tg x tgy = x. Seja f ( x) = tgx f ( x) = arc tg x 9
19 Função Arco Cotangente, Arco Secante e Arco Cossecante f : ( 0, ) R ; f ( x) = cot gx é bijetora. f : R ( 0, ) ; f ( x) = arc cot gx = arc tgx. f : 0,, (, ] [, + ) f : (, ] [, + ) 0,, ; f ( x) = sec x é bijetora. ; f ( x) = arc sec x = arc cos x. f :, 0 0, (, ] [, + ) ; f ( x) = cos sec x é bijetora. f : (, ] [, + ), 0 0, ; f ( x) = arc cos sec x = arc sen. x Funções Hiperbólicas Função Seno Hiperbólico f : R R definida por f ( x) = senhx = e x e x D(f) = R e Im(f) = R Função Cosseno Hiperbólico f : R R definida por f ( x) = cosh x = e x + e x D(f) = R e Im(f) = [, + ) 30
20 Observação: A figura abaixo representa um fio de telefone ou de luz. Observamos que a curva representada pelo fio aparenta a forma de uma parábola; no entanto, é possível mostrar que a equação x correspondente é y = cosh, onde a R e a 0. Esta curva recebe a denominação de catenária. a Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas As funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas, denotadas respectivamente por tgh, cotgh, sech e cossech, são definidas por: senhx e x e x tghx = = ; D( tgh ) = R e Im( tgh ) = (, ) cosh x e x + e x cot ghx = cosh x e x + e x = ; D( cot gh ) = R { 0} e Im( cot gh ) = (, ) (, + senhx e x e x sec hx = = x ; D( sec h ) = R e Im( sec h ) = ( 0, ] cosh x e + e x cos sec hx = ) = x ; D( cos sec h ) = R { 0} e Im( cos sec h ) = R { 0} senhx e e x Identidades Hiperbólicas cosh x senh x = tghx = cot ghx sec h x = tgh x cos sec h x = cot gh x 3
21 Funções Hiperbólicas Inversas Função Inversa do Seno Hiperbólico Analisando o gráfico da função f ( x) = senhx vemos que ela é bijetora; logo admite inversa. A função inversa do seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico e denotada por arg senh, é definida por: f : R R ; f ( x) = arg senhx. D( f ) = R e Im( f ) = R y = arg senhx x = senhy Função Inversa do Cosseno Hiperbólico Seja f : [ 0, + ) [, + ) a função dada por f ( x) = cosh x. Esta função é bijetora. A sua inversa, chamada argumento do cosseno hiperbólico e denotada por arg cosh, é definida por: f : [, + ) [ 0, + ) ; f ( x) = arg cosh x. D( f ) = [, + ) y = arg cosh x e Im( f ) = [ 0, + ) x = cosh y, y 0 Funções Inversas da Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas f : R (, ) ; f ( x) = tghx é bijetora. f : (, ) R ; f ( x) = arg tghx. f : R { 0} (, ) (,+ ) ; f ( x) = cot ghx é bijetora. f : (, ) (,+ ) R { 0} ; f ( x) = arg cot ghx. f : [ 0,+ ) ( 0, ] ; f ( x ) = sec hx é bijetora. f : ( 0, ] [ 0,+ ) ; f ( x) = arg sec hx. f : R { 0} R { 0} ; f ( x) = cos sec hx é bijetora. f : R { 0} R { 0} ; f ( x) = arg cos sec hx. 3
22 Expressões das Funções Hiperbólicas Inversas ( arg cosh x = ln (x + arg senhx = ln x + ) ), x x +, x R x + x ln, < x < x x + arg cot ghx = ln, x > x arg tghx = + arg sec hx = ln arg cos sec hx = ln x, 0< x x + x +, x 0 x x 33
23 .- Aplicações. Ao chegar a um aeroporto, um turista informou-se sobre a locação de automóveis e condensou as informações recebidas na tabela seguinte: Opções Locadora Locadora Locadora 3 Diária R$ 50,00 R$ 30,00 R$ 65,00 Preço por km rodado R$ 0,0 R$ 0,40 km livre a) Obtenha uma equação que defina o preço y da locação por dia, em função do número de km rodados, em cada uma das situações apresentadas na tabela. b) Represente, no mesmo plano cartesiano, os gráficos dessas equações. c) A partir de quantos quilômetros o turista deve preferir a Locadora ao invés da Locadora? d) A partir de quantos quilômetros o turista deve optar pela Locadora 3?. Um avião com 0 lugares é fretado para uma excursão. A companhia exige de cada passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 0,00 para cada lugar vago. Qual o número de passageiros que torna máxima a receita da companhia? 3. A massa de materiais radioativos, como o rádio, o urânio ou o carbono-4, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar a taxa de decaimento da massa é utilizando o conceito de meia-vida desses materiais. A meia-vida de um material radioativo é definida como o tempo necessário para que sua massa seja reduzida à metade. Denotando por M0 a massa inicial (corresponde ao instante t = 0) e por M a massa presente num instante kt qualquer t, podemos estimar M pela função exponencial dada por M = M 0e, sendo k > 0 uma constante. Essa equação é conhecida como modelo de decaimento exponencial. A constante k depende do material radioativo considerado e está relacionada com a meia-vida dele. Sabendo que a meia-vida do carbono-4 é de aproximadamente 5730 anos, determinar: a) a constante K, do modelo de decaimento exponencial, para esse material; b) a quantidade de massa presente após dois períodos de meia-vida, se no instante t = 0 a massa era M0; c) a idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presença do carbono-4 neste é 80% da quantidade original. 4. Uma indústria comercializa um certo produto e tem uma função custo total em mil reais, dada por CT ( q) = q + 0q + 475, sendo q 0 a quantidade do produto. A função receita total em mil reais é dada por R (q ) = 0q. a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades. b) Em que valor de q acontecerá lucro máximo? 5. Veja outros exemplos no livro texto, páginas 43 a Exercícios Páginas 53, 54, 55, 56, 57, 58 e 59 do livro texto. 34
Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y
Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos
Leia maisFunção. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:
Função Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. Definição formal:
Leia mais2. Função polinomial do 2 o grau
2. Função polinomial do 2 o grau Uma função f: IR IR que associa a cada IR o número y=f()=a 2 +b+c com a,b,c IR e a0 é denominada função polinomial do 2 o grau ou função quadrática. Forma fatorada: a(-r
Leia mais12. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 12.1 FUNÇÕES INJETORAS. Definição
90 1. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 1.1 FUNÇÕES INJETORAS Definição Dizemos que uma função f: A B é injetora quando para quaisquer elementos x 1 e x de A, f(x 1 ) = f(x ) implica x 1 = x. Em
Leia mais1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1.
2.1 Domínio e Imagem EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 1.1 1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1 3 (e) g (x) 2x
Leia maisConjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros
Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...
Leia maisPotenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z
Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente
Leia maisSó Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES
FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça
Leia maisResolução dos Exercícios sobre Derivadas
Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas
Leia maisMétodos Matemáticos para Engenharia de Informação
Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação Gustavo Sousa Pavani Universidade Federal do ABC (UFABC) 3º Trimestre - 2009 Aulas 1 e 2 Sobre o curso Bibliografia: James Stewart, Cálculo, volume I,
Leia maisESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O :
ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1 FUNÇÃO IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO O conceito de função é um dos mais importantes da matemática.
Leia maisFUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:
FUNÇÃO DO 1º GRAU Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro
Leia maisFUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES
FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES Í N D I C E Funções Definição... Gráficos (Resumo): Domínio e Imagem... 5 Tipos de Funções... 7 Função Linear... 8 Função Linear Afim... 9 Coeficiente Angular e Linear... Função
Leia maisUniversidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro De Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física Teórica e Experimental Programa de Educação Tutorial Curso de Nivelamento: Pré-Cálculo PET DE FÍSICA:
Leia maisLista de Exercícios 03
Lista de Exercícios 03 Aplicações das relações e funções no cotidiano Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados
Leia maisPONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos
Leia maisRepresentação no Plano Cartesiano INTRODUÇÃO A FUNÇÃO
INTRODUÇÃO A FUNÇÃO Def: Dado dois conjuntos que tenham uma relação, chama-se função quando todo elemento do primeiro tiver associado um único elemento do segundo conjunto. Ou seja, f é função de A em
Leia maisMÓDULO 29. Trigonometria I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Fórmulas do arco duplo: 1) sen (2a) = 2) cos (2a) =
Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 9 Trigonometria I Resumo das principais fórmulas da trigonometria Arcos Notáveis: Fórmulas do arco duplo: ) sen (a) = ) cos (a) = 3)
Leia maisFunções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos
Funções Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A procura de carne
Leia maisAPLICAÇÕES DA DERIVADA
Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,
Leia maisPARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma
Leia maisUma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação).
5. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 5.1. INTRODUÇÃO Devemos compreender função como uma lei que associa um valor x pertencente a um conjunto A a um único valor y pertencente a um conjunto B, ao que denotamos por
Leia maisÉ usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domínio A, simplesmente por y=f(x), x A
4. Função O objeto fundamental do cálculo são as funções. Assim, num curso de Pré-Cálculo é importante estudar as idéias básicas concernentes às funções e seus gráficos, bem como as formas de combiná-los
Leia maisCálculo I -A- Humberto José Bortolossi. Parte 1 Versão 0.9. [Folha 1] Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
[Folha 1] Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 1 Versão 0.9 Parte 1 Cálculo I -A- 1 Conteúdo do curso [Folha 2] Apresentação
Leia maisDepartamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.
Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.
Leia maisNotas de aulas. André Arbex Hallack
Cálculo I Notas de aulas André Arbex Hallack Julho/007 Índice 0 Preliminares 0. Números reais.................................... 0. Relação de ordem em IR.............................. 3 0.3 Valor absoluto....................................
Leia maisLógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO
5 FUNÇÃO 5.1 Introdução O conceito de função fundamenta o tratamento científico de problemas porque descreve e formaliza a relação estabelecida entre as grandezas que o integram. O rigor da linguagem e
Leia maisFUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL
Hewlett-Packard FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Ano: 2015 Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO... 2 PRODUTO CARTESIANO... 2 Número de elementos
Leia mais2.1A Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1
2.1 Domínio e Imagem 2.1A Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = (d) f (x) = 1 3 x + 5 1 3 (e) g (x) 2x (f) g (x) = jj 8 8 < x, se x 2
Leia maisA x B = {(2;1), (2;3), (2;5), (4;1), (4;3), (4; 5)}
PROFESSOR: EUDES A x B = {(2;1), (2;3), (2;5), (4;1), (4;3), (4; 5)} b) A relação binária h = {(x;y) y < x} A 2 1 3 4 5 B y x h: {(2;1), (4;1), (4,3)} c) A relação binária g = {(x;y) y= x + 3} A 2 1 3
Leia mais9. Derivadas de ordem superior
9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de
Leia maisFunção Quadrática Função do 2º Grau
Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Função Quadrática 1º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Professor: Hermes Jardim Disciplina: Matemática Lista 5 º Bimestre/13 Aluno(a): Número: Turma: Função Quadrática
Leia maisFunções algébricas do 1º grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior
Maurício Bezerra Bandeira Junior Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados
Leia maisGráfico: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Exemplos: 1) f(x) = x 2 + x -3-2 -1-1/2 1 3/2 2. 2) y = -x 2 + 1 -3-2 -1
Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 1º semestre 2015 Profa Olga Função Quadrática Uma função f : R R chama-se função quadrática quando existem números reais a, b e c, com a 0, tais que f(x) = ax 2 + bx
Leia maisFUNÇÃO COMO CONJUNTO R 1. (*)= ou, seja, * possui duas imagens. b) não é uma função de A em B, pois não satisfaz a segunda condição da
FUNÇÃO COMO CONJUNTO Definição 4.4 Seja f uma relação de A em B, dizemos que f é uma função de A em B se as duas condições a seguir forem satisfeitas: i) D(f) = A, ou seja, o domínio de f é o conjunto
Leia maisInterbits SuperPro Web
. (Pucrj 015) Sejam as funções f(x) = x 6x e g(x) = x 1. O produto dos valores inteiros de x que satisfazem a desigualdade f(x) < g(x) é: a) 8 b) 1 c) 60 d) 7 e) 10 4. (Acafe 014) O vazamento ocorrido
Leia maisResolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul
Resolução da Prova da Escola Naval 29. Matemática Prova Azul GABARITO D A 2 E 2 E B C 4 D 4 C 5 D 5 A 6 E 6 C 7 B 7 B 8 D 8 E 9 A 9 A C 2 B. Os 6 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova
Leia maisPROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 2010 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 010 1 a Fase Profa Maria Antônia Gouveia QUESTÃO 01 Sobre números reais, é correto afirmar: (01) Se m é um número inteiro divisível por e n é um número inteiro divisível
Leia maisSe ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o restante à taxa de 25% ao mês (30 dias), então. tem-se
"Gigante pela própria natureza, És belo, és forte, impávido colosso, E o teu futuro espelha essa grandeza Terra adorada." 01. Um consumidor necessita comprar um determinado produto. Na loja, o vendedor
Leia maisTIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 3. alternativa D. alternativa A. alternativa D. alternativa C
Questão TIPO DE PROVA: A Se a circunferência de um círculo tiver o seu comprimento aumentado de 00%, a área do círculo ficará aumentada de: a) 00% d) 00% b) 400% e) 00% c) 50% Aumentando o comprimento
Leia maisPROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE. VESTIBULAR 2013 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE VESTIBULAR 0 a Fase Profa. Maria Antônia Gouveia. 0. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da
Leia maisCPV O cursinho que mais aprova na GV
O cursinho que mais aprova na GV FGV ADM Objetiva 06/junho/010 MATemática 01. O monitor de um notebook tem formato retangular com a diagonal medindo d. Um lado do retângulo mede 3 do outro. 4 A área do
Leia maisMATEMÁTICA I AULA 07: TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO TÓPICO 02: CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO Este tópico tem o objetivo de mostrar como a derivada pode ser usada
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU
FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA
Leia maisQUESTÕES de 01 a 08 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas.
Resolução por Maria Antônia Conceição Gouveia da Prova de Matemática _ Vestibular 5 da Ufba _ 1ª fase QUESTÕES de 1 a 8 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados
Leia maisCapítulo 5: Aplicações da Derivada
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f
Leia maisExercícios de Matemática Funções Função Composta
Exercícios de Matemática Funções Função Composta TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Ufba) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a soma dos itens corretos. 1. Considerando-se as funções f(x) = x
Leia maisQuestão 01. Questão 02
PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3 O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - MARÇO DE 011. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Questão 01 Sabendo
Leia mais94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%)
Distribuição das 1.048 Questões do I T A 94 (8,97%) 104 (9,92%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais 23 (2, 101 (9,64%) Geo. Espacial Geo. Analítica Funções Conjuntos 31 (2,96%)
Leia maisa = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36
MATEMÁTICA Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade
Leia maisSociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. n=1
Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional MA Números e Funções Reais Avaliação - GABARITO 3 de abril de 203. Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras
Leia mais(c) 30% (d) 25% aprovados. é a quantidade de: Em uma indústria é fabricado um produto ao custo de
QUESTÃO - EFOMM 0 QUESTÃO - EFOMM 0 Se tgx sec x, o valor de senx cos x vale: ( 7 ( ( ( ( O lucro obtido pela venda de cada peça de roupa é de, sendo o preço da venda e 0 o preço do custo quantidade vendida
Leia maisFUNÇÃO. Exemplo: Dado os conjuntos A = { -2, -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} São funções de A em B as relações a) R 1 = {(x,y) AXB/ y = x + 2}
Sistemas de Informação e Tecnologia em Proc. de Dados Matemática Ms. Carlos Roberto da Silva/ Ms. Lourival Pereira Martins FUNÇÃO Definição: Dados dois conjuntos e define-se como função de em a toda relação
Leia maisPROFº. LUIS HENRIQUE MATEMÁTICA
Geometria Analítica A Geometria Analítica, famosa G.A., ou conhecida como Geometria Cartesiana, é o estudo dos elementos geométricos no plano cartesiano. PLANO CARTESIANO O sistema cartesiano de coordenada,
Leia maisVestibular 2ª Fase Resolução das Questões Discursivas
COMISSÃO PERMANENTE DE SELEÇÃO COPESE PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO PROGRAD CONCURSO VESTIBULAR 010 Prova de Matemática Vestibular ª Fase Resolução das Questões Discursivas São apresentadas abaixo possíveis
Leia maisEscola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Fundamentos e tópicos de revisão
Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Fundamentos e tópicos de revisão Professora Renata Alcarde Sermarini Notas de aula do professor
Leia maisNotas para um curso de Cálculo 1 Duilio T. da Conceição
Notas para um curso de Cálculo 1 Duilio T. da Conceição 1 2 Sumário 1 WOLFRAM ALPHA 5 1.1 Digitando Fórmulas e Expressões Matemáticas......... 6 1.1.1 Expoentes......................... 6 1.1.2 Multiplicação.......................
Leia maisC Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9
RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere um triângulo ABC, retângulo em  ( = 90 ), onde a é a medida da hipotenusa, b e c, são as medidas dos catetos e a, β são os ângulos
Leia mais2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea
2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais
Leia maisUNIDADE 3 FUNÇÕES OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAGEM
Unidade 2 Matrizes e Sistemas de Equações Apresentação Lineares UNIDADE 3 FUNÇÕES OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAGEM Ao finalizar esta Unidade você deverá ser capaz de: Descrever e comentar possibilidades
Leia maisPor que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...
Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª
Leia maisTópico 11. Aula Teórica/Prática: O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de Funções
Tópico 11. Aula Teórica/Prática: O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de Funções 1. INTRODUÇÃO Ao se obter uma sucessão de pontos experimentais que representados em um gráfico apresentam comportamento
Leia maisITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR
ITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 Considere os conjuntos S = {0,2,4,6}, T = {1,3,5} e U = {0,1} e as afirmações: I. {0} S e S U. II. {2} S\U e S T U={0,1}.
Leia mais2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é:
Aluno(a) Nº. Ano: º do Ensino Médio Exercícios para a Recuperação de MATEMÁTICA - Professores: Escossi e Luciano NÚMEROS COMPLEXOS 1) Calculando-se corretamente as raízes da função f(x) = x + 4x + 5, encontram-se
Leia maisUniversidade Estadual de Santa Cruz. Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas. Especialização em Matemática. Disciplina: Estruturas Algébricas
1 Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Especialização em Matemática Disciplina: Estruturas Algébricas Profs.: Elisangela S. Farias e Sérgio Motta Operações
Leia maisProposta para Abordagem da Trigonometria da Primeira Volta Utilizando o Software Sintesoft Trigonometria 2.0
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Exatas, Curso de Licenciatura em Ciências Exatas, com habilitação integrada em Física, Química e Matemática Atividades desenvolvidas na pesquisa Inserção
Leia maisFunções e Aplicações. Ministrado por Bruno Tenório da S Lopes Coordenado por Profa Dra Edna Maura Zuffi
Funções e Aplicações Ministrado por Bruno Tenório da S Lopes Coordenado por Profa Dra Edna Maura Zuffi Maio de 2011 Índice 1 - Conjuntos Numéricos... 4 Intervalos... 5 Intervalos finitos... 5 Intervalos
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO).
LISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO. PROFESSOR: RICARDO SÁ EARP OBS: Faça os exercícios sobre
Leia mais2. Estude o sinal da função f cujo gráfico é a reta de inclinação 3 e que passa pelo ponto ( 5, 2).
MAT1157 Cálculo a uma Variável A - 2014.1 Lista de Exercícios 7 PUC-Rio Função afim: 1. (a) Qual é a inclinação de uma reta horizontal (paralela ao eixo-x)? (b) Qual é a expressão da função cujo gráfico
Leia maisPARTE 3. 3.1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais
PARTE 3 FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 3. Funções Reais de Várias Variáveis Reais Vamos agora tratar do segundo caso particular de funções vetoriais de várias variáveis reais, F : Dom(F) R n R
Leia maisCurso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 2. Universidade Portucalense
Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 2 Universidade Portucalense Funções reais de variável real Deinição e generalidades Uma unção é uma correspondência que a qualquer elemento de um conjunto D az corresponder
Leia maisAplicações de Derivadas
Aplicações de Derivadas f seja contínua no [a,b] e que f '(x) exista no intervalo aberto a x b. Então, existe pelo menos um valor c entre a eb, tal que f '(c) f (b) f (a) b a. pelo menos um ponto c (a,
Leia maisPROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-2011 DA MACKENZIE RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. 13 / 12 / 2010
PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-0 DA MACKENZIE Profa. Maria Antônia Gouveia. / / 00 QUESTÃO N o 9 Dadas as funções reais definidas por f(x) x x e g(x) x x, considere I, II, III e IV abaixo. I) Ambas
Leia maisn! (n r)!r! P(A B) P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) P(A/B) = 1 q, 0 < q < 1
FORMULÁRIO DE MATEMÁTICA Análise Combinatória P n = n! = 1 n A n,r = Probabilidade P(A) = n! (n r)! número de resultados favoráveis a A número de resultados possíveis Progressões aritméticas a n = a 1
Leia maisFUNÇÃO DE 1º GRAU. = mx + n, sendo m e n números reais. Questão 01 Dadas as funções f de IR em IR, identifique com um X, aquelas que são do 1º grau.
FUNÇÃO DE 1º GRAU Veremos, a partir daqui algumas funções elementares, a primeira delas é a função de 1º grau, que estabelece uma relação de proporcionalidade. Podemos então, definir a função de 1º grau
Leia maisCÁLCULO I. Reconhecer, através do gráco, a função que ele representa; (f + g)(x) = f(x) + g(x). (fg)(x) = f(x) g(x). f g
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 03: Operações com funções. Funções Polinominais, Racionais e Trigonométricas Objetivos da Aula Denir operações com funções; Apresentar algumas
Leia maisCapítulo 5 - Funções Reais de Variável Real
Capítulo 5 - Funções Reais de Variável Real Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/
Leia maisMovimentos Periódicos: representação vetorial
Aula 5 00 Movimentos Periódicos: representação vetorial A experiência mostra que uma das maneiras mais úteis de descrever o movimento harmônico simples é representando-o como uma projeção perpendicular
Leia maisMATEMÁTICA TIPO C. 01. A função tem como domínio e contradomínio o conjunto dos números reais e é definida por ( ). Analise a
1 MATEMÁTICA TIPO C 01. A função tem como domínio e contradomínio o conjunto dos números reais e é definida por ( ). Analise a veracidade das afirmações seguintes sobre, cujo gráfico está esboçado a seguir.
Leia maisMatemática. Subtraindo a primeira equação da terceira obtemos x = 1. Substituindo x = 1 na primeira e na segunda equação obtém-se o sistema
Matemática 01. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6 cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da face contendo C e D, e F é o pé da perpendicular a BD traçada a
Leia maisMatemática. Resolução das atividades complementares. M1 Trigonometria no ciclo. 1 Expresse: p 4 rad. rad em graus. 4 rad 12 p b) 330 em radianos.
Resolução das atividades comlementares Matemática M Trigonometria no ciclo. 7 Eresse: a) em radianos c) em radianos e) rad em graus rad rad b) 0 em radianos d) rad em graus f) rad 0 rad em graus a) 80
Leia maisCÁLCULO I. Figura 1: Círculo unitário x2 + y 2 = 1
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula no 04: Funções Trigonométricas, Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas. Objetivos
Leia maisA noção de função é imprescindível no decorrer do estudo de Cálculo e para se estabelecer essa noção tornam-se necessários:
1 1.1 Função Real de Variável Real A noção de função é imprescindível no decorrer do estudo de Cálculo e para se estabelecer essa noção tornam-se necessários: 1. Um conjunto não vazio para ser o domínio;
Leia maisCÁLCULO I. Figura 1: Círculo unitário x2 + y 2 = 1
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula no 05: Funções Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas. Objetivos da Aula De nir as funções trigonométricas, trigonométricas
Leia maisEXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO
COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE MATEMÁTICA I PROF MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO 1 wwwprofessorwaltertadeumatbr 1) Seja f uma função de N em N definida por f(n) 10 n Escreva
Leia maisPROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 2011 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR a Fase Profa. Maria Antônia Gouveia. Questão. Considerando-se as funções f: R R e g: R R definidas por f(x) = x e g(x) = log(x² + ), é correto afirmar: () A função
Leia mais4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos
Capítulo 4 Funções de duas variáveis 4.1 Funções de varias variáveis - Definição e eemplos Definição 1: Chamamos de função real com n variáveis a uma função do tipo f : D R com D R n = R R. Ou seja, uma
Leia mais( ) = = MATEMÁTICA. Prova: 28/07/13. Questão 17. Questão 18
Prova: 8/07/13 MATEMÁTICA Questão 17 A equação x 3 4 x + 5x + 3 = 0 possui as raízes m, p e q. O valor da expressão m + p + q é pq mq mp (A). (B) 3. (C). (D) 3. Gabarito: Letra A. A expressão é igual a:
Leia maisa 1 x 1 +... + a n x n = b,
Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição
Leia mais. Determine os valores de P(1) e P(22).
Resolução das atividades complementares Matemática M Polinômios p. 68 Considere o polinômio P(x) x x. Determine os valores de P() e P(). x x P() 0; P() P(x) (x x)? x (x ) x x x P()? 0 P() ()? () () 8 Seja
Leia maisCURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1. Função do 1 Grau. Isabelle Araujo 5º período de Engenharia de Produção
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1 Função do 1 Grau Isabelle Araujo 5º período de Engenharia de Produção Funções Na linguagem do dia a dia é comum ouvirmos frases como: Uma coisa depende
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática 3 a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 241
Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 41 1. Calcule, se existirem, as derivadas parciais f f (0, 0) e (0, 0) sendo: x + 4 (a) f(x, ) = x,
Leia maisGAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar
GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,
Leia maisGeometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA
Geometria Analítica NEAD - Núcleo de Educação a Distância Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Katia Frensel - Jorge Delgado Março, 011 ii Geometria Analítica Conteúdo Prefácio ix 1 Coordenadas na
Leia maisMATEMÁTICA. 01. Considere a função f, com domínio e contradomínio o conjunto dos números
MATEMÁTICA 01. Considere a função f, com domínio e contradomínio o conjunto dos números reais, dada por f(x) = 3 cos x sen x, que tem parte de seu gráfico esboçado a seguir. Analise a veracidade das afirmações
Leia maisFEPI FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ UNIVERSITAS CENTRO UNIVERSITÁRIO DEITAJUBÁ CÁLCULO 1. Prof. William Mascia Resende. Engenharia Elétrica
FEPI FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ UNIVERSITAS CENTRO UNIVERSITÁRIO DEITAJUBÁ CÁLCULO 1 Prof. William Mascia Resende Engenharia Elétrica ITAJUBÁ 2013 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ Curso: Engenharia
Leia maisIntegrais Duplas e Coordenadas Polares. 3.1 Coordenadas Polares: Revisão
Cálculo III Departamento de Matemática - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha Integrais Duplas e Coordenadas Polares Nas primeiras aulas discutimos integrais duplas em algumas regiões bem adaptadas às coordenadas
Leia maisNotas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental
Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental 1 Funções Definição: Sejam A e B, dois conjuntos, A /0, B /0. Uma função definida em A com valores em B é uma lei que associa
Leia maisMatemática. Professor Adriano Diniz 26/02/2013. Aluno (a): EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Matemática Professor Adriano Diniz 0 Aluno (a): 6/0/01 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. (MACKENZIE) Se, na figura abaixo, temos o esboço do gráfico da função y = f(x), o gráfico que melhor representa y = f(x 1)
Leia mais