CÁLCULO I. Figura 1: Círculo unitário x2 + y 2 = 1

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1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula no 04: Funções Trigonométricas, Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas. Objetivos da Aula De nir as funções trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmica, exponencial e hiperbólicas; Enunciar suas principais propriedades dessas funções e reconhecer os seus respectivos grá cos. Funções Trigonométricas Dado um número real θ, considere o ângulo orientado, em sentido anti-horário a partir do semi-eixo positivo dos x, cuja medida em radianos é θ e P (x, y) a interseção do lado terminal deste ângulo com o círculo unitário x + y =. Figura : Círculo unitário x + y = De niremos, a seguir, as funções trigonométricas. De nição (Função Seno). A função seno é uma função f de R em R que associa a cada x R o número real y = sen x, isto é, f: R R x 7 f (x) = sen x. O domínio de f (x) = sen x é R e o conjunto imagem é o intervalo [, ]. Da forma como foi de nida, é possível notar que existe um padrão de repetição nos valores que a função assume, a cada certo intervalo. O comprimento deste menor intervalo de repetição é denominado de período da função f e é igual a π. O grá co de f (x) = sen x, denominado de senóide, pode ser visualizado a seguir. Figura : Grá co de f (x) = sen x.

2 Cálculo I Aula n o 04 De nição (Função Cosseno). A função cosseno é uma função f de R em R que associa cada x R ao número real y = cos x, isto é, f: R R x 7 f (x) = cos x. De forma semelhante à função seno, o domínio da função cosseno é R e o conjunto imagem é o intervalo [, ]. Como esta função também foi de nida a partir do círculo unitário, é possível notar que existe um padrão de repetição. Desse modo, essa função é periódica e de período igual a π. O grá co de f (x) = cos x, denominado de cossenóide, pode ser visualizado a seguir. Figura 3: Grá co de f (x) = cos x. As funções tangente, cotangente, secante e cossecante, apresentadas a seguir, serão de nidas em termos de seno e cosseno. De nição 3 (Função Tangente). Para todo número real x, tal que cos x 6= 0, de nimos a função tangente (denotada por tg x) pela regra: f (x) = tg x = sen x. cos x O domínio da função tangente é o conjunto de todos os números reais x, para os quais cos x 6= 0. Portanto, para todo x na forma π + kπ, com k Z, a função tangente não é de nida. Pode-se veri car que a função tangente é periódica, mas de período igual a π. Seu grá co pode ser visto na gura abaixo: Figura 4: Grá co de f (x) = tg x. As funções secante, cossecante e cotangente são de nidas, respectivamente, da seguinte forma: sec x =, cos x cossec x =, sen x cotg x = cos x sen x Funções Trigonométricas Inversas De nição 4. A função inversa do cosseno é a função chamada cos, de nida por: arco-cosseno, denotada por arccos ou y = arccos(x) x = cos(y) Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho

3 Cálculo I Aula n o 04 e 0 y π. Figura 5: Grá co da função y = arccos x De nição 5. A função inversa do seno é a função chamada de nida por: arco-seno, denotada por arcsen ou sen, y = arcsen(x) x = sen(y) e π π y. Figura 6: Grá co da função y = arcsen x De nição 6. A função inversa do tangente é a função chamada tg, de nida por: arco-tangente, denotada por arctg ou y = arctg(x) x = tg(y) e π π <y<. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 3

4 Figura 7: Gráco da função y = arctg x Funções Exponenciais e Logarítmicas A Função Exponencial Consideremos um número real a > 0 e a. Denimos a função exponencial como sendo a função f : R R dada por f(x) = a x. O conjunto imagem da função exponencial é R + e seu gráco é dado por: Figura 8: Função exponencial com base a >. Figura 9: Função exponencial com base 0 < a <. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 4

5 As principais propriedades da função exponencial, conhecidas como propriedades da potência, serão muito úteis em nosso estudo. São elas: (P) a x+y = a x a y ; (P) a x y = ax a y ; (P3) a x y = (a x ) y ; (P4) a x = a x ; (P5) a m n = n a m (P6) Se x < y então a x < a y, para a > e a x > a y, para 0 < a < Observando as propriedades, podemos destacar que a propriedade (P) nos leva a entender que a função exponencial "transforma somas em produtos", de fato: f(x + y) = a x+y = a x a y = f(x) f(y), e a propriedade (P6) nos garante que a função exponencial é crescente para a > e decrescente para 0 < a <, fato esse que pode ser observado nos grácos. Observação. Tomando, por exemplo, a função exponencial f(x) = x, o que é o número x?. Se x for um número natural, o número x é o resultado da multiplicação da base por ela mesma x vezes, por exemplo: f(3) = 3 = = 8. Se x for um número inteiro positivo, procedemos como anteriormente e se for negativo, utilizaremos a propriedade (P4) para determinar x, como por exemplo: f( ) = = = 4 Agora, se x for um número racional, para obtermos x, tomamos a sua forma fracionária e utilizamos a propriedade (P5), por exemplo: ( ) f = 3 3 = 3 = 3 4 Mas e se x for um número irracional, por exemplo, x =, que número seria f( ) =? Para isso, devemos lembrar que =, , dessa forma, utilizando a propriedade (P6), temos a seguinte aproximação, 4 < <, 5,4 < <,5, < <, 8847, 4 < <, 4,4 < <,4, < <, , 44 < <, 45,44 < <,45, < <, Logo, pode ser descrito como sendo o número maior que todos os,4,,4,,44,... e menor que todos os números,5,,4,,45,... Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 5

6 Um Caso particular Queremos determinar a solução do seguinte problema: Qual é o valor de a para que a função exponencial f(x) = a x possua reta tangente com inclinação igual a no ponto (0, )? Em outras palavras, qual a função exponencial cuja equação da reta tangente em (0,) é y = x+. Esse problema possui solução e a base dessa função exponencial é um número irracional, denotado por e, Seu aparecimento de forma explícita se deu quando da resolução de um problema de juros compostos com capitalização contínua, resolvido pelo matemático suíço Jakob Bernoulli e será estudado na seção de limites. Mas esse número tem grande importância no estudos de vários fenômenos naturais como o crescimento populacional, decaimentos radioativos, dentre outros. Figura 0: Função f(x) = e x. A Função Logarítmica Note que pela propriedade (P6), a função exponencial é sempre crescente ou sempre decrescente, dependendo do valor da base a. Logo, ela é injetora, pois para cada x < y, ou seja, x y, temos, para qualquer valor de a, que a x a y. E se restringirmos o contradomínio ao conjunto R +, obtemos a função f : R R + denida por f(x) = ax, que é bijetora. Desse modo, f possui inversa que é a denominada função logarítmica, denida da seguinte forma: f : R + R x y = log a x onde y = log a x x = a y Como se trata de uma função inversa, a função logarítmica possui propriedades que "desfazem" o que a função exponencial faz, por exemplo, ao passo que a função exponencial "transforma uma soma em produto", a função logarítmica transforma um produto em soma (o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos). Veja a tabela a seguir: Função Exponencial a x+y = a x a y a x y = ax a y a x y = (a x ) y Função Logarítmica log a (x ( y) ) = log a x + log a y x log a = log y a x log a y log a (x y ) = y log a x O gráco da função logarítmica pode ser obtido pela propriedade gráca da função inversa. Dessa forma, Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 6

7 Figura : Função logarítmica com base a >. Figura : Função logarítmica com base 0 < a <. Observação. Quando a base do logaritmo é o número e, costuma-se denotar por ln x. Então, f(x) = ln x = log e x. Observação 3. Uma forma de denir a função logarítmica de x na base e é através do cálculo de uma área da região localizada abaixo da função g(t) = t abaixo: entre as retas t = e t = x, como mostrado na gura Figura 3: f(x) = ln x. Contudo, essa abordagem será discutida mais a frente no nosso curso. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 7

8 3 Funções Hiperbólicas Nesta seção, apresentaremos funções que são obtidas a partir da combinação das funções e x e e x. Elas são análogas, de muitas maneiras, às funções trigonométricas e relacionam-se com a hipérbole da mesma forma que as trigonométricas relacionam-se com o círculo. Por essa razão, são chamadas de funções hiperbólicas. Função Seno Hiperbólico é a função f : R R dada por f(x) = senh (x) = ex e x. O seu gráco é Figura 4: Gráco da Função f(x) = senh x Função Cosseno Hiperbólico é a função g : R R +, dada por g(x) = cosh(x) = ex + e x, e seu gráco é: Figura 5: Gráco da Função f(x) = cosh x Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 8

9 A partir dessas duas funções podemos denir as outras que seguem abaixo: Função Tangente Hiperbólica é a função f : R (, ) dada por f(x) = tgh (x) = senh x cosh x = e x e x e x, o seu gráco é o seguinte: + e x Figura 6: Gráco da Função f(x) = tgh x Função Secante Hiperbólica é a função g(x) = cosh(x) e cujo gráco é: Figura 7: Gráco da Função f(x) = sech x Função Cossecante Hiperbólica é a função f(x) = senh(x) e cujo gráco é: Figura 8: Gráco da Função f(x) = cossech x Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 9

10 Função Cotangente Hiperbólica é a função g(x) = tgh(x) = cosh(x) senh x e cujo gráco é: Figura 9: Gráco da Função f(x) = cotgh x Vejamos alguns exemplos de cálculos simples: Exemplo. Calcule o valor de (a) senh 0 (b) cosh 0 (c) tgh (d) senh (ln ) (e) sech 0 (f) cotgh (ln 3) (g) cossech (ln ) Solução: (a) senh 0 = e0 e 0 (b) cosh 0 = e0 + e 0 = 0 = 0 = = (c) tgh = senh cosh = e e e e e = + e e + e = e e + ( ) (d) senh (ln ) = eln e ln 3 = = = 3 4 (e) sech 0 = cosh 0 = = Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 0

11 (f) cotgh (ln 3) = (g) cossech (ln ) = cosh ln 3 senh ln 3 = e ln 3 + e ln 3 e ln 3 e ln 3 senh x = e ln e ln = = eln 3 + e ln e ln 3 e ln 3 = A utilização das funções hiperbólicas na ciência e na engenharia ocorre sempre que uma entidade como a luz, a velocidade, a eletricidade ou a radioatividade é gradualmente absorvida ou extinta, sendo esse decaimento representado por esse tipo de função. Uma outra aplicação é o uso do cosseno hiperbólico para descrever a forma de um o dependurado entre duas hastes, como por exemplo o o elétrico entre dois postes. Em geral, esse o assume a forma de uma catenária, que é uma curva cuja equação é y = c + a cosh ( x a). Também podemos utilizar as funções hiperbólicas na descrição das ondas do mar. A velocidade de uma onda aquática com comprimento L se movimentando por uma massa de água com profundidade d é modelada pela função: = 3 ( ) gl πd v = π tgh L onde g é a aceleração da gravidade. A seguir, exibiremos algumas identidades envolvendo as funções hiperbólicas: Proposição. Sejam x, R. Então: (i) senh ( x) = senh x (ii) cosh( x) = cosh x (iii) cosh x senh x = (iv) tgh x = sech x (v) senh(x + y) = senh x cosh y + senh y cosh x (vi) cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y Demonstração: Provaremos os itens (iii) e (iv) e os outros cam como exercício. = 4 3 = = 5 4 (iii) Note que ( e cosh x senh x + e x ) ( e x e x ) x = ( e x + e x e x + e x ) ( e x e x e x + e x ) = 4 4 = e x + + e x e x + e x 4 = 4 4 = (iv) Observe que tgh x = senh x cosh x = cosh x senh x cosh x = cosh x = sech x Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho

12 Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções.,.5 e.6 e no Apêndice G do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das seções.,.5 e.6 os do Apêndice G do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho