Matemática. Resolução das atividades complementares. M1 Trigonometria no ciclo. 1 Expresse: p 4 rad. rad em graus. 4 rad 12 p b) 330 em radianos.

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1 Resolução das atividades comlementares Matemática M Trigonometria no ciclo. 7 Eresse: a) em radianos c) em radianos e) rad em graus rad rad b) 0 em radianos d) rad em graus f) rad 0 rad em graus a) 80 rad 80? 80 rad 7 0 b) 80 rad ? 0 80 rad c) 80 rad 80? 80 rad d) 80 rad rad 80 80? 0 e) 80 rad rad 80 80? f) 80 rad rad 80 80? 7, 7 0

2 (Mackenzie-SP) O onteiro dos minutos de um relógio mede cm. Suondo, a distância, em centímetros, que a etremidade desse onteiro ercorre em minutos é: a) c) 0 e) 0 b) d) Em 0 minutos o onteiro dá uma volta, que é o comrimento da circunferência C r, em que e r. 0 r r???? cm Um arco de circunferência mede 0 e seu comrimento é km. Qual a medida do raio em metros? Use,. aroimadamente m a rad, r, km 000 m 80 rad 0 0? 7 80 rad r? 000 r 7,9 A medida do raio é, aroimadamente, metros. Determine o comrimento de um arco de ângulo central 8, cujo raio da circunferência é cm. Use,. aroimadamente 7, cm a rad, r r cm 80 rad 8 8? 7 80 rad 7,? 7, 7, O comrimento do arco é, aroimadamente, 7, cm.

3 Ao meio-dia, o onteiro dos minutos de um relógio coincide com o onteiro das horas. A que horas acontece a róima coincidência? h min 7s Em 00, o onteiro das horas ercorre 0, e o dos minutos, 0. onteiro das horas: 00 0 a a 0 (I) onteiro dos minutos: a 00? ( 0 a) 0 0? ( 0 a) (II) Substituindo (I) em (II), temos: 0? 00 0 ( ) h 7 Portanto, a róima coincidência acontecerá às h min 7s. Um circuito de kart tem uma ista circular de raio 00 m. Um iloto, ara testar a ista e o kart, desenvolve uma velocidade constante de 80 km/h. Determine o número de voltas que ele deu na ista, aós minutos., voltas C r?,? 00 C 0 m Como a velocidade é 80 km/h, em minutos ele andou 80 0 km 0000 m número de voltas, 0 Aós minutos, o iloto deu, voltas na ista. 7 Ana retende colocar renda em todo o erímetro de uma toalha circular de raio m. Quantos metros de renda ela deve comrar?,0 m C r?,? C,8 m Ela deve comrar,0 metros de renda.

4 8 Considerando o raio da Terra igual a 70 km, qual a medida do comrimento da linha do equador? aroimadamente 000, km C r?,? 70 C 000, km A linha do equador tem, aroimadamente, 000, km. 9 (Unes-SP) Em um jogo eletrônico, o monstro tem a forma de um setor circular de raio cm, como mostra a figura. A arte que falta no círculo é a boca do monstro, e o ângulo de abertura mede rad. O erímetro do monstro, em centímetros, é: a) c) e) b) d) A cm O rad rad ( cm) B O comrimento do arco menor AB é cm. O erímetro do monstro é r.

5 0 Calcule o menor ângulo formado elos onteiros de um relógio que está assinalando: a) h 0 b) h min 0 c) h 0min a) h Em 0 o onteiro dos minutos ercorre 0, e o onteiro das horas, 0. Então, às horas, o menor ângulo formado é? 0 0. b) h min Em 0 o onteiro das horas ercorre 0 ; em, ercorrerá: 0 0 a? 0 a a a c) h 0min Em 0 o onteiro das horas ercorre 0 ; em 0, ercorrerá: a a 0? 0 0 a 0 a 0

6 Na figura abaio, os arcos AMB, ADC e CEB têm, resectivamente, raios 0 cm, 0 cm e 0 cm. Determine os comrimentos desses arcos. O que odemos concluir? AMB 9, cm; ADC, cm e CEB,8 cm arco AMB r?,? 0 9, cm arco ADC r,?? 0, cm arco CEB r?,? 0,8 cm Podemos concluir que AMB ADC CEB. Um grado ( gr) é um ângulo central que determina na circunferência um arco de comrimento igual a da circunferência. Quantos radianos tem um ângulo de 0 gr? 00 rad rad 00 gr 0 gr 0? 00 rad Um ciclista leva minutos ara dar uma volta numa ista circular de raio 0 m. Qual o comrimento da ista e qual a velocidade do ciclista em metros or minuto? 9 m e v 0 m/min C r?,? 0 C 9 m v s? 0 v 0 m/min t

7 . 0 Determine as medidas de, em graus, associadas ao arco e a, nas quatro rimeiras voltas ositivas., 0, 7, Determine as medidas de, em radianos, associadas ao arco de 8 negativas. 8, 7 8, nas três rimeiras voltas Construa um ciclo trigonométrico e marque os ontos corresondentes a: 0; ; ; ; ; ;. a) Qual é o simétrico de em relação à origem? b) Qual é o simétrico de em relação ao eio das ordenadas? π C B π π D A 0 m π π E F π a) O simétrico de em relação à origem é. b) O simétrico de em relação ao eio das ordenadas é.

8 7 Seja o arco de eressão geral: a k, k B. a) Qual o valor da eressão ara k 0? a b) Qual o valor da eressão ara k 7? a 7 a k, k Z a) k 0 a b) k 7 a? 7? 7 8 a) Escreva em graus a eressão geral dos arcos de 0. b) Qual é a imagem do arco se k? a 700 a) a 0 0 k, k B b) a 0 0? () 700 a 0 0 k, k B 9 Em que quadrante se encontra a etremidade dos arcos de: a) 90 o quadrante b) 90 o quadrante c) 8 o quadrante a) 90 ()? 0 0 a rimeira determinação é igual a 0, que se encontra no o quadrante. b) 90 ()? 0 0 a rimeira determinação é igual a 0, que se encontra no o quadrante. c) 8 (0)? a rimeira determinação é, que se encontra no o quadrante. 8 8

9 0 Descubra a rimeira determinação ositiva e escreva a eressão geral dos arcos congruentes ao arco de 0. a 0 e a 0 0 k, k B ()? 0 0 A rimeira determinação é 0. a 0 0 k, k B Determine o raio do círculo ercorrido or um onto, sabendo que em uma volta e meia ercorreu uma distância de 9,0 km. km uma volta e meia r r r r r 000 m km?, Determine a medida dos arcos AB e AC, em radianos, sabendo que estão orientados no sentido horário. med (AB) e med (AC) rad rad Observando o sentido horário dos arcos, temos: med (AB) med (AC)

10 . Nas figuras a seguir, determine em graus os arcos AB, AC, AD e AE. a) med (AB) 8 med (AC) med (AD ) 8 med (AE) b) med (AB) med (AC) 8 med (AD) 0 med (AE) 8 a) med (AB) 8 med (AC) 80 8 med (AD ) med (AE) 0 8 b) med (AB) 0 80 med (AC ) 80 8 med (AD ) 80 0 med (AE) 0 8 0

11 Os olígonos a seguir são quadrados. Determine em radianos os arcos corresondentes aos vértices. a) med (AB) med (AC) med (AD) b) med (AB) med (AC) med (AD) med ( AE) 7 a) AB é um arco de 90, equivalente a rad; então: med (AB) med (AC) med (AD) b) BD e CE são diagonais do quadrado; ortanto, o arco AB mede e os arcos BC, CD e DE são arcos de 90 ou rad. Assim: med (AB) med (AC) med (AD) med (AE)? 7

12 . Associe os valores da segunda coluna aos valores dos senos da rimeira coluna: a) sen a:, b:, c:, d:, e:, f: b) cos. c) cos d) sen 7.. e) sen. f) cos. Observando o ciclo trigonométrico abaio com os ângulos e seus resectivos senos e cossenos, temos: a) sen 70 () c) cos () e) sen 0 ( ) b) cos () d) sen 7 () f) cos cos ()

13 Determine os valores de: a) sen 9 d) sen 0 g) cos 0 b) sen 7 e) cos h) cos 000 c) sen 0 f) cos 0 a) 9 sen 9 sen b) 7 0 sen 7 sen c) sen sen 0 d) sen 0 e) cos f) 0 ()? 0 cos 0 cos g) cos 0 h) 000 (00)? cos 000 cos ( ) ( ) 7 Determine o valor da eressão: A cos 0 sen sen 0 ()? cos 0 cos ()? sen sen sen ( ) sen ( ) sen ( ) A cos 0 sen ( )

14 8 Calcule sen (0 ) e cos ( ). sen ( 0 ) e cos ( ) sen (a) sen a sen (0 ) sen 0 cos (a) cos a cos ( ) cos s en ( 0 ) e cos ( ) 9 Simlifique: A sen ( ) cos (7 ), ara ()? ; 7 ()? ;. A ( ) ( ) A A sen cos sen cos A 0 Se a b 70 e a b 0, determine o valor de cos a cos b. a b 70 a b 0 a 80 a 0 Substituindo a, temos: a b 70 0 b 70 b 0 Então: cos 0 cos 0.

15 Se a 80, determine o valor de sen a? cos a. 80 ()? 0 00 sen 00? cos 00? sen a? cos a Calcule o valor da eressão: A sen cos 0 A sen 9 sen 0 cos 00 A sen 70 sen cos 0, ara 0. sen 9 sen? 0 cos 0? 0 sen 9? 0 A Se sen a, qual o sinal de a? Qual o valor do sen em função de a? ? Portanto, é um ângulo do rimeiro quadrante e seu seno é ositivo. Se e sen sen ( ), então: 8 8 sen sen sen a 8 ( 8 ) 8 Então, a é ositivo e sen a. 8 a é ositivo e sen a. 8

16 Se sen, determine: a) sen ( ) c) sen ( ) b) sen ( ) d) sen ( ) Observando o ciclo trigonométrico abaio, temos: (π ) N M () π (π ) P Q (π ) a) sen ( ) b) sen ( ) c) sen ( ) d) sen ( ) (Unes-SP modificado) Do solo, você observa um amigo numa roda-gigante. A altura em metros de seu amigo em relação ao solo é dada ela eressão: h(t), 0 sen t ( ), em que o temo é dado em segundos e a medida angular em radianos. A que altura seu amigo se encontrava do solo quando a roda começou a girar (t 0)?, m h(t), 0 sen? (t ) h(0), 0 sen? ( 0 ) h(0), 0 sen h(0), 0 sen,, m

17 Para que valores de temos sen, se 0 <, 0? e Pelo ciclo trigonométrico, odemos concluir que sen, ara e ara. 7 O fenômeno da maré em determinado onto da costa brasileira ode ser obtido ela eressão: P(t) cos? t ( ), em que t é o temo decorrido aós o início da oeração (t 0), e P(t) é a rofundidade da água no instante t. Qual é a rofundidade da água no início da oeração? 9 m P(t)? cos P(0) cos t?? P(0)? cos? ( ) 0 ( ) ( ) ( ) P(0) 9,0 A rofundidade da água no início da oeração é 9 metros. 7

18 . 8 Construa o gráfico das funções a seguir, dando o domínio, a imagem e o eríodo. a) y b) y cos ( ) c) y ( ) a) y Fazendo a tabela com os valores rinciais da rimeira determinação ositiva, temos: o quadrante crescente o quadrante crescente o quadrante decrescente o quadrante decrescente Esboçando o gráfico da função, temos: D V Im(f) [, ] P ( ) b) y Fazendo a tabela com os valores rinciais da rimeira determinação ositiva, temos: ( ) cos ( )

19 Esboçando o gráfico da função, temos: y,π π,π π 0,π 0 0 π π π π 7π D V Im(f) [, ] P 7 ( ) c) y Fazendo a tabela com os valores rinciais da rimeira determinação ositiva, temos: ( ) cos ( ) cos ( ) y 0,π π,π π 0,π 0 0,π π,π π,π D V Im(f) [0, ] P 9

20 9 Determine o eríodo da função: f() sen ( ). f() sen ( ) ( ) 0 Seja a função real f() cos a. Qual o valor de a ara que o eríodo dessa função seja? f() cos a 0 a 0 a 0 a a a a a (FGV-SP) Para que valores de m, a equação na incógnita, sen m, admite solução? m sen m m sen Como < sen <, então: m m m m 0

21 Seja a função f: V V definida or y sen 0 sen { } Então, D(f) IR. sen. Qual é o domínio da função no intervalo [0, ]? D IR { } ( ) Qual é a imagem da função f() ( ) ( ) cos ( ) ( ) Im(f) { V < y < } [, ]? Im [, ] Seja a função f: V V definida or f(). Considere as afirmações: I. f() é uma função ar. II. f() é uma função eriódica de eríodo. III. A imagem de f() [, ]. Podemos afirmar que: a) I e II são verdadeiras, e III é falsa. d) todas são verdadeiras. b) I é falsa, e II e III são verdadeiras. e) todas são falsas. c) I e III são verdadeiras, e II é falsa. I. (Verdadeira) cos (); ortanto, a função é ar. II. (Verdadeira) cos ( k); então,. III. (Falsa) < < < < Im(f) [, ]

22 O custo de dezenas de certo roduto é dado ela função: C( ) sen ( ) em milhares de reais. Qual é o valor do custo mínimo desses rodutos? Quantas dezenas odem ser fabricadas or esse custo? 000 reais;, dezena sen ( ) Portanto, o valor máimo de sen ( ) C() sen ( ) é, e o custo só será mínimo quando sen ( ) C() o valor do custo mínimo é 000 reais. ( ) ( ) ( ) sen sen sen sen for máimo., O custo mínimo desses rodutos é R$ 000,00 e ode ser fabricada, dezena or esse custo. Se sen sen y, 0 e ainda 0, odemos afirmar que: a) y c) sen 0 e), sen y 0 b) y d) cos y sen y cos No ciclo acima verificamos que se sen. sen y, então:. y e cos y..

23 7 A função f: V V dada or f() é: a) decrescente ara 0 c) decrescente ara 0 e) crescente ara b) crescente ara 0 d) crescente ara 0 Fazendo a tabela com os valores rinciais da rimeira determinação ositiva, temos: Esboçando o gráfico da função, temos: y 0 π π π π π 0 π π π π π Portanto, a resosta certa é a alternativa a, ois a função é decrescente ara 0 < <.

24 8 O valor máimo da função f() sen é: a) c) e) 0 b) d) sen sen Portanto, o valor máimo é. 9 A figura a seguir reresenta o gráfico da função y a cos b. Os valores de a e b são, resectivamente: a) e c) e e) b) e d) e Observando o gráfico, temos: Se b 0 0 Se b b 0 b b b Como a imagem da função é [, ], então a. e

25 0 (ITA-SP) Sejam f e g duas funções definidas or: sen sen f() e g() ( ) (, R ) I A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a: a) 0 c) e) b) d) sen ( ) ( ) sen f() ; g() f será mínimo se sen, e g será mínimo se sen. fmin ( ) gmin ( ) fmin gmin (FGV-SP) Considere a função f() resectivamente:. Os valores máimo e mínimo de f() são, a) e c) e e) e b) e 0 d) e 0 f() cos cos Portanto, o valor máimo é, e o valor mínimo é.

26 . 8 Determine os valores de: a) tg (0 ) c) tg 000 e) tg 0 não eiste b) tg 0 d) tg a) tg (0 ) tg (0 ) tg 0 tg (0 ) b) tg 0 tg 0 tg 0 c) tg 000 tg tg d) tg 700 tg tg e) tg tg tg (não eiste) Dê o sinal dos números: a) tg c) tg e) tg 7 ositivo negativo negativo b) tg d) tg ositivo ositivo Observe, no ciclo, os valores das tangentes dos referidos arcos: π π π 7π π Então: a) tg 0 sinal ositivo b) tg 0 sinal ositivo c) tg, 0 sinal negativo d) tg 0 sinal ositivo e) tg 7, 0 sinal negativo

27 ( )? Qual é o domínio da função y tg ( ) D(f) IR k {, k Z 8 } y tg k k k k, k Z 8 D(f) IR k {, k Z 8 } ( ). Esboce o gráfico e dê o domínio, a imagem e o eríodo da função y tg Fazendo uma tabela com os valores rinciais da rimeira determinação ositiva, temos: tg ( ) 0 0 não eiste 0 7 não eiste 9 0 Esboçando o gráfico da função, temos: y,π π,π 0 π 0,π 0 0,π π,π π,π k k D(f) IR k, k Z Im(f) IR { } 7

28 m Se tg, ara que valores de m eiste essa função? m m A única restrição ara m, neste caso, é que o denominador seja diferente de zero; ortanto, m. 7 Determine A sen ( )? cos ( ) tg ( )? tg ( ), ara A sen ( )? cos ( ) tg ( )? tg ( ); sen ( ) sen cos ( ) tg ( ) tg tg ( ) tg Então: A sen? cos tg? tg ( ) ( ) ( ) A? ( ) () A A ( )?. 8 Resolva as eressões: a) A tg tg b) B tg tg a) tg A tg tg A? 0 A 0 b) tg ; tg B tg tg ( ) ( ) B B B 9 0 8

29 9 Se f() tg, ara que valores de, [0, ], temos f()? Para [ 0, ], tg ; ara ou. ou ( )? 0 Qual o eríodo da função real y tg A função tg tem eríodo, então: 0 e ( ) Localize os arcos no ciclo trigonométrico e coloque-os em ordem crescente: tg 0, tg, tg 0 e tg 0. tg tg 0 tg 0 tg 0 Com os dados, temos: tg 0 0 tg 0 0 tg 0 0 tg Então, tg, tg 0, tg 0, tg 0. 9

30 . Resolva as equações no intervalo 0. a) sen S c) tg S e) tg 0 { b) 0 } d) sen {, } S, { } S 7, { } a) sen sen sen S { } b) 0 cos ou cos cos S, ( ) { } c) tg tg tg ou tg tg S, ( ) { } d) sen sen sen 7 7 ou sen sen sen S 7, ( ) { } e) tg 0 tg tg 0 0 ou tg tg S {0, } S {0, } 0

31 Resolva as equações reais. a) b) tg c) sen d) sen S { } { } S IR k ou k, k Z S IR { k, k Z } S IR k ou k, k Z { } e) S { } a) k cos k ou k k S IR k ou { k, k Z } b) tg tg tg k S IR k, k Z { } c) sen k sen sen ou k S k ou { IR k, k Z } d) sen ; não eiste tal que sen, ois < sen <. S { } e) ; não eiste tal que, ois < <. S { } ( k Z ) ( k Z )

32 Resolva a equação em V: { } S IR k ou 7 k, k Z. cos k k ou 7 k, k Z S IR k ou 7 { k, k Z } Determine o conjunto verdade da equação sen, ara 0. sen ; 0, sen sen Se sen sen sen ou Se sen sen sen ou 7 S,,, 7 { } { } S,,, 7 Determine a soma das raízes da equação tg no intervalo 0. tg ; 0, tg tg Se tg tg tg ou Se tg tg tg ou soma

33 { } S IR 7 k ou k, k Z 7 Resolva a equação sen no conjunto dos números reais. sen sen sen sen 7 7 k 7 k ou k k S 7 k ou { IR k, k Z } 8 Resolva a equação, no intervalo 0. S ; 0 S, { } cos {, } k k k k k k

34 9 Resolva a equação, no intervalo 0. ; 0, k k k k { } S 0,,,,, k 0 0 k k (não convém) k k { } S 0,,,,, k k 0 0 k k k k k k (não convém) 70 Resolva a equação trigonométrica ( sen )? ( ) 0, no intervalo 0. S,,,,, 7 { } ; 0 <, ( sen )? ( ) 0, temos: sen 0 ou 0. Se sen 0 sen, e sen ; ; ou 7 Se 0 ; ou. S,,,,, 7 { }.

35 7 Resolva a equação sen? sen 0 em V. S IR k ou k, k Z sen? sen 0 sen? ( ) ( ) 0 (sen )? ( ) 0 sen 0 ou 0 Se sen 0 sen k Se 0 k S IR { k ou k, k Z } { } 7 Determine V tal que sen 7 sen sen 0. S IR k ou k ou k, k Z { } sen 7 sen sen 0 sen 0 sen? ( sen 7 sen ) 0 ou sen 7 sen 0 Se sen 0 k sen (não convé Se sen 7 sen sen m) ou sen sen sen sen k ou ( k ) S IR k ou k ou { k, k Z }

36 7 Calcule a soma das raízes da equação tg ( ) ( )? (sen ) 0 no intervalo 0. tg? (sen ) 0; 0, tg? (sen ) 0 tg ( 0 ou sen ) 0 Se tg 0 tg k ou k Se sen 0 sen k Então, as raízes são:, 7,, ou. soma Resolva o sistema ( ) y y. {( )}, cos ( y) cos ( y) cos y y Substituindo, temos: y y y S, {( )} y y

37 7 (Unes-SP) Uma equie de mergulhadores, dentre eles um estudante de Ciências Eatas, observou o fenômeno das marés em determinado onto da costa brasileira e concluiu que era eriódico e odia ser aroimado ela eressão: P(t) cos t ( ), em que t é o temo (em horas) decorrido aós o início da observação (t 0) e P(t) é a rofundidade da água (em metros) no instante t. Resolva a equação cos t (, ) ara t 0. S t IR t 9 { k, k IN } cos t ( ; t ) 0 cos t ( ) cos t k t t? ( k) k t 9 k t t 9 k S t IR t 9 { k, k IN } k. 7 7 Calcule cotg, sec e cossec ara: a),, b) 0 a) cotg cotg tg sec sec cos cossec cossec sen b) 0 cotg 0 cotg 0 tg 0 sec 0 sec 0 cos 0 cossec 0 cossec 0 sen 0 7,,

38 sen sen 77 Seja. Determine os valores de: a) sen c) tg b) cos cos e) sec b) sen d) cotg f) cossec c) tg tg cos a) d) cotg cotg tg sen sen e) sec sec b) cos cos sen c) tg tg f) cossec cossec sen cos d) cotg cotg tg e) sec sec cos 78 Determine f) cossec o domínio da função real: cossec y cotg sen ( ) y cotg k k 8 D(f) k { IR, k Z 8 } ( ). k, k Z D(f) IR k {, k Z 8 } ( ) 79 Para que valores de eiste a função y sec? ( ) y sec k k ( k), k Z ( k) A função eiste ara, k Z. 8

39 80 Determine m ara que a função y cotg ( m ) tenha eríodo. m 0 m m m m m m ( ) m 8 Determine m ara que a função y sec m m 0 m m m m m m ( ) tenha eríodo. m 8 Calcule m de modo que cossec a m 7 e a, Entre e, a cossecante é menor ou igual a, então: m 7 m. m 9

40 8 Qual o sinal de f() sen? (sec ) no intervalo,? ositivo f() sen? ( sec );, f() sen? ( tg ) A função tangente no intervalo, é negativa; então, f() é ositiva. 8 Determine o sinal do roduto: A tg? sec? cossec 7. tg, 0 sec, 0 cos cossec 7. 0 A tg? sec? cossec 7. 0 Então, o sinal do roduto é ositivo. ositivo 8 Resolva a eressão: A cossec 7 cotg? sec 0? cotg. A cossec 7? cotg sec 0? cotg cossec 7 cossec cossec 7 sen cotg cotg sec 0 sec cos cotg cotg A???? 0 A 0

41 S, 0, 8 Considere a função f() cossec a. Resolva a equação f() 0, ara a. f() cossec a cossec 0 cossec 0 0 ou ( 0 ) S, 0, 87 Resolva a equação em V: cotg. { } S IR k, k Z cotg tg tg tg tg k, k S IR { k, k Z } Z 88 Resolva a equação cossec no intervalo [0, ]. S { } cossec sen sen S { } (não eiste que satisfaça essa condição)

42 89 Resolva a equação sec sec sec 0 sec sec sec ou 7 S, 7 { } sec 0 no intervalo [0, ]. 0 sec 0 (não eiste) ou { } S, 7 cos Se sen sen e,,, determine as demais funções trigonométricas., tg, cotg, sec ertence ao segundo quadrante., cossec sen no segundo quadrante, é negativo. tg sen tg cotg cotg tg sec sec cossec cossec sen

43 9 Sabendo que sen, determine A sen?. A sen elevando ao quadrado os dois membros, temos: (sen ) sen sen? ( ) sen? sen? A sen? A 9 Se tg, determine y y. sen Como tg, tg. Então: tg 7 y 7 y 7 tg 9 Determine o valor da eressão: A (sen ) (sen ). A (sen ) (sen ) A sen sen? cos sen sen? cos Como sen cos, temos: A. A

44 9 Determine o valor numérico da eressão y tg? y tg? cos se n? sen cossec cotg ( ) tg? ara cotg 7 e,,. tg? cotg? cossec tg?? cossec tg cossec cossec no terceiro quadrante, a cossecante é ositiva; logo, y. y 9 Dado sec 8, determine o valor da eressão y sen? tg. y 0 y sen? tg y sen? sen sen sen y sec 8 y 0

45 9 (Fuvest-SP) A soma das raízes da equação sen cos 0 que estão no intervalo [0, ] é: a) c) e) 7 b) d) sen cos 0 cos cos 0 Fazendo cos y, temos: y y 0. y y 8 ou y Se,, ou 7 Se não eiste soma 7 97 Resolva a equação cos sen no intervalo [, [. S { 7, } sen sen sen sen sen Se sen ou ; então, não ertencem ao intervalo [, [. Se sen 7 ou ; então, ertencem ao intervalo [, [. Logo, S 7, { }.

46 V V 98 (Unemat-MT) Na eressão. O numerador é igual a sen? tg.. O denominador é igual a? cotg. F. Podemos dizer que sec? cotg? sen, odemos afirmar: cossec? sen sec? cotg cotg? sec? cotg? sen cossec? sen sec? cotg cotg? tg. F. Se considerarmos sec? cotg cotg? isoladamente, então oderemos substituí-la or sen. F. O numerador é igual ao denominador, ortanto a eressão é igual a (um). cossec sec? cotg? sen? sen sec? cotg cotg? sen. (Verdadeira). (Verdadeira). (Falsa); sen cotg?? cotg? tg sen sen sen cotg?? tg sen tg. (Falsa); sec? cotg cotg? cotg. (Falsa)?? sen sen? sen?? sen sen sen sen s en ( ) sen ( ) sen 99 Para que valores de m sen m m e? m Se, sen 0; então, m m 0 m m 0 (m ) 0 m

47 00 (Fuvest-SP) Se a está no intervalo 0, de a é: a) c) e) 7 b) d) sen a cos a 7 e satisfaz sen a cos a, então o valor da tangente ( sen a cos a )? (sen a cos a) cos cos a a cos a cos a cos a 8 cosseno ositivo, ois ertence ao rimeiro quadrante. sen a cos a sen a 0 seno também ositivo. tg a (UFAM) Associe as eressões equivalentes das duas colunas e assinale a alternativa corresondente à associação correta. sen (A) () (B) sec () tg (C) sec () (D) cossec cotg () tg a) A, B, C, D c) A, B, C, D e) A, B, C, D b) A, B, C, D d) A, B, C, D () sen sec (B) () tg sen sen cos () cossec cotg sen (A) sen (D) sen sen () sec sen tg (C) 7