Arcos na Circunferência

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1 Arcos na Circunferência 1. (Fuvest 013) Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre 75 a.c. e 195 a.c. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo θ entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7500 km. O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de θ são (Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria 900 km; 3. ) a) junho; 7. b) dezembro; 7. c) junho; 3. d) dezembro; 3. e) junho; 0,3.. (G1 - ifsp 013) Considere uma circunferência de centro O e raio 6 cm. Sendo A e B pontos distintos dessa circunferência, sabe-se que o comprimento de um arco AB é 5 cm. A medida do ângulo central a) 10. b) 150. c) 180. d) 10. e) 40. ˆ AOB, correspondente ao arco AB considerado, é Página 1 de 9

2 3. (G1 - ifce 01) O valor de cos ( 80 ) é 1 a). b) 1. c) d) e) (Udesc 01) O relógio Tower Clock, localizado em Londres, Inglaterra, é muito conhecido pela sua precisão e tamanho. O ângulo interno formado entre os ponteiros das horas e dos minutos deste relógio, desprezando suas larguras, às 15 horas e 0 minutos é: a) 1 b) 36 c) 6 d) 18 e) 9 5. (Ueg 01) Considerando 1º como a distância média entre dois meridianos, e que na linha do equador corresponde a uma distância média de 111,3 km, e tomando-se esses valores como referência, pode-se inferir que o comprimento do círculo da Terra, na linha do equador, é de, aproximadamente, a) km b) km c) km d) km 6. (Uel 011) Um relógio marca que faltam 0 minutos para o meio-dia. Então, o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos é: a) 90 b) 100 c) 110 d) 115 e) 15 Página de 9

3 7. (G1 - cftmg 011) Na circunferência abaixo, o ponto M representa a imagem de um arco de medida, em radianos, igual a 56 a) 3 7 b) 4 c) 5 6 d) (Pucrs 010) Para representar os harmônicos emitidos pelos sons dos instrumentos da orquestra, usam-se funções trigonométricas. A expressão sen x + cos 3 x 5 envolve estas funções e, para x, seu valor de é: a) 7 b) 3 c) 1 d) 5 e) (Unemat 010) Quanto ao arco 4555, é correto afirmar. a) Pertence ao segundo quadrante e tem como côngruo o ângulo de 55 b) Pertence ao primeiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 75 c) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 195 d) Pertence ao quarto quadrante e tem como côngruo o ângulo de 3115 e) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de Página 3 de 9

4 10. (G1 - cps 008) A roda-gigante de um parque de diversões tem dezoito cadeiras, igualmente espaçadas ao longo do seu perímetro e move-se no sentido anti-horário, isto é, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Na figura, as letras A, B, C,... e R indicam as posições em que as cadeiras ficam cada vez que a roda gigante para. Com a roda gigante parada, Bruna senta-se na cadeira que está na posição A, posição mais baixa da roda gigante. A roda gigante move-se 5 6 de uma volta e para. Nesse momento, a letra relativa à posição da cadeira ocupada por Bruna é a) D. b) I. c) K. d) P. e) R. 11. (Unesp 005) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura. A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do "monstro", em cm, é: a) - 1. b) + 1. c) - 1. d). e) Página 4 de 9

5 1. (G1 - cftmg 005) Na figura, tem-se duas circunferências coplanares e concêntricas. Sendo OA = 4 cm, CD = 6 cm e o comprimento do arco AC = 6 cm, o comprimento do arco BD, em cm, é a) 8 b) 1 c) 15 d) (Ufrgs 004) Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida mais próxima de 1 radiano é 14. (Ufrn 003) No protótipo antigo de uma bicicleta, conforme figura abaixo, a roda maior tem 55 cm de raio e a roda menor tem 35 cm de raio. O número mínimo de voltas completas da roda maior para que a roda menor gire um número inteiro de vezes é a) 5 voltas. b) 7 voltas. c) 9 voltas. d) 11 voltas. Página 5 de 9

6 15. (Uflavras 000) Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo á (figura a seguir) formado pelos ponteiros de um relógio mede a) 90 b) 11 30' c) 8 30' d) 10 e) 17 30' Gabarito: Resposta da questão 1: [A] [Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Geografia] Os raios solares que atingem a Terra são paralelos. Portanto: θ 7, A cidade de Alexandria situa-se no hemisfério norte, território do Egito, onde o solstício de verão acontece no dia 1 de junho, quando o Sol dispõe sua radiação na perpendicular à linha do Trópico de Câncer. [Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Matemática] Considere a figura. Página 6 de 9

7 Como os raios solares são paralelos, segue que AOB e, portanto, AB OA ,1rad 0, ,. 3 Além disso, como Assuã e Alexandria estão situadas no hemisfério norte, e o solstício de verão ocorre no mês de junho nesse hemisfério, segue que as observações foram realizadas em junho. Resposta da questão : Medida do arco em rad: 5 rad. 6 5 rad Resposta da questão 3: [A] 80 = Logo, cos ( 80 ) = cos 10 = Resposta da questão 4: [E] Considere a figura. 1. Página 7 de 9

8 A cada 5 minutos corresponde um ângulo de Logo, θ α 30, sendo α o 1 resultado pedido. Por outro lado, como o ângulo θ corresponde ao deslocamento do ponteiro das horas, em 0 minutos, segue que 0min 30 θ min Desse modo, 10 α 30 α 0 rad. 9 Resposta da questão 5: [D] 1 111,3km 360 x x km Resposta da questão 6: [C] Página 8 de 9

9 Considere α a medida do ângulo procurado e calculando x, temos : ponteiro das horas ponteiro dos minutos o min x 40 min Por tan to, x 0 o o o o Logo, α Resposta da questão 7: [A] Logo, sua primeira determinação positiva é 4 (terceiro quadrante). 3 3 Resposta da questão 8: sen x + cos x - 5 =.(sen x + cos x) 5 =.1 5 = - 3 Resposta da questão 9: [E] Dividindo 4555 por 360 obtemos quociente 1 e resto 35 Concluímos, então que o arco tem extremidade no terceiro quadrante. Dividindo 4195 por 360 obtemos quociente 11 e resto 35 Concluímos, então que 4555 é côngruo de 4195 Logo a resposta E é a correta. Resposta da questão 10: [D] Resposta da questão 11: [E] Resposta da questão 1: [C] Resposta da questão 13: Resposta da questão 14: Resposta da questão 15: Página 9 de 9

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